大学物理第十四章波动光学课后习题答案及复习内容

第十四章波动光学

一、基本要求

1.掌握光程的概念以及光程差和相位差的关系。

2.理解获得相干光的方法，能分析确定杨氏双缝干涉条纹及薄膜等厚干涉

条纹的位置，了解迈克尔逊干涉仪的工作原理。

3.了解惠更斯-菲涅耳原理；掌握用半波带法分析单缝夫琅和费衍射条纹的

产生及其明暗纹位置的计算，会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响。

4.掌握光栅衍射公式。会确定光栅衍射谱线的位置。会分析光栅常数及波

长对光栅衍射谱线分布的影响。

5.了解自然光和线偏振光。理解布儒斯特定律和马吕斯定律。理解线偏振

光的获得方法和检验方法。

6.了解双折射现象。

二、基本内容

1.相干光及其获得方法

只有两列光波的振动频率相同、振动方向相同、振动相位差恒定时才会发

生干涉加强或减弱的现象，满足上述三个条件的两束光称为相干光。相应的光源

称为相干光源。

获得相干光的基本方法有两种：（1）分波振面法（如杨氏双缝干涉、洛埃镜、

菲涅耳双面镜和菲涅耳双棱镜等）；（2）分振幅法（如薄膜干涉、劈尖干涉、牛

顿环干涉和迈克耳逊干涉仪等）。

2.光程和光程差

（1）光程把光在折射率为"的媒质中通过的几何路程r折合成光在真空

中传播的几何路程x,称x为光程。x=〃r

（2）光程差在处处采用了光程概念以后就可以把由相位差决定的干涉加

强，减弱等情况用光程差来表示，为计算带来方便。即

当两光源的振动相位相同时，两列光波在相遇点引起的振动的位相差

△e=Cx21（其中人为真空中波长，6为两列光波光程差）

3.半波损失

光由光疏媒质（即折射率相对小的媒质）射到光密媒质发生反射时，反射光

的相位较之入射光的相位发生了万的突变，这一变化导致了反射光的光程在反射

过程中附加了半个波长，通常称为“半波损失

4.杨氏双缝干涉

经杨氏双缝的两束相干光在某点产生干涉时有两种极端情况：（1）位相差为

0或2万的整数倍，合成振动最强；（2）位相差》的奇数倍，合成振动最弱或为

0。其对应的光程差

八仕=0,1,2,...）最强

±（2k-l）—（左=1,2,...）最弱

-2

杨氏的双缝干涉明、暗条纹中心位置：

x=±k^^-（k=0,1,2,•••）亮条纹

d

x=+（2k-Y）—（k=1,2,•••）暗条纹

2d

相邻明纹或相邻暗纹间距：

Ar=-2（D是双缝到屏的距离,d为双缝间距）

d

5.薄膜干涉

以々＜〃2为例，此时反射光要计“半波损失”，透射光不计“半波损失”。则

反射光干涉公式：（干涉条纹定域于薄膜上表面）

明纹8=2^2-«i2sin2z+1=U(Z=l,2,…)

___________01

暗纹8=2eJn；-n-sin2i+-=(2A:+1)-(%=0,1,2,…)

v22

透射光干涉公式为：(干涉条纹定域于薄膜下表面)

明纹3=2eqsin.=kA(k=1,2,­••)

暗纹8=2e-7«2-«.2sin2z=(2A:+1)1

%=0,1,2,…)

这里强调同学们要注意的是，一定要先分析反射光是否存在“半波损失”的情

况，不能死搬硬套，另外要明白反射光加强的位置一定是透射光减弱否则就违反

了能量守恒的定则。

特殊地，垂直入射时，=（）,则有

（明纹）

上表面8=2n2e-\——=<(2^+1)1

（暗纹）

显然，对空气劈尖，由于存在“半波损失”，所以上式适用于空气劈尖的反射

光干涉的结论。而对牛顿环也是一空气劈尖，同样适用。只不过牛顿环的测量常

换成平凸透镜中心的距离;•与透镜的曲率半径R来表示牛顿环的明暗纹

(2J)/U

%=1,2,…(明环)

2

r=-JkR入Z=l,2,…(暗环)

6.迈克尔逊干涉仪

利用分振幅法使两个相互垂直的平面镜形成一等效的空气薄膜，产生双光束

干涉。干涉条纹移动条数N与平面镜移动距离〃之间的关系

.A

d=N—

7.惠更斯-菲涅耳原理

菲涅耳发展了惠更斯原理，他认为波在传播过程中，从同一波阵面上各点发

出的子波，经传播而在空间某点相遇时，产生相干叠加。这个发展了的惠更斯原

理称为惠更斯-菲涅耳原理。

光的衍射是同一光束中无数子波在障碍物后叠加而相干的结果。

8.单缝衍射

用半波带法处理单缝衍射问题，可以避免复杂的计算。

（1）衍射明纹中心位置3=asin*=±（2左+1）（（4=1,2,,…）

(2)衍射暗纹中心位置8=asmcp=+k2.(女=1,2,,…)

(3)其中在上=1的两个第一级暗纹之间的区域，即

-A<asin(p<A范围为中央明纹

中央明纹宽度”=红人

a

9.光栅衍射

(1)光栅由大量等宽等间隔的平行狭缝构成的光学元件称为光栅。

(2)光栅常数如果光栅的一个狭缝宽为“，缝间不透光部分宽为分，则

把(a+加=d称为光栅常数或光栅常量。

(3)光栅衍射如果把平行单色光垂直入射到光栅上，透过光栅每条缝的

光都会产生衍射，这N条缝的N套衍射条纹通过会聚透镜后，又互相发生干涉,

会形成细又亮的干涉主极大(明条纹)，所以光栅衍射就是单缝衍射和多缝干涉

的总效果。

①光栅衍射主极大条件(光栅方程)

(a+b)sin(p=kA.(k=0,±1,±2,,---)

②缺级条件若某一位置满足光栅方程的明纹条件，而单缝衍射在该处却

正好为暗纹中心，则该级谱线便不会出现，这种现象称为缺级，所满足方程式为:

3+b)sin°=9即心伏，=±1,±2,,…)

③光谱重叠如果波长为4的第乙级谱线与波长为友的第七级谱线同时

出现在屏上的同一位置，这种现象称为重叠，光谱级次越高，其重叠情况越复杂。

两谱线重叠时必须满足如下条件：

匕21k,九2

10.X射线衍射

X射线射到晶体上时产生的衍射现象称为X射线衍射。X射线在晶体上产

生强反射(形成亮斑)的条件为

2Jsin0=kA(k=0,1,2,...)

此式又叫布拉格方程。式中d为相邻晶面间的距离。

11.自然光与偏振光

(1)自然光光矢量的振动在各个方向上的分布是对称的，振幅也可看作

完全相等，这种光称为自然光。

可以把自然光分解为两个相互独立的(无相位关系)，等振幅的，相互垂直

方向的振动。

(2)线偏振光

如果光矢量始终沿某一方向振动，这样的光称为线偏振光。

线偏振光的振动的方向与光的传播方向构成的平面称为振动面。由于线偏

振光的光矢量保持在固定的振动面内，所以又称为平面偏振光或完全偏振光。

(3)部分偏振光

在一束光中，虽然光振动在各个方向都有，但各方向的振幅大小不同；或者

一束光中，如果某一振动方向的光振动较强，与之垂直的方向上光振动较弱，则

这一束光称为部分偏振光。

12.马吕斯定律

2

I=/()cosa

式中为入射到检偏器的线偏振光的光强。/为通过检偏器的透射光强(不

计检偏器对透射光的吸收)，a为检偏器的偏振化方向和入射线偏振光的光矢量

振动方向之间的夹角。

注意：(1)若是自然光入射到检偏器，则通过检偏器后，透射光强为入射光

强的一半。

(2)检偏器对透射光有吸收，如吸收x%,则/=(l-x%"ocos2a。

13.布儒斯特定律

当入射角，。满足条件tani°=生时，反射光为振动方向与入射面垂直的

完全偏振光。式中々为入射空间媒质折射率，散为折射空间媒质折射率，4称为

布儒斯特角。

对定律应注意：当，・，。入射时，折射光仍为部分偏振光(平行于入射面成

分占优势）。

14.双折射现象

双折射现象：一束光射入各向异性的晶体内分成两束折射光的现象。

光沿光轴方向在晶体内传播时不产生双折射。光轴表示一个方向、不是指

某一条直线。

（1）寻常光，简称。光

在双折射中，遵守折射定律的一束折射光称为寻常光。寻常光为线偏振光。

晶体内任一条光线和光轴所决定的平面称为这条光线的主平面。。光的电

矢量（光矢量）的振动方向垂直于其主平面。

（2）非常光，简称e光

在双折射中，另一束不遵循折射定律（即折射光线并不一定在入射面内、而

且对不同入射角，入射角的正弦与折射角的正弦之比不是恒量）的光称为非常光。

非常光为线偏振光。e光的电矢量（光矢量）振动方向总在其主平面内。

。光和e光都是对某种晶体而言，离开了晶体我们只能说它们是线偏振光。

引起双折射的原因是这两种光线在晶体内传播速度不同。。光沿晶体内各

个方向的传播速度相同，其波面是球面，其折射率〃。为一常数；e光沿晶体内各

个方向的传播速度不同，它的波面为椭球面。沿光轴方向两束光的速度相同，折

射率相同：%沿非光轴方向0"#4。

对于e光，沿各方向的传播速率不同，不存在普遍意义的折射率。通常把

真空中光速c与e光沿垂直于光轴方向的传播速率%之比，称为e的主折射率，

即ne=c/veo

在垂直于光轴方向上％与。,相差最大。

若%>4,no<ne,该晶体称为正晶体。石英是一种正晶体；若以〉巩，

ne<no,这种晶体称为负晶体。方解石是一种负晶体。

15.获得偏振光的方法

获得偏振光的方法有三种：（1）利用晶体的选择性吸收；（2）利用介质的

反射和折射；（3）利用晶体的双折射。

三、习题选解

14-3如图所示，在杨氏双缝实验中，当

作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何

变化？（扼要说明理由）

（1）使两缝之间的距离逐渐减小；

（2）保持双缝的距离不变，使双缝与屏幕之间的距离逐渐变小；题14-3图

（3）如图所示，把双缝中的一条狭缝遮住，并在两缝的垂直平分线上放置一

块平面反射镜。

解：（1）令两缝之间的距离为d,双缝与屏之间的距离为。，屏上任意一条

干涉条纹到屏中央的距离为X。

杨氏双缝干涉明、暗条纹的分布由光程差

z/r

S^—=dsmO

D

所确定dsin8=±H（干涉相长）

"sine=±（2Z+l）〃2（干涉相消）

其中。为干涉条纹的角距离

并一且sin。=x/D

即x明=+k?A

,.DA

Xng±（2Z+1）---

暗d2

据题意若d减小，在。和2不变的情况下，对应级数的加、x暗均增大，

即d减小时，干涉条纹变疏，两侧条纹向远离中央的方向移动。

杨氏双缝干涉的相邻明条纹或暗条纹的间距为

A•x—DA,

d

所以在。和；I一定的情况下，减少"便使Ax增大，即干涉条纹的间距变宽。干

涉图样变得容易分辨。

（2）同理，若d和2保持不变，减少O,对应级数的x明、/减少，Ac也变小,

即。缩短后干涉条纹变密，由两侧向中央靠拢，到一定程度时将分辨不清干涉条纹。

（3）此装置是使经跖一部分直接照射在屏上的入射光和一部分经平面镜反射的

反射光在空间形成干涉。反射光可认为是由位于$2上的虚光源发出的。一个实光源

和一个虚光源相当于杨氏双缝实验中的两个相干光源，但由于反射光在空气和平面

镜的分界面上反射时附加了半波损失，所以它的相干条件为

e/sin6»=（2^+1）2/2（干涉相长）

Jsin^=U（干涉相消）

或x=（2^+1）---（干涉相长）

llfld2

X暗=吟2（干涉相消）

此装置的干涉条纹和杨氏双缝干涉的条纹相比其明暗条纹的分布的状况恰好相

反。

14-4如图所示，双缝干涉实验中S&=SS2,用波长4的光照射跖和S2,通过

空气后在屏幕上形成干涉条纹，已知P点处为第三级亮条纹，求加到P和52到P点

的光程差，若将整个装置放在某种透明液体中，P点为第四级亮条纹，求该液体的

折射

率。

解：因为尸点处为第三级亮条纹，由定义：

3=西+歹-（西+丽=/-帝=3;1

放在某种透明液体中时.，光波长会变为方，

此时有5=4元=34

3W4

所以=—A>但犬=—故〃=—=1.33。题14-4图

4n3

14-5由弧光灯发出的光通过一绿色滤光片后，照射到相距为0.60加加的双缝上,

在距双缝2.5〃?远处的屏幕上出现干涉条纹。现测得相邻两明条纹中心的距离为

2.21mm,求入射光的波长？

解：杨氏双缝干涉条纹间距为

Ax=­A

d

其中，4为双缝间距，。为屏幕到双缝的距离，由此有

2=-Ax=°仞*1°—x2.27x10=5.5x107m=0.55um

D2.5

14-6在双缝干涉实验中，屏幕到双缝的距离。远大于双缝之间的距离d,对于

钠光灯的黄光(589.3〃〃?)产生的干涉条纹，相邻两明纹的角距离(即相邻两明纹

对双缝处的张角)为().20°：

(1)对什么波长的光，这个双缝装置所得相邻两条纹的角距离比用钠黄光测得

的角距离大10%?

(2)假如将该装置全部置于水中(水的折射率为1.33),用钠黄光照射时相邻

两明纹角距离有多大？

解：由于£>>>d,可以认为是在无穷远处平行光的干涉，干涉相长的条件为

dsinO=kAk=0,±1,±2,---

相邻的第4级和左+1级的干涉明条纹对应的张角为

dsinq=kA.

dsmOM=(k+1)4

dsin4+1-dsmOk=A.

当％较小时，可近似％用代替sina

d⑸+「*)=九

相邻明纹角间距\。=三

d

(1)由题意，用波长，的光照射同样狭缝时

△夕=(1+().1心6=1.必6

X-d\0=1.\d\Onm=l.lxA=l.lx589.3/7m=648.23/w?

(2)将该装置置于水中时，干涉相长条件变为

ndsin0=kA

相应的角分辨率为

nd\0=A\6=—

nd

此时光波长2和狭缝间距均未变

-=0.200

d

此时相邻明纹角间距为

A6>=-1x0.20°=-0^20°-=0.15°

n1.33

14-7如图所示，用单色光源照双缝，在屏上形成,上

的干涉图样中央零级明条纹位于。点。若将缝光源s\

移至s',零级明纹将发生移动。欲使零级明纹回到原于三

点，必须在哪个缝覆盖一薄云母片才有可能？若用波1I

长589〃加的单色光，欲使移动了4个明纹间距的零级

明纹回到。点，云母片的厚度应为多少？

云母片的折射率为1.58。题14-7图

解：可以看出光源由S移到S，后，S'StO<S'S2O.这时欲使零级条纹回到原点,

应在5,的狭缝处覆盖云母片，以增加由S'经3这一路光的光程使其等于5,0。

云母片折射率”=1.58,若覆盖加云母片厚度为e,则插入云母片后引起的光程差为

8={n-l）e

由题意J=（n—l）e=42

444x589xIQ-9

m=4.06x10=4.06

n-11.58-1

14-8在杨氏双缝实验中，用白光（波长范围为400-700nm）垂直入射双缝,

两缝间距为0.2mm,在距缝1.5m处的屏幕上出现光谱。求:

（1）写出各级光谱宽度计算式。

（2）第一级光谱宽度为多少？

（3）第一级光谱与第二级光谱是否重叠？

解：（1）在杨氏双缝实验中，明纹中心位置为

x=+k——(k=0,1,2,…)

la

则各级光谱在屏幕上的宽度可表示为

Sx=k—A2

2a

2a=2x104m,£)=1.5m,=3x107m代入得

Ax=2.25x10-3左小

(2)k=l得第一级光谱宽度为

Ax=2.25x103m

(3)第一级光谱中波长极大亮纹出现在屏上

处(入1=7()()nm)

12a

第二级光谱中波长极小亮纹出现在屏上

x2-2^—处(X2=400nm)

2a

由于24>4，所以々-%>0。即第一级光谱与第二级光谱没有发生重叠。

14-9在两块折射率为1.55的平板玻璃构成的空气劈尖中充满折射率〃2=138

的透明介质，若已知A、B、C三点处的介质厚度分别为

〃=0.15〃丸4=0.21〃W,分=0.25〃加，今用白光垂直入射，分别计算A、B、C三

点处的透射光中，哪种波长的可见光因干涉而获得强度极大值。

解：由题知一束光线经两块玻璃透射后，两束光线之间的光程差中不计半波损

失,透射光的光程差为5=2%e。在强度极大条件下，光程差应满足

3-ln2e-kA,(k=l,2,…)

所以，因干涉而获得极大的可见光中的波长为―

.2n-,e1方/一八I

2=——

7

(1)MeA=0.15///H=1.5X10-/?7

题14-9图

,2xl.38xl.5xlO-74.14…

A=------------------------=-----x1()m

kk

此时k只能取1。所以，在〃=0.15〃〃处，波长为414nm的透射光有干涉极大。

(2)对外=0.21〃〃?=2.1x0?

,2xl.38x2.lxl0-75.80^_

X=------------------=-----x1()7m

kk

此时k仍只能取I。所以，在办=021〃帆处，波长为580nm的透射光有干涉极大。

-7

(3)Xijec=0.25=2.5x10m

,2xl.38x2.5xl（）-76.90~

A.=-----------------=-----x10m

kk

此时k仍只能取1。所以，在=0.25〃帆处，波长为690nm的透射光有干涉极大。

14-10在空气中垂直入射的白色光从肥皂膜上反射，在可见光光谱中630〃/〃处

有一干涉极大，而在525〃加处有一干涉极小，在这极大与极小之间没有另外的极小。

假定膜的厚度是均匀的，求这膜的厚度。设肥皂水的折射率为1.38。

解：在垂直入射到肥皂膜的白光中，发生反射干涉的条件是：

1a（干涉极大）

C4

2ne-\——=<⑵+1）4（干涉极小）

2

2

依题意，若4=630〃机对应的干涉极大为女级干涉极大，则;I?=525〃相对应的是同

一级干涉极小

H--4-=k.A>t

21

2ne+—=Qk+

2

2ne=(k-=k%

k=________

2(4—4)

k入2

44=0.57pm

574〃（4-几。）

14-11白光垂直照射到厚度为0.40〃〃的玻璃片上，玻璃的折射率为1.50,试问

在可见光范围内(4=400~700〃加)哪些波长的光在反射中增强？哪些波长的光在

透射中增强？

解：白光垂直照射在玻璃片上，发生反射干涉增强的光波长需满足

2ne+-=kA(%=1,2,3・・・)

(2ne

K----

2

只有々=3时,，A2=480nm,落在(4()0~700〃加)可见光范围之内。

发生反射干涉相消的光波波长应满足

AA

2ne-\——=(2k+1)—

22

i2ne

A=-卜一

当％=2,4=600〃"，当左=3,4=400〃,〃时落在可见光范围内。由能量守恒知反射

干涉相消对应着透射光增强的状况。

所以波长为480〃〃?的光波在反射中增强，而波长为600〃加和400〃/〃的光波在透

射中增强。

14-12(1)在白光的照射下，我们通常看到呈彩色花纹的肥皂膜或肥皂泡，并

且当发现有黑色斑纹出现时，就预示着泡膜将破裂，试解释这一现象。

(2)在单色光照射下观察牛顿环的装置中，如果在垂直平板的方向上移动平凸

透镜，那么当透镜离开或接近平板时，牛顿环将发生什么变化？为什么？

答：(1)肥皂泡膜是肥皂水(〃=1.33)形成厚度一般并不均匀的薄膜，在可

见单色光照射下便可产生等厚干涉花纹，而且不同波长的单色光所形成的干涉花纹

分布是不同的。由于白光是包含各种波长可见光的复色光，因此肥皂泡膜在白光照

射下就可观察到呈现彩色的干涉花纹。至于当肥皂泡膜上出现黑色斑纹时，预示着

泡膜即将破裂可解释如下：

泡膜上的黑斑这一局部区域可近似看作厚度e均匀的薄膜，由于它的两表面与

空气相接触，因此在薄膜反射的干涉相消条件中须代入半波损失，其为

—sii?,+-=(4+,)九/=(),1,2…)

其中4为入射波长，i为光线入射角。在白光照射下出现黑斑这一现象，说明对于任

何波长的可见光在该处均产生干涉相消，此时唯有女=0,厚度e->0时，才能成立,

因而黑斑的出现即是肥皂泡膜即将破裂的先兆。

(2)在牛顿环装置中，若平凸透镜球面与平板玻璃相接触，干涉明暗条纹的条

件为

S=2e+g=Z2(k—1,2,•••)明条纹

3=2e+-={k+-^伏=0,1,2,…)暗条纹

22

2

上两式中，空气厚度e与环半径r间满足关系式e=匚，R为透镜球面的半径。

2R

将平凸透镜沿垂直于平板方向向上移动一距离〃，各处的空气层厚度均增加同

一量值〃，而各处的光程差也增加同一量值2万，为6=2(e+〃)+〃2,因此各处的干

涉条纹的级数都增加相等数。每当力增加〃4时，干涉条纹向里收缩，明暗交替变

化一次。而当〃增加〃2时・，干涉条纹又变得与原来相同，但干涉条纹的级数增加lo

所以当透镜离开平板时，干涉条纹向中心收缩。当透镜接近平板时，干涉条纹向外

扩张。各处将整体地同步发生明暗交替的变化，而且干涉条纹间距保持不变。

14-13白光垂直照到空气中一厚度为380〃加的肥皂膜上，设肥皂膜的折射率为

1.33。问该膜的正面呈现什么颜色？背面呈现什么颜色？

解：在垂直入射到肥皂膜的白光中，发生反射干涉相长的光波波长满足下面的

公式：

H—=kA,（女二12…）

2

4ne

因而4=

2k—1

将Z=1,2,…相继代入上式，可知当

,._4x1.33x380/rrc,仆H、

k=2,兀=---------nm=6739run（红色）

2x2-1

»Qj4x1.33x380/梦后、

攵=3,4=------------nm-404.3〃/%(紫色)

"2x3-1

恰好落在白光的波长组成范围内，而对其它左值的波长在白光波长组成范围之外。

由此可见，肥皂膜的正面呈现紫红色。

在垂直入射到肥皂膜的白光中，发生透射干涉相长的波长须满足：

2rle=kA(2=1,2,…)

.2ne

A=—-—

只有％=2,%=凶三a〃%=505.4〃机(蓝绿光)落在白光的波长组成范围内，

2

故肥皂膜的背面呈蓝绿色。

14-14在棱镜(4=1.52)表面涂一层增透膜(%=1.30),为使此增透膜适用

于550〃加波长的光，膜的厚度应取何值？

解：光垂直入射可增透膜上，为了增强光的透射，须使光在膜的两表面上反射

后光满足干涉相消条件，此时由于棱镜折射率大于膜的折射率，不存在半波损失引

起的附加光程差，所以有

2&e=(攵+g)Z伏=0,1,2,…)

Z.25507550一°°、

e=---kH-----=-------knm-\--------nm=(211.5k+105.H)mn

2%4%2x1.304x1.30

当攵=0时、可求得增透膜最小厚度为105.8〃加，当左取其它整数值时，从上式算出

得厚度对波长4=550〃加的光也都满足要求。

14-15彩色电视机常用的三基色的分光系统采用镀膜的方法进行分色。现要求

红光的波长为600〃〃?，绿光的波长为520〃〃?，设基片玻璃的折射率为〃=1.50,膜

材料的折射率〃'=2.12,试求膜的厚度。

解：设薄膜厚度为e,薄膜反射干涉相长条件为

__________2

f22

2e^n-sinzH——=kA(%=1,2,…)

2

其中〃，=2.12为薄膜的折射率，7=45。为入射角，薄膜的厚度应满

足

(%」)％

e=—=

2ylnf2-sin2i2

—I=*——)A=(k—)-y题14-15图

2y1nr2-sin2z224

于是对应红光4=600〃，〃的薄膜厚度为

e,=/一；）呼〃机=（左一；）xl50〃m

对应绿光4=520〃加的薄膜厚度为

6=（左一；）苧=（左一;）x130/?m

当人=1时，薄膜的厚度分别为

ex—15nme2=65mn

当左取2,3,或其它值时所算出的厚度也能满足分色的要求。本题的答案不是唯一的。

14-16波长为680〃〃?的平行光垂直地照射到12c加长的两块玻璃片上，两玻璃片

一边相互接触，另一边被厚0.048机帆的纸片隔开，试问这12cm中呈现多少条明条

纹？

解：劈尖干涉中两条光线光程差如图a为

A

8e=2neH——

2

干涉明条纹条件为

伏=1,2,…)

若两条相邻明条纹之间的间距为Ax,如图b,则题14-16图

当e<v1时,sin。e2。

L

在长为L的距离中干涉明条纹条数为

、，L2D2x0.048x10-3

N--=---=-------------=141耒

ArA680x10-9

14-17有一劈尖折射率”=1.4,尖角，=107rad。在某一单色光的垂直照射下,

可测得相邻明条纹间的距离为0.25c打，试求：

(1)此单色光的波长。

(2)如果劈尖长为3.5cm,那么总共可出现多少条明条纹？

解：(1)劈尖干涉的条纹间距为

入Av12-n，A____

sin02nd

因而光波长2=2适xAx=2x1.4x1(Lx().25x1(产〃?=0.7x1()«m=700〃〃？

(2)在长为3.5c〃?劈尖上，明条纹总数为

浦L3.5x10-2

N=—=----------=14条

M0.25x10-2

14-18如图所示：检查一玻璃平晶(标准的N

光学玻璃平板)两表面的平行度时.，用波长

4=632.8〃m的氮-就激光器垂直照射，得到L/----

题14-18图

20条干涉条纹，且两端点M与N都是明条纹，设玻璃的折射率〃=1.50,求平晶

两端的厚度差。

解：设玻璃的宽度为/，厚度差为d,则sin。ad//。

劈尖干涉的条纹间距为

2/2«AI

=—；——«---

sin02nd

由于端点〃与N都是明条纹，间隔数目为(N-1)个。由题意：—=2V-1

Ar

于是玻璃厚度差为

」2IA(7V-1)4328xlQ-|Ox(20-1)

a=------=--------m=4.01x10~6/n=4.01/jm

2〃Ax2n2x1.5

14-19（1）若用波长不同的光观察牛顿环，\=6（X）nm,A2=450nmo观察到用

4照射时第％级暗环与用照射时的第左+1级暗环重合，已知透镜的曲率半径为

190cm。求用4时第4个暗环的半径；

（2）又在牛顿环中用波长500〃〃?照射，其第5个明环与用波长不时的第6

个明环重合，求波长九2。

解：（1）牛顿环中第上级暗条纹半径为

rk=j2Re«=y/kRA.

式中R为透镜球面的曲率半径，2为照射光波长。依提意，波长为4时的第％级暗

条纹与波长为4时的第k+1级暗条纹在r处重合时,满足

r==d（k+1）/?九）

左二工_

于是

4—4

119()X1(尸X60()X1()-9X45()X1()-9

=1.85xl(T3AM

V4-4\(600—450)x10-9

（2）牛顿环中第左级明条纹的半径为

用波长4=500〃〃?的光照射时匕=5的明条纹与用波长乙的光照射时&=6级明条

纹重合，这时有关系式

1(2尤-1)除_32-I)/

V2-V2

所以A,=——-4=2*5_1x5(X)nm=409Anm

22心-12x6-1

14-20如图所示，平面玻璃板是由两部分组

成（冕牌玻璃〃=1.50,火石玻璃”=1.75）,透

镜是用冕牌玻璃制成，而透镜和玻璃之间充满

二硫化碳（〃=1.62）。问由此而成的牛顿环的

花样如何？为什么?

解：在装置的左侧，由于火石玻璃折射率大于二硫化碳的折射率。当光波由冕

牌玻璃射向二硫化碳，以及由二硫化碳射向火石玻璃时，上下表面的反射光线都有

半波损失。因而没有额外的光程差，牛顿环中心为亮斑。

在装置的右侧，光线从冕牌玻璃射向二硫化碳时，反射光线有半波损失。而由

二硫化碳射向冕牌玻璃时，反射光线没有半波损失，因而上下表面的反射光线有“2

的额外光程差，牛顿环中心为暗斑。而且在左侧为明条纹的位置，在右侧是暗条纹。

14-21如图所示的实验装置中，平面玻璃片上放一滴油，当油滴展开成圆

形油膜时，在波长4=600〃帆的单色光的垂直入射下，从反射光中观察油膜所形成

的干涉条纹。已知玻璃的折射率〃।=1.50,油膜的折射率〃2=1.20,问：

（1）当油膜中心最高点与玻璃片上表面相距。=1200〃加时，看到的条纹情况如

何？可看到几条明条纹？明条纹所在处的油膜厚度为多少？中心点的明暗程度如

何？

（2）当油膜继续扩展时，所看到的条纹情况将如何变化？中心点的情况如何变

化？

解：（1）在空气-油以及油-玻璃反射界面上均有半波损失，因此明条纹的位置

须满足2n2e=U（左=0,1,2…）

从读数弟微院观察

式中e为油膜的厚度

当上=0,=0

k=1=250nm

k=2e2=500nm

k=3-750nm

k=4=1000/?m题14-21图

k=505=1250nm

由此可见，在圆形条纹区域内，可观察到明暗相间的同心圆条纹，且油膜边缘

处为0级明环。

当e=/?=1200〃m,可看到五条明条纹(女=0,1,2,3,4)。而中心点的明暗程度介

于明条纹与暗条纹之间。

(2)此时油膜半径扩大，油膜厚度减少。圆形条纹级数减少、间距增大。中心

点由半明半暗向暗、明、暗、明……依次变化，直至整个油膜呈现一片明亮区域。

14-23在复色光照射下的单缝衍射图样中，其中某一波长的第3级明纹位置恰与

波长；1=600〃加的单色光的第2级明纹位置重合，求这光波的波长。

解：设单缝宽度为。，衍射明条纹的衍射角满足：

asin(p-±(2k+1)g(k=1,2,­••)

由题意，波长/L=60(km时的第2级明条纹与波长为4时的第3级明条纹重合

«sin^=(2x2+l)—=—2

o»7

asin^>=(2x3+1)—=

=—A=—x600nm=428.6〃/〃

77

14-24在单缝衍射实验中，如果缝宽。等于入射单色光的(1)1个波长；(2)10

个波长；(3)IO2个波长；(4)IO4个波长时，分别计算其中央明条纹边沿的衍射角，

结果说明什么问题？

,2

解：中央明条纹边沿衍射角为sin°=一

a

(1)当a=4时，sin°=\\(p=90。

sin^>=^;^>=5o44r

(2)当a=10。时,

(3)当a=时，sin。==10~2;^=34，

(4)当a=时，sin^>==104;/=20.6"

结果说明缝宽越宽时，衍射条纹越密，而且当缝宽远大于波长时OfO,光线沿轴

向传播，这是光线直线传播的经典极限。

14-25在宽度a=0.6mm的狭缝后D=40cm处有一与狭缝平行的屏，如以平行

单色光垂直入射，在屏上形成衍射条纹。若在离0点为x=L4mm的P点，看到的

是明条纹，试求：

(1)该入射光的波长；

(2)p点条纹的级数；

(3)从P点看来对该波而言，狭缝处的波阵面可看作半波带的数目。

解：由题知x=1.4*10"根,a=6.0x1。7九/=。=0.40根代入单缝衍射明纹位

置公式x«+(2k+(左=1,2,3,…)得

2ax2x6.0x104xl.4xl0-3,„,

(2k+lU=---=---------------------=42x107m

f0.4

(1)X的取值范围为(4x10-7机,7X]O-7m)

左=3时4=6.0x10-7根

左=4时4=4.67x10-7/〃

都在合理的取值范围内，所以该入射光的波长可以是6.0x10-7〃?，也可以是

4.67xlCT，

(2)由(1)知％=6.0x10-7/〃时，P点条纹为3级；

%=4.67x10-7根时，p点条纹为4级。

(3)从P点来看，对4=6.0x10-7m的光波而言，狭缝处的波阵面可以分为

2x3+l=7个半波带；对4=467x10-7机的光波而言，狭缝处的波阵面可以分为

2X4+1=9个半波带。

14-26(1)在单缝衍射中，为什么衍射角。越大(级数越大)的那些明条纹的

亮度就越小？

(2)当把全部装置放入水中时，单缝衍射的图样将发生怎样的变化？在此情况

下，如果用公式

asin0=±(2%+l)g{k-1,2,3,,,,)

来测定光的波长，问所测出的波长是水中的波长，还是空气中的波长？

答：(1)衍射角越大，则asin。可分的半波带数目asin“g越多，分成波带的

面积以及相应的光能量越小。再因为级数越高的明条纹，相消的半波带的数目也越

多，留下未相消的一个半波带形成明条纹，因此它的亮度就越小了。

（2）当把全部装置放在水中时，由于光波在水中的波长变短了，变为真空中

的〃分之一，因此单缝衍射条纹变密了“倍。如在此情况下，用公式

asin°=±（2k+1）—（k-1,2,3,…）

来测定光的波长，应是光在水中的波长。

14-27波长为500，〃〃的平行光线垂直入射于一宽为加机的狭缝，若在缝的后面

有一焦距为的薄透镜，使光线聚焦于一屏幕上，试问从衍射图样的中心点到

下列各点的距离如何？

（1）第一极小；（2）第二级明纹的极大处；（3）第三极小。

解：（1）单缝衍射各级极小的条件为：asm（p^+kA,（左=1,2,3,…）

衍射图形的第一级极小，可令左=1求得：«sin^=2

它离中心点距离

500xl<)-4

x,=/tan^«/sin^=/-=lx^,ffl=5X10/«=0.50〃”〃

a1x10

（2）单缝衍射明纹各级极大的条件为:

45亩°=±(2女+1)(

(女=1,2,3,…)

osin夕=2.52

第二级明条纹的位置为：

x[=ftan(p

它离中心点距离

x；B/sin°=/21=1x2.5x500x1。:-=]&xIO、m=125mm

a1x10

4sin夕=34

（3）第三级极小的位置为：

当=ftan(p

寸小皿方产=lx邺变平^=L5xl0'=i5加

a1x10"

14-28有一单缝，宽a=0.10“n,在缝后放一焦距为50c机的会聚透镜。用平行

绿光（几=546〃加）垂直照射单缝，求位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹的

宽度。如把此装置浸入水中，中央明条纹角宽度如何变化？

解：(1)中央明条纹角宽度满足公式：

—A<”々sin。v4

空气中，n=lf=50cm

又/»a，所以sin夕《tan夕

中央明条纹宽度

Ar=2/tan0«2/—=2x0.50xm=5.5x103m=5.5mm

naO.lOxlO-3

(2)浸入水中时1.33

CUA/[r\—9

Ax=2/---=2x0.50x---------------»?=4.1x103m—^Amm

n'a1.33x0.10x10-3

浸入水中，〃增大，角宽度减小。

14-30一束具有两种波长4和;I2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长

4的第三级主极大衍射角和乙的第四级主级大衍射角均为30。，已知4=560〃加，

试问

(1)光栅常数。+匕=?

(2)波长4=?

解：(1)光栅衍射公式为

(a+/?)sin0=±以(左=0,1,2,,…)

由题意4=560〃加,Q=30°时，k=3

光栅常数a+Z?=-M=64=6x560x10-9m=3.36x10-6加

sin30"1

(2)由题意有(a+勿sin30°=44

.(«+h)sin300343

Z,=------------=--=—x560nm=420nm

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