高中数学数学归纳法练习题含答案

高中数学数学归纳法练习题含答案

学校：班级：姓名：考号：

1.用数学归纳法证明2n>2n+1,n的第一个取值应是（）

A.lB.2C.3D.4

2.一个关于自然数n的命题，如果n=l时命题正确，且假设71=21）时命题正确,

可以推出n=k+2时命题也正确，则（）

A.命题对一切自然数n都正确

B.命题对一切正偶数都正确

C.命题对一切正奇数都正确

D.以上说法都不正确

3.用数学归纳法证明不等式1+；+：+…+ht<n（neN*,且n>1）时，第一步应

23271—1

证明下述哪个不等式成立（）

A.1<2B.1+—F-<2C.lH—<2D.1+—V2

2323

4.在数学归纳法证明"1+Q+小+…+Q九=（Qw1,几WN*）〃时，验证当ri=1

时，等式的左边为（）

A.lB.1—ClC.1+CLD.1-Q?

5.用数学归纳法证明"2n>2n2-2n+1对于九>孙的正整数九均成立"时，第一步证明

中的起始值沏应取（）

A.lB.3C.6D.10

6.用数学归纳法证明"1+Q+M+.+Mn+i==三一,在验证九=1.时，左

端计算所得项为（）

A.l+Q+Q2+B.1+QC.l+a+a2D.1+

Q++Q3

7.用数学归纳法证明1+：+3+~+六<71（7161\1*,71>1）时，第一步应验证不等式

A.l+-<2B.l+-+-<2C.1+-+-C3D.l+-+-+-<3

22323234

8.(文)已知f(n)是关于正整数n的命题.小明证明了命题f(l),/(2),/(3)均成立,

并对任意的正整数匕在假设f(k)成立的前提下，证明了〃k+m)成立，其中机为某个

固定的整数，若要用上述证明说明f(n)对一切正整数n均成立，则m的最大值为()

A.lB.2C.3D.4

9.利用数学归纳法证明不等式1+|+i+J+...+^</(n)(n>2,n6N*)的过程

中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了()

A.1项B.k项C.2kT项D.2k项

10.用数学归纳法证明不等式“W+京+…+/>京n>2)”时的过程中，由n=k到

n=k+l,(k>2)时，不等式的左边()

A•增加了一项康

B.增加了两项*+就

C.增加了一项就，乂减少了一项六

D.增加了两项羡+就，又减少了一项击

11.观察下列数表：

1

35

791113

1517192123252729

设1025是该表第m行的第九个数，则巾+n=.

12.用数学归纳法证明不等式“工+工+」—+…」—>交"，当71=1时，不等式左边

n+1n+2n+33n+l12

的项为.

13.用数学归纳法证明：“lx4+2x7+3xl0+3+n(3n+l)=n(n+l)2,nG

N+”,当n=l时，左端为.

试卷第2页，总27页

14.要证明1,显,2不能为同一等差数列的三项的假设是.

15.用数学归纳法证明上+…+二-21(nCN+)”时，在验证初始值不等

n+1n+23n+l

式成立时，左边的式子应是“

16.利用数学归纳法证明"1+:+5+…+^=p(n)",从n=k推导n=k+1时原等式

的左边应增加的项数是项.

17.

用数学归纳法证明：4n>n4(n>4,nGN),第一步验证n=.

18.用数学归纳法证明："5+1)5+2)“-5+71)=2-1-3”《271—1)".从”=1到

n=fc+1"左端增乘的代数式为.

19.用数学归纳法证明不等式-；+…+?>2(neN*直n>1)时，第一

n+1n+2n+33n10

步：不等式的左边是.

20.若=1-7+—4--1■一2k9则f(k+1)=f(k)+--------.

21.用两种方法证明:1+*+京+…+专V2-；(九N2…,九WN+).

22.(本小题12分)设数列｛an｝的前几项和为右,并且满足2Sn=Q^+nnQ>0

(1)求的,。2，。3

(2)猜想｛an｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明；

(3)设％>0,y>0,且x+y=l,证明：+1+1ny+1'J2(九+2)

23.已知/(ri)=1+[+：+…+1n=1,2,3,....

求证：100+/(l)+/(2)+f(3)+...+/(99)=100/(100).

24.用数学归纳法证明：(n+l)+(n+2)+—+(n+n)=5Wa(n€N")

25.用数学归纳法证明：高+短+++…+罚器而n

2n+l

26.已知数列｛an｝的前n项和为S”且%,an的等差中项为L

(1)写出a2>a3；

(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.

27.用数学归纳法证明：(cos。+isin0)n=cosn。+isirm。，i为虚数单位，OCR,nG

N,且n>2.

28.若zi属于自然数，n>3,证明：2n>2n+l.

29.(1)证明|sin2%|W2|sinx|；(x为任意值)29.

(2)己知n为任意正整数，用数学归纳法证明|sinmc|Wn|sinx|.(x为任意值)

30.已知数列｛即｝满足%=1.且5即+1-2anan+1+3an=80n6N*).

(1)求取，a3>。4的值；

(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.

31.若律是自然数，证明：271>n.

32.用数学归纳法证明：

⑴%2"-1能被」+1整除；

(2)62nT+1能被7整除；

(3)n(n+l)(2n+l)能被6整除.

试卷第4页，总27页

33.当n22(neN*)时，Sn=(1-i)(l-^)(1-...(1-4=誓

(1)求S2,S3,72，73；

(2)猜测Sn与7；的关系且证明.

34.用数学归纳法证明：1+专+3+…+G<2yfn(n6N+).

35.在教材中，我们已研究出如下结论：平面内做条直线最多可将平面分成

m*n

一曦"十一哪*4

鹫鹫个部分.现探究：空间内焦个平面最多可将空间分成多少个部分，

空的黛r设空间内幽个平面最多可将空间分成M峰,=涮总w瓠县聚殊的■4个部分.

(1)求跳黑彩的值；

(2)用数学归纳法证明此结论.

36.设数列｛an｝对一切neN*,满足臼=2,an+i+a.=4n+2.试用数学归纳法证

明：=2n.

n

37.用数学归纳法证明a+i+(a+l)2"i能被Q2+Q+1整除(nGN*).

38.用数学归纳法证明，若f(n)=1+T+g+…+，则n+f(l)+f(2)+_+f(n-

1)=n-f(n)(n>2,且neN+).

39.利用数学归纳法证明不等式：

132n-l,1,-2*、

2X;X---X—<v^r(nG/v)

40.已知数列白，白，三，…7/…计算&,S2,S3,根据据算结果，猜想％的

表达式，并用数学归纳法进行证明.

参考答案与试题解析

高中数学数学归纳法练习题含答案

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1.

【答案】

C

【考点】

数学归纳法

【解析】

根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=l,2,3,命题是否成立；可

得答案.

【解答】

解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；

结合本题，要验证n=1时，左=21=2,右=2X1+1=3,2n>2n+1不成立，

n=2时，左=22=4,右=2x2+1=5,2n>2n+l不成立，

n=3时，左=23=8,右=3x2+1=7,2">2n+1成立，

因为n23成立，所以2n>2n+1恒成立.

所以n的第一个取值应是3.

故选C.

2.

【答案】

C

【考点】

数学归纳法

【解析】

由题中条件："假设n=21）时命题正确，可以推出0=k+2时命题也正确"结合

验证当n=l时命题成立，得到1+2=3时命题成立，进一步得到3+2=5命题也成

立，…即可推出正确选项.

【解答】

解：本题证的是对n=l,3,5,7,命题成立，即命题对一切正奇数成立.

A、B、。不正确；

故选C.

3.

【答案】

B

【考点】

数学归纳法

【解析】

直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可.

【解答】

解：用数学归纳法证明1+：+：+…+N*,且n>l）时，

232tl—1

第一步应代入九=2,得到1+1+1v2.

试卷第6页，总27页

故选B.

4.

【答案】

C

【考点】

数学归纳法

【解析】

验证九=1时，左端计算所得的项.只需把n=l代入等式左边即可得到答案.

【解答】

解：当71=1时，易知左边=1+a.

故选C.

5.

【答案】

C

【考点】

数学归纳法

【解析】

根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，验证n=l成立，但当n=2,3,4,5时不

成立，从n=6始，命题成立；可得答案.

【解答】

解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；

结合本题，要验证n=l时，左=21=2,

右=2X仔-2X1+1=1,2n>2n2-2n+1成立，

但是n=2时，左=22=4,

右=2义22-2X2+1=5,2n>2n2-2n+1不成立，

n=3时，左=23-8,

右=2X32—2X3+1=13,2n>2n2-2n+1不成立，

n=4时，左=24=16,

右=2X42—2X4+1=25,2n>2n2-2n+1不成立，

n=5时，左=25=32,

右=2X52-2X5+1=41,2">2n2-2n+1不成立，

n=6时，左=26=64,

右=2X62-2X6+1=61,2n>2n2-2n+1成立.

故选C.

6.

【答案】

D

【考点】

数学归纳法

【解析】

当n=l时，左端的a的次数由0次依次递增，最高次数为(2n+l)次，从而可知n=l

时，左端计算所得项.

【解答】

12n+2

解：等式"1+a+a2+…+a2"i=1I。，(a芋1)”左端和式中a的次数由0次依

次递增，当n=k时，最高次数为(2k+1)次，

.用数学归纳法证明"1+Q+小+…+q2n+l==----,(。工1)〃，在验证九=1时，

左端计算所得项为1+a+a2+a3,

故选：D.

7.

【答案】

B

【考点】

数学归纳法

【解析】

直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可.

【解答】

解：用数学归纳法证明1+：+：+…+―-<n(neN\n>1)时，

232”-1

第一步应验证不等式为：1+2+,<2.

故选B.

8.

【答案】

C

【考点】

数学归纳法

【解析】

本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的步骤知，我们由在假设成立的前提

下，证明了/(k+m)成立，由此类推，对n>m的任意整数均成立，结合小明证明了

命题/(I),/(2),”3)均成立，由此不难得到m的最大值.

【解答】

解：由题意可知，

外九)对n=l,2,3都成立，

假设/(k)成立的前提下，证明了/(k+m)成立时，

m的最大值可以为：3.

故选C.

9.

【答案】

C

【考点】

数学归纳法

【解析】

比较由n=k变到n=k+l时，左边变化的项，即可得出结论.

【解答】

解：用数学归纳法证明等式

1+3+：+；+,“+?^71<，5)522,71€7*)的过程中，

假设n=k时不等式成立，

左边=1+-+-+—>

2342fe-1+l

贝ij当n=k+1时,

试卷第8页，总27页

左边=1+I+9+3+...+&<f(n)

由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了

共(2上+1)-2k-1-1=2上-1项，

故选C.

10.

【答案】

【考点】

数学归纳法

【解析】

利用数学归纳法的证明方法步骤及其原理即可得出.

【解答】

解：用数学归纳法证明不等式"'7+2+…+；>芸(n>2)"时的过程中，由n=k

到n=k+l,(k>2)时，不等式的左边增加了：两项小+心，又减少了一项

''2k+l2(k+l)k+1

故选：D.

二、填空题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

11.

【答案】

12

【考点】

数学归纳法

【解析】

【解答】

解：根据数表可知输的排列规律，1,3,5,7,9-；都是连续奇数，

第一行共2。=1个数，

第二行共21=2个数，且第一个数是3=22-1,

第三行共22=4个数，且第一个数是7=23-1,

第四行共23=8个数，且第一个数是15=24-1,

第十行共29=512个数，且第一个数是1023=210-1,

第二个数为1025,

所以m=10,n=2,

所以m+ri=10+2=12.

故答案为：12.

12.

【答案】

【考点】

数学归纳法

【解析】

本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式"一\+义+2+…士>=5>2)左

n+1n+2n+33n+l12'/

边的各项，他们都是以」;开始，以一三项结束，共2n+l项，写出结果即可.

n+13n+l

【解答】

解：九=1时，」—+」:;+…化为：~~当？1=1时，不等式左边的项

n+1n+2n+33n+l234

型+!+:•

故答案为：："

234

13.

【答案】

4

【考点】

数学归纳法

【解析】

由等式1x4+2X7+3X10+…+n(3n+1)=n(n+1)2,neN+”,当n=l时，

3n+l=4,而等式左边起始为lx4的连续的正整数积的和，由此易得答案.

【解答】

解：在等式："lx4+2x7+3xl0+3+n(3n+l)=n(n+l)2,neN+”中，

当n=1时，3n+1=4,

而等式左边起始为1x4的连续的正整数积的和，

故n=1时，等式左端=1x4=4

故答案为：4.

14.

【答案】

1,V3,2能为同一等差数列的三项

【考点】

数学归纳法

【解析】

熟记反证法的步骤，直接填空即可.

【解答】

解：应假设：1,V3,2能为同一等差数列的三项.

故答案为：1,V3,2能为同一等差数列的三项.

15.

【答案】

11

+

2-3-

【考点】

数学归纳法

【解析】

分析不等式左边的项的特点，即可得出结论.

【解答】

解：7!=1时，左边的式子是;+；+；.

234

试卷第10页，总27页

故答案为：；+9+:•

234

16.

【答案】

2k

【考点】

数学归纳法

【解析】

n=k时，最后一项为表，？i=k+l时，最后一项为喘7，由此可得由九=上变到n=

k+1时，左边增加的项即可.

【解答】

解：由题意，7i=/c时，最后一项为晟n=k+l时，最后一项为£7

由n=k变到n=k+l时，左边增加了岛■+丸+…+品，增加2k项.

故答案为：2k.

17.

【答案】

4

【考点】

数学归纳法

【解析】

根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=4时，命题成立；将n=4代

入不等式，可得答案.

【解答】

解：根据数学归纳法的步骤，

首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；

结合本题"24,nGN,

故要验证n=4时，

4n>/的成立即44>4’成立；

故答案为：4.

18.

【答案】

2(2k+1)

【考点】

数学归纳法

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：当n=k时，原式等于2k•1.3…(2k-1),

当《=k+1时，原式等于y+i•1•3…(2k-1)-[2(fc+1)-1],

观察式子可知，下式比上式多了2(2k+1).

故答案为：2(2k+l).

19.

【答案】

1111

2+1+2+2+2+3+2+4

【考点】

数学归纳法

【解析】

用数学归纳法证明不等式」且i>1)时，第一步:

n+1九+2n+33n10K'

不等式的左边是三■十白+白+三.即可得出.

2+12+22+32+4

【解答】

解：用数学归纳法证明不等式工+工+工+…+；>2(neN*2n>1)时，

n+1n+2n+33n10''

第一步：不等式的左边是a+专+++士・

故答案为：击+++全+木,

20.

【答案】

11

2/c+1-2k+2

【考点】

数学归纳法

【解析】

根据=+：…+六一《的特征，直接写出f(k+l)的表达式，即可推

Zo42.K-LZ/C

出要求的结果.

【解答】

解：因为/w=1…+六一,，

所以+1)=1后++…+六一/+六一康

所以/(k+1)=/(£)+念一]

2k+2'

故答案为：士

2k+2

三、解答题(本题共计20小题，每题10分，共计200分)

21.

【答案】

解：证明：解法一(放缩法)：・二i+专+专+…+*<i+W+

—+­••+---

2X3(n-l)xn

又•・•1=11.1d-------1-------1-…+---------=1+1------1---------F4------

(n-l)xnn-1n1X22X3(n-l)xn223n-1

-=2--

试卷第12页，总27页

即1+京+京+…+*＜2—~(HN2...,nEN，)，即证.

解法二(数学归纳法)：

①当n=2时，左端=1+2=9，右端=2—1=三=3「.左端V右端，即证.

2“4224

假设九=k时,有1+专+专+…+*•V2—：(九N2…,九EN+)恒成立，即1+京+

J+…V2-：恒成立,

3Zk2k

那么当n=k+l时，1+蠢+…+表+舟子＜24+/=2—言耦＜2—

*=2-击也成立，

即当n=k时上述原命题也成立，

综上，由@)②)知，1+专+专+…+*＜2—；(n22…,MeN+)怛成立，即证.

【考点】

数学归纳法

【解析】

此题解法有两种：解法一是运用放缩法来证明；将左端最后一项放大，并变成两项之

差，再用叠加法，即可.

解法二是运用数学归纳法来证明.在证明过程中，第一步实际是验证思想，将n=2代

入检验，第二步是关键一步，

尤其是从k到k+1时，要注意增添了哪几项.

【解答】

解：证明：解法一(放缩法)：：右(丁卜二i+A+A+-+4＜1+A+

n2(n-l)xn2232n21x2

—+•••+---

2X3(n-l)xn

T7--111.^,1,1,,1_一11।11।,1

(n-l)xnn-1n1x22X3(n-l)xn223n-1

-=2--

nn

即1+4+4+…+9V2——(n>2...,nEN+),即证.

2232n2nv'

解法二(数学归纳法)：

①当71=2时，左端=1+福=三，右端=2—：=：=2,「.左端V右端，即证.

244224

②假设九=k时，有1+蠢+专+•♦.++＜2(ziN2.・.,几EN+)恒成立，即1+京+

专+“•+专＜2-耨成立,

那么当"k+1时,1+A…+»看＜2/+看=2-舒＜2-

1=2-W也成立，

即当71=k时上述原命题也成立，

综上,由①②知,1+专+++…+*<2—；(n22...,neN+)怛成立，即证.

22.

【答案】

【考点】

数学归纳法

【解析】

【解答】

23.

【答案】

证明：先用数学归纳法证明等式：(n+1)(/(I)+/(2)+...+/(n))=(n+l)/(n+

1).

证(1)当n=l时，左边=2+/(1)=2+1=3,右边=2(1(2))=2(1+》=3

左边=右边，等式成立....

(2)假设n=k时，等式成立,即(n+1)(f(l)+f(2)+…+f(k))=(fc+l)/(fc+1)

上式两边同时加1+f(k+1)得：(k+1)+1+/(I)+/(2)+.../(/c)4-f(k+1)=

(k+l)f(k+1)+1+/(k+1)

•••(fc+l)/(/c+1)+1+/(k+1)=(k+2)/(k+1)+1,

(k+1)/(。+2)+f(k+1)+1—(k+2)/(k+2)=(k+2)[f(k+1)-f(k+

2)]+l

=(k+2)(-J-)+1=0.

、八k+2,

(k+l)/(/c+1)+1+f(k+1)=(k+2)/(fc+2)

[(fc+1)+1]+/(l)4-f(2)+…+/(fc)+f(k+1)=++2)/(fc+2)

n=k+1时等式也成立.…

由⑴、(2)知,等式(n+1)(f(l)+f(2)+...+f(n))=(n4-l)/(n+1)

对一切nGN*都成立.

100+/(I)4-/(2)+...+/(99)=100/(100)....

【考点】

数学归纳法

【解析】

为了证明100+f⑴+f(2)+f(3)+…+/(99)=100/(100).先用数学归纳法证明等

式：(n+1)(/(1)+/(2)+…+f(n))=(n+l)f(n+l).故首先检验当n=l时,等

式两边成立，再假设当n=k时，等式两边成立，写出此时的等式，准备后面要用，再

检验当n=k+l时，等式成立，使用n=k时的条件，整理出结果，最后总结对于所

试卷第14页，总27页

有的自然数结论都成立.从而证得100+〃1)+/(2)+/(3)+…+f(99)=100/(100).

【解答】

证明:先用数学归纳法证明等式：(n+1)(/(l)+/(2)+...+/(n))=(n+l)/(n+

1).

证(1)当n=l时，左边=2+f(l)=2+l=3,右边=2(/(2))=2(1+}=3

左边=右边，等式成立....

(2)假设n=k时，等式成立,即(n+1)"⑴+f(2)+...+f(k))=(fc+l)/(fc+1)

上式两边同时加1+f(k+1)得：(k+1)+1+/(I)+〃2)+…/(k)+f(k+1)=

(k+l)/(k+1)+1+f(k+1)

,/(k+l)/(fc+1)+1+/(k+1)=(k+2)/(k+1)+1,

・•.(fc+l)/(fc+2)+/(k+1)+1-(k+2)/(k+2)=(k+2)[/(fc+1)-/(fc+

2)]+l

=(k+2)(-6)+1=0.

(fc++1)+1+f(k+1)=(k+2)/(fc+2)

[(/c+1)+1]+f⑴+f(2)+…+/(k)+f(k+1)=(k+2)f(k+2)

n=k+l时等式也成立....

由⑴、(2)知,等式(n+1)(f⑴+f(2)+…+f(n))=(n+l)/(n+1)

对一切nGN*都成立.

100+/(l)+/(2)+...+/(99)=100/(100)....

24.

【答案】

证明：①n=l时，左边=2,右边=2,等式成立；

②假设n=k时，结论成立，即：(/c+l)+(fc+2)+...+(fc+fc)

则n=k+1时，等式左边=(k+2)+(k+3)+…+(k+k+1)+(k+1+k+1)=

k(3k+l)+3k+2=(k+l)(3k+4)

22

故n=k+1时，等式成立

由①②可知：(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=9暝(neN*)成立

【考点】

数学归纳法

【解析】

根据数学归纳法的证题步骤，先证n=l时，等式成立；再假设n=k时，等式成立，

再证n=k+1时等式成立.关键是注意n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的

差，即为n=k+l时等式左边增加的项

【解答】

证明：①n=l时，左边=2,右边=2,等式成立；

②假设n=k时，结论成立，即：(k+l)+(k+2)+-+(k+k)=&§3

则n=k+1时，等式左边=(k+2)+(k+3)+…+(k+k+1)+(k+1+k+1)

k(3k+i)+3卜+2=(k+i)(3〃+4)

2~2

故九=%+1时，等式成立

由①②可知：(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=9暝(neN*)成立

25.

【答案】

证明：(1)当n=l时，左边=$右边=/等式成立.

(2)假设当n=k时，等式成立，

BP—+—+—+,••+---------

1x33x55x7(2k-l)(2k+l)

k

~2fc+l，

那么，当?i=/c+l时,

左边=++短+点+

1,1

+(2k-l)(2k+1)+(2k+l)(2k+3)

k,1k+1

=---+----------=----,

2fc+l(2k+l)(2fc+3)2k+3

这就是说，当71=k+1时等式也成立.

根据(1)和(2)，可知等式3+二+2+…

+(2n-l)(2n+l)=3对任何neN*都成立.

【考点】

数学归纳法

【解析】

无

【解答】

证明：(1)当九=1时，左边=｝右边=/等式成立.

(2)假设当n=k时，等式成立，

BP—+—+—+-----------

1X33x55x7(2fc-l)(2k+l)

-2k+l，

那么，当九=k+1.时，

左边…

1x33x55x7

1,1

+(2k-l)(2k+1)+(2k+l)(2k+3)

=--k-+,------1----=-k-+-1-«

2fc+l(2fc+l)(2fc+3)2k+3

这就是说，当71=攵+1时等式也成立.

根据(1)和(2)，可知等式3+二+2+…

+-------------=3对任何N*都成立.

(2n-l)(2n+l)

26.

【答案】

试卷第16页，总27页

解：（1）由题意Sn+an=2,

Y11

..01=1，。2=1。3=[•

（2）猜想：an=狭厂

下面用数学归纳法证明：

①当71=1时，％=1,H7=去=1，猜想成立.

②假设当n=%时，等式成立，即的=/，

则当几=k+1时，由5卜+14-ak+1=2,Sk+/=2,

得（S/c+i-SQ+ak+1-ak=Of

即2a3+i=纵，

._i_i

一ak+l-/k-豕，

当九=k+1时，猜想也成立，

对于任意n6N+，即=而不

【考点】

数学归纳法

数列的概念及简单表示法

【解析】

（1）依次把n=l,2,3代入%+%=2计算即可；

（2）先验证n=l,再假设n=k猜想成立，推导n=k+l成立即可.

【解答】

解：（1）由题意Sn+an=2，

.11

=

..%=1，a2=<134,

（2）猜想：斯=占.

下面用数学归纳法证明：

①当n=l时，的=1,止7=嘉=1，猜想成立.

②假设当n=k时，等式成立，即以=/，

则当n=k+1时，由品+i+afc+1=2,Sk+ak=2,

得（S/c+i-SQ+ak+1-ak=0,

即2以+1=（1k9

._1_1

…ak+l—一r'

当n=fc+1时，猜想也成立，

对于任意九€N+，an=—.

27.

【答案】

解:（1）当九=12时，（cos。+isin0）2=cos20+2icos0sin0—sin20=cos20+isin20,

所以71=2时等式成立；

(2)假设当n=k(k>2)时，等式成立,即(cos。+isin0)fe=coskd+isinfcfl.

当九=/c+1时，(cos0+isin8)"+i

=(cos0+isin0)fc(cos0+isinJ)

=(cos/c0+tsinfc0)(cos0+isin0)

=coskOcosd-sinfc0sin0+(cosfc0sin0+sinfc0cos0)i

=cos[(fc+1)0]+isin[(k+1)0],

当九=k+1时，等式成立.

综上所述，(cos。+isin0)n=cosnd+isinnJ当九>2时成立.

【考点】

数学归纳法

【解析】

利用数学归纳法即可证明.

【解答】

解：(1)当几=12时，(cos。+isin0)2=cos204-2icos0sin0—sin20=cos20+isin20,

所以几=2时等式成立；

(2)假设当n=k(k>2)时,等式成立，即(cos。+isin0)fc=coskd+isinfcfl.

当n=k+1时，(cos。+isinO)k+i

=(cos0+isin0)k(cos0+isin0)

=(cosk。+isin/c0)(cos0+isin0)

=coskOcos。—sinfc0sin0+(cosfc0sin0+sinfc0cos0)i

=cos[(fc+1)0]+isin[(fc+1)0],

当n=k+1时，等式成立.

综上所述，(cos。+isin0)n=cosn©+isinn。当九>2时成立.

28.

【答案】

证明：①n=3时，8>7成立；

②假设n=k时不等式成立，即2k>2k+l；

则当n=/c+l时，左边=2上+1>4k+2>2k+3,成立

综上所述，2n>2n+1.

【考点】

数学归纳法

【解析】

按照数学归纳法的步骤进行证明即可.

【解答】

证明：①n=3时，8>7成立；

②假设n=k时不等式成立，即2k>2k+1；

则当n=k+l时，左边=2上+1>4k+2>2k+3,成立

综上所述，2">2n+l.

29.

【答案】

证：(l)|sin2x|=|2sinx-cosx|=2|sinx|•|cosx|.

|cosx|<1,

试卷第18页，总27页

|sin2x|<2|sinx|；

(2)当九=1时，结论显然成立.

假设当n=k时结论成立，

EP|sinfc%|</c|sinx|.

当九=k+1时，

|sin(/c+l)x|

=|sinfcx•cosx+cosfcx•sinx|<\s\nkx-cosx|+|cosfcx-sinx|

=|sinfcx|•|cos%|4-|coskx|•|sinx|<fc|sinx|+|sinx|

=(fc4-l)|sinx|.

故当71为任意正整数时，结论均成立.

【考点】

数学归纳法

【解析】

(1)先利用三角函数的二倍角公式，再结合三角函数的有界性即可证明；

(2)用数学归纳法证明三角问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=l时，结

论显然成立，第二步，先假设假设当九=k时结论成立，利用此假设结合三角函数的和

角公式以及三角函数值的有界性，证明当九=々+1时，结论也成立即可.

【解答】

证：(l)|sin2x|=|2sinx-cosx|=2|sinx|•|cosx|.

*.*ICOSXI<1,

|sin2x|<2|sinx|；

(2)当n=1时，结论显然成立.

假设当71=k时结论成立，

BP|sinfcx|<fc|sinx|.

当几=k+1时，

|sin(fc+l)x|

=|sinfcx•cosx+cosfcx-sinx|<|sin/cx•cosx|+|cosfcx•sinx|

=|sinfcx|•|cosx|+|coskx|•|sinx|<fc|sinx|+|sinx|

=(fc+l)|sinx|.

故当71为任意正整数时，结论均成立.

30.

【答案】

解：(1)*.*%=1,5an+1-2anan+14-3an=8,

「•Sa2—2ara2+3at=8,

••3。2=5,

.・a2-3-

同理可得，a3=I，a4=y；

(2)由(1)可猜想，即=把±(n€N*)

(2)证明：当n=l时，的=1,等式成立；

假设=时，以=存^，

则ri=k+1时，由5%+1—2akak+1+3ak=8得：

_8-3%_8_3x^3y_8(2k-l)-12k+9_4k+l_4(k+l)-3

，

W+l-5-2ak-g-2x^~^-5(2fc-l)-8k+6-2fc+l-2(fc+l)-l

即71=k+1时，等式也成立；

综上所述，对任意neN*,an=—.

【考点】

数学归纳法

【解析】

(1)由的=1,fL5czn+1-2anan+1+3an=8,即可求得a2,a3,CI4的值；

(2)由(1)中％,a2,a3,a’的值可猜想斯="，再用数学归纳法证明即可.

2n—1

【解答】

解：(1),/Qi=1，5an+1-2anan+1+3an=8,

/.5a2-2%。2+3。1=8,

••3@2=5,

.5

同理可得，03=(。4=£；

(2)由(1)可猜想，a"=:":,(n6N*)

(2)证明：当几=1时，的=1,等式成立；

假设几=攵时，ak=^

则几=k+1时，由5%+1—2akak+1+3ak=8得：

4k—3

_8-3依_8-_8(2k-l)-82k+9_4/c+l_4(—+1)-3

，

@k+l-5-2ak-5-2X竺W-5(2k-l)-8k+6-2k+l-2(k+l)-l

2fc-l

即71=1+1时，等式也成立；

综上所述，对任意neN*,册=产.

"2n-l

31.

【答案】

证明：①n=0时，1>0成立；

②假设n=k时不等式成立，即/>上

则当zi=k+l时，左边=2"+i>2/c>k+1,成立，

即当n=k+1时，不等式也成立.

由①②可得，n是自然数，2">儿

【考点】

数学归纳法

【解析】

按照数学归纳法的步骤进行证明即可.

【解答】

证明：①n=0时，1>0成立；

②假设n=k时不等式成立，即y>/£；

则当?i=k+l时，左边=2"+i>2k>k+l,成立，

即当n=k+l时，不等式也成立.

试卷第20页，总27页

由①②可得，n是自然数，2n>出

32.

【答案】

证明：①当71=1时，X2-1=(X+1)(X-1),能被久+1整除；

②假设当n=k时，即/k一1(卜GN)能被无+1整除，

那么当n=k+l时：x2(k+1)—l—x2x2k-l—x2x2k-x2+x2-l—x2(^x2k-1)+

(x+l)(x-l),两个表达式都能够被x+1整除，

所以当n=%+l时，命题也成立，

由①②可知，/n-1能被％+1整除.

证明：①当n=l时，62X1-1+1=6+1—7,能被7整除；

②假设当n=k时,即621+冷GN)能被7整除,

2(k+1)2k+12

那么当n=k+1时：6t+l=6+1=6(21>+2+1=62k-ix6+1=

62k-1X36+1=62k-1X(35+1)+l=62k-1x35+62k-1+l=62k-1x5x7+

(62k-1+1),

由假设知62(1x5x7+(62k-1+1)能被7整除，

所以当n=k+l时，命题也成立，

由①②可知，62「T+l(neN)能被7整除.

证明：①当n=l时，n(n+l)(2n+1)=6,能被6整除；

②假设当n=k时，即k(k+l)(2k+1)能被6整除，

那么当n=k+1时：(k+l)(k+2)(2fc+3)=k(k+l)(2k+1)+2k(k+l)=6(k+

l)2+fc(fc+l)(2/c+l),

两个表达式都能够被6整除，

所以当n=k+l时，命题也成立，

由①②可知，n(n+l)(2n+l)能被6整除.

【考点】

数学归纳法

【解析】

用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当71=1时，结论显然成

立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当

n=k+l时,结论也成立即可.

【解答】

证明：①当n=l时，/-1=(%+1)。-1),能被久+1整除；

②假设当n=k时，即/k一1(卜GN)能被无+1整除，

那么当n=k+l时：x2(k+1)—l—x2x2k-l—x2x2k-x2+x2-l—x2(^x2k-1)+

(x+l)(x-l),两个表达式都能够被x+1整除，

所以当n=%+l时，命题也成立，

由①②可知，/n-1能被％+1整除.

证明：①当n=l时，62X1-1+1=6+1—7,能被7整除；

②假设当n=k时,即621+冷GN)能被7整除,

2(k+1)2k+12

那么当n=k+1时：6t+l=6+1=6(21>+2+1=62k-ix6+1=

62k-1X36+1=62k-1X(35+1)+l=62k-1x35+62k-1+l=62k-1x5x7+

(62k-1+1),

由假设知62kTX5X7+(621+1)能被7整除，

所以当71=%+1时，命题也成立，

由①②可知，62"T+l(neN)能被7整除.

证明：①当n=l时，n(n+l)(2n+1)=6,能被6整除；

②假设当"=4时，即