高中数学数列练习题附答案与解析

最全的高中数学数列练习题附答案与解析

一、单选题

1.已知S.为数列｛，，“｝的前"项和，％=3S〃+4,那么%=()

I11

A.14B.-C.—D.----

884

2.是定义在R上的函数，若/(力+/是奇函数，/(X)-x是偶函数，函数

[比黑如则，

g(x)=<)

B.当xw(l,2)时，g(x)=2/(x)

2"-1

D.

4

3.已知等比数列｛《,｝的公比为q,前〃项和为5“.若4=2邑+1，&=25+1,贝版=

()

A.3B.2C.-3D.-2

4.已知前〃项和为S”的数列｛q｝满足=4,+〃2-3"+2,则"2022=()

A.-2x20222B.2x20222+8086C.2x20232+4044D.2x20232+8086

5.己知在等比数列｛4｝中，4+%=3,4+%=6,贝1]4。3=()

A.2B.4C.V2D.272

6.某项数为4的等差数列的前三项的和为15,后三项的和为21,则所有项的和为()

A.36B.30C.27D.24

7.已知S.为正项等差数列｛4｝的前"项和，若生+%=《，则跖=()

A.22B.20C.16D.11

8.等差数列｛%｝中，4<4，4+1=0,则当前〃项和S,最小时，«=()

A.7B.8C.6或7D.7或8

9.已知数列｛4｝中各项为非负数，叼=1,%=16,若数列｛n｝为等差数列，则％=

()

A.31B.49C.256D.361

10.在等差数列｛丹｝中，已知。2=5,4=1，则&=()

A.3B.-1C.-3D.0

11.已知等差数列｛对｝的各项均为正数，其前“项和为5,,且满足4=17,S5=a2a3,则

《2=()

A.28B.30C.32D.35

12.已知数列｛%｝的前刀项和为S.，其中4=1,%,2%,%+3成等差数列，且

",,+i+则4=()

A.2"-IB.2'i

C.(l+A)，，-，-lD.(2+4)"'

13.已知数列｛4｝的前"项和为S“，且为=16,a„+l-2a„=0,则1为()

A.1024B.2096C.1023D.2095

14.一张报纸，其厚度为。，面积为方，现将报纸对折5次，这时报纸的厚度和面积分别是

()

A.32a,—B.64a,—

3264

C.128a,-----D.256a,

128256

15.数列｛为｝前0项和为S"，若｛可｝满足：均有且S,20,贝称数

列｛%｝为"和非负"数歹U.数列出｝为有且仅有6项的“和非负"数列，则这样的数列他,｝的个

数为()个

A.20B.24C.28D.30

二、填空题

16.函数/(x)=3|x+4|-2|x+2|,数列a”02,an...,满足a/?+i=f(an),nGN*,若

要使S,。2,成等差数列.则G的取值范围.

17.已知数列｛4｝的前"项和为%若S“=24+加(m为非零实数)，且。；+2%=0,

则形=.

18.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了

工=(2广+16eN*)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算

出.月=641x6700417,也就是说打不是质数，这个猜想不成立.设

4=例4亿-*〃€"),5“是数列｛叫前“项和，若2於5“对恒成立，则m的最

大值是.

19.已知数列｛4｝的首项4=2,且满足(4,“-4-3)(4向-2%)=0对任意"€用都成立，

则能使4“=2023成立的正整数，”的最小值为.

•>)

20.椭圆工+匕=1上有10个不同的点Pl0,若点7坐标为(1,0),数列

168

｛|7'刃｝(〃=1,2,…,10)是公差为"的等差数列，则d的最大值为.

三、解答题

21.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,2Sn^^2Sn+an；正项等差数列｛bn｝的首项为

2,且仇，帆一1,b3成等比数列.

(1)求｛刖｝和例｝的通项公式;

(2)若cn=an+3一,｛co｝的前〃项和7/?满足7"+kV0(neN*),求实数k的取值范围.

22.已知等差数列风｝中，/=3,4=6,且我=忖:篝

⑴求数列他｝的通项公式及前2n项和；

⑵若%=%3%,，记数列｛g｝的前n项和为S“，求5”.

23.已知数列｛q｝的前n项和为S“，S,,=2a“-2（〃eN）

⑴求数列｛叫的通项公式；

⑵若仇=log”.2,则在数列｛"｝中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来

顺序构成等差数列？若存在，请举例写出此三项；若不存在，请说明理由.

24.已知数列｛《,｝是公比qxl的等比数列，%=81,且。3,21，3q成等差数列.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵若数列他,｝满足々=1，2+%=（2〃+1）%,记7；,"+>"…+出bn,若

门Y41115

c„+-b=-T,证明：一+—+...+—<£.

"⑶n"3"nqc,c„3

【参考答案】

一、单选题

1.C

【解析】

【分析】

根据%=3S“+4,利用数列的通项和前"项和的关系，求得数列的通项求解.

【详解】

因为a“=3S“+4,

当”=1时，4=-2,

当，此2时，由%=3S“+4

得%=3S_+4,

两式相减得=3（S.—S,i）=3a.，

即又见=一；%'

所以｛a,,｝是等比数列，

an=（-2）_，则4=（-2）_=_（,

故选：C

2.D

【解析】

【分析】

先利用/(力+/是奇函数和f(x)-x是偶函数求出函数f(x)的解析式，利用已知条件中的

分段函数画出一部分函数图象，通过观察可知成首项为:，公比为2的

等比数列，g(F)(&eN*)的值成首项为公比为2的等比数列，最后依次判断即可.

【详解】

因为/(》)+犬2是奇函数，/(X)-X是偶函数,

所以夕"：尤=―/")一",解得〃x)=x—x2,则选项A错误；

f(-x)+x=f(x)-x

由得f)时，g(x)=2g(x-1),

Vx-1e(O,l),A^(x)=2g(x-l)=2/(x-l)=-2x2+6x-4,则选项B错误；

同理可得，

当x£(2,3)时，g(x)=2^(x-l)=4g(x-2)=4/(x-2)=-4x2+20x-24,

以此类推，得到g(x)的图像如图所示，由图可知，

根据图象可知glUWeN.)刚好是每一段抛物线的最大值，其最大值成首项为:，公

比为2的等比数列，则g(亨)=；x2"-'=2卜3(%eN*),

同理可知g(券)依eN.)的值成首项为g,公比为2的等比数列，

2攵+1

g

2

即一=2（4£”），则选项C错误;

2k-1

g

2

Eg（掾）表示数列g（U）依eN*）的前项和，

2"-1,则选项D正确;

4

3.A

【解析】

【分析】

将题中两等式作差可得出%=2为，整理得出q=34，由此可计算出4=4•的值.

a3

【详解】

将等式。3=2邑+1与。4=3s3+1作差得%一。3=2a3，。4=3%，

因此，该等比数列的公比q=%=3,

%

故选：A.

4.B

【解析】

【分析】

利用赋值法，分别令”=2024,〃=2022求出S?必=2023x2022,S202l=2021x2020,再令

n=2023可得Sag=2邑023+2022x2021,再由a2m2=—S2021可求得结果

【详解】

因为㈠)"•S,,=%+/_3〃+2=a„+(〃-1)(〃-2),

所以(-1)2叫S2c24=%024+(2024-1)X(2024-2),

所以$2必=邑。24-S2⑵+(2024-l)x(2024-2),

所以5皿3=(2024-l)x(2024-2)=2023x2022,

同理S2021=2021x2020,

2023

因为(-1)-S2O23=。2期+(2023-l)x(2023-2)，

所以-S2O23=$2023一$2。22+2022x2021,

所以S2022=2s2023+2022X2021,

所以。2022=‘2022—4^2021

=2s2023+2022X2021-2021x2020

=2x2023x2022+2x2021

=2x20222+8086,

故选：B

5.A

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式代入求解4、q\即可求解.

【详解】

解：由题意得：

设等比数列｛q｝的公比为夕

q+%=3,/+%=6

G+qg2=3,qg2+qg4=6

=整理得/-q2_2=0,解得q2=2

q-+q2

4=1

**=6Z|q=2

故选：A

6.D

【解析】

【分析】

由题设4+2(4+%)+%=36,根据等差数列下标和性质可得a2+“3=4+4=12,即可得

结果.

【详解】

由题设4+。2+“3=15,a2+a3+a4=2\,

所以q+2(4+“3)+”4=36,而出+%=6+。4，则3(。2+%)=36,

故%+%=4+%=12,则4+电+%+为=24.

故选：D

7.A

【解析】

【分析】

根据%+。9=年可求得4,利用等差数列的性质化简品=114，可得答案.

【详解】

由题意设正项等差数列｛。,,｝的首项为4,4>0,公差为4

故由〃3+“9=。；得：2at+\0d=a^,

即2a6="/,4=2,

故％==114=22,

故选：A

8.C

【解析】

【分析】

由《<4，6+。8=°，得到公差d>0，4=-6d<0,再根据等差数列的求和公式以及二

次函数知识可求出结果.

【详解】

设公差为d,

因为4<4，所以2d>0,所以d>0,

因为%+1=()，所以2%=。，所以%=°，所以％+6d=0,a]=-6d<0,

°n(«-l),,,n(n-1)1.(13丫169

所以S“=〃4+'~--d--6nd+--~d=-clIn---I--—,

所以当〃=6或〃=7时，S“取得最小值.

故选：C

9.B

【解析】

【分析】

按照题意求解出等差数列的公差，代等差数列通项公式即可计算出结果.

【详解】

解：由题意外=1,%=16,.•.疯=1,疯=4,又因为数列｛疯｝是等差数列，

所以公差1=普三/=1,且屈'=0满足各项为非负数，

则7^=8+(8-1)"=7可得4=49

故选：B.

10.B

【解析】

【分析】

由%=4+2"解得d=-2,则%=4+”即可求解.

【详解】

由题意，可设等差数列｛《,｝的公差为d,

则%=%+2d,得5+2J=l,解得d=-2,所以%=%+〃=1-2=-1,

故选：B.

11.D

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质，通项公式及其前〃项和公式求解即可.

【详解】

因为55=生詈0=5。3=%。3,所以生=5,

又因为％=17,所以公差1=与二笠=3,

6-2

所以。12=6+6d=17+18=35,

故选：D.

12.B

【解析】

【分析】

利用4=S„-S,15N2)及4,2得到｛an｝是等比数列，再结合已知可得答案.

【详解】

〃22时，由已知，。”+1=250+1,""=2S"T+1，

；•一4=2S“-/IS,I=，

%=(A+l)a„,

2=45+1=2+1满足上式，

又4=1,27-1,；.｛可｝是等比数列，%=。+/产

又q+%+3=44,%+4=M,

(1+4)2+4=4(1+4)

A=1,

；•M=2-'.

故选：B.

13.C

【解析】

【分析】

先由定义判断数列｛%｝是等比数列，求出首项，再按照求和公式求品,即可.

【详解】

由用-2M=0可得”的=22，又％=16,故数列｛4｝为公比为2的等比数列,

则%=16=a「2,，解得q=l,故5“、="°一2)=1023.

|。1-2

故选：C.

14.A

【解析】

【分析】

根据对折一次后所得厚度和面积与此前厚度和面积的比例关系可直接得到结果.

【详解】

每对折一次，厚度变为原来的2倍，则对折5次后的报纸厚度为25.=32.；

每对折一次，面积变为原来的;，则对折5次后的报纸面积为匕=2.

2\2)32

故选：A.

15.A

【解析】

【分析】

由4=1,结合题设条件，利用列举法得出数列｛"｝的个数.

【详解】

由题意可知，4=1,q,%，%，6，%的值列举如下：

故这样的数列低｝的个数为20个.

故选：A

二、填空题

16.｛-8｝U[-2收)

【解析】

【分析】

由绝对值的意义可得/(x)的分段函数式，求得对任意。向-%>0即｛4,｝为无穷递

增数列，又｛q｝为等差数列，所以存在正数M,当〃时，a„>-2,再对《讨论，

勾4-4,-4<4<-2与42-2时，结合函数式与等差数列的通项即可得出结论.

【详解】

当xN-2时，〃x）=3（x+4）-2（x+2）=x+8

当Y<x<-2时，/（x）=3（x+4）+2（x+2）=5x+16

当xW-4时，/（x）=-3（x+4）+2（x+2）=-x-8

所以当时,a„+1-a„=8；

当一4<a“<-2时，a,l+1-an=4a“+16>4x（Y）+16=0

当4-4时，an+i-an=-2an-8>-2x（-4）-8=0

所以对任意〃eN*,-—4>0即｛为｝为无穷递增数列，

又｛4,｝为等差数列，所以存在正数M,当〃>M时，«„>-2

从而4+「凡=8,即公差为d=8

①若qW-4时，a2=-^-8=^+8,即q=-8,从而4=。

当〃22时，由｛q｝为递增数列，故。,？%=0>-2

所以%+1="”+8,即为=4+8,故当q=-8时，符合要求，

②若-4<q<-2时，％=5弓+16,又々=4+8,所以q=-2,舍去

③若时，％”-4=8符合要求.

故答案为：｛-8｝U[-2,+8）

17.2

【解析】

【分析】

由所给的递推关系计算出的通项公式，再结合所给的条件即可.

【详解】

当〃=1时，H=q=一相W0,

当〃22时，S„_1=2<2„.1+?«...（1）,又S,=2。“+〃?…②，

由②-①得见=勿,1（”之2）,又因为q=-加二。，

所以-=2（〃*2）,，｛q｝是公比为2的等比数列，即q,=q-2"T,

an-\

由=2atl,当〃=1时，S]=4=一加，贝！J%=-2"，%=一4机,

因为〃；+2〃3=0,即4"P-8/%=0（%w（））,解得机=2.

故答案为：2

18.g##0.5

【解析】

【分析】

根据条件化简得4=2小，再求前”项和，根据不等式恒成立可求解.

【详解】

9r>11

由题意可知，a„=log4（2）-=2"X]=2"T,2m<^-=2"-l,显然当鹿=1时，m取到最

大值为

故答案为：y

19.15

【解析】

【分析】

由己知等式得%+i=a“+3或4”=24；当｛q｝为等差或等比数列时，可知不满足题意；则

｛4｝为等差与等比的交叉数列，要使用最小，则可利用递推关系式所满足的规律进行推导

得到结果.

【详解】

由（4+1-4-3）（a“+]-24）=。知:an+l=a”+3或a”％=2a“；

当％M=“,,+3时，数列｛%｝是以2为首项，3为公差的等差数列，

2024

.-.a„=2+3（n-l）=3n-l,贝ij=3〃?-l=2023,解得：=（舍）；

当4M=2%时，数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

n

:.a„=2-2"-'=2,则4=2"'=2023,解得：w=log22023（舍）；

••・数列｛6｝应是等差与等比的交叉数列，又4=2,%=4或出=5；

若要”最小，则册=2020+3=2x1010+3,2020,«„,_2=1010,

251

“吁3=505,a,,”=502,a吁S=L*=248,*=24,am_8=124,am_9=62,

a

m-io三31Mm_u=28,am_n=14,am_l3=7,am_iA=4,am_l4=at=2,

的最小值为15.

故答案为：15.

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据数列中的规律求解数列中的项的问题，解题关键是能够根据递

推关系式明确数列｛%｝是等差和等比各项交叉所得的数列；若要使加最小，则需尽可能利

用%.=2%对数列中的项进行缩减，进而返回到首项上.

5-V7

20.

9

【解析】

【分析】

求出椭圆上的点尸到点T的最大距离和最小距离，即可得出d的最大值.

【详解】

设椭圆上任意一点P（4cosa,2应sine）,则

\TP\=J(4cosa-I1+8sin，a=7+81cosa-g)

,/cosae[-l,l]/.|孙[五,5]

.•.当|弭=疗，网=5时,数列{|4|}(〃=1,2,.-,1())的公差"最大,

故d的最大值为：土立；

9

故答案为：匕包.

9

三、解答题

7

(2)(-co,--]

6

【解析】

【分析】

(1)由25ru1=2S"+orb利用数列通项和前n项和的关系求o/7.根据也，历一1,3成等

比数列，利用等比中项求解；

=("+14一一力利用分组

(2)由cn一所+八&—+八。、：

々也用1^2)(3〃-1)(3/?+2)12)313"-13〃+2J

求和，裂项相消法求得用求解.

(1)

解：由2Sf7+i=2Sr?+oo得，

2Snj-i-2Sn=2an^.i=anf

・〃〃

•■+1_一?1，T又71

M2ai--2>

•••｛an｝是首项为公比为g的等比数列.

._。丫

..an=—.

设等差数列｛bn｝的公差为d(d>0),由设=2,bi,b2-l,必成等比数列.

(d+1)2—2(2+2d),BPd2—2d—3—0.

\'d>0,：.d=3.

bn=3n—1.

(2)

..,__fiY,ifiY,______!_)

.cn—an+.,——+八-一、一一।

她(2)(3〃-1)(3〃+2)(2)3(3〃-13〃+2/

.•・T+出+…1｝fl1Y

8广…+[3/7-I3/7+2J])

21-(2)Ifl1]

]3123n+2J

2

1

=L_flT

6+3(3"+2)'

(1Y17

不等式7»+k<0可化为kV-+-7-—-T--,

)3(3〃+216

•••06/且数列(41+斤~二单调递减，

：.(“+-7-^~r--的值域是(二,—2,

⑵3(3〃+2)665

故k<~,

o

7

所以实数A的取值范围为(-8,

O

22.⑴2=]，金里;，数列也｝的前2〃项和为++

[2，久为1周数3

⑵s“=(6”+t

【解析】

【分析】

(1)结合。3=3,4=6求得等差数列｛%｝的通项公式，即可得也,｝的通项公式，利用分

组求和的方法，根据等差数列和等比数列的前n项和公式求解即可；

(2)由(1)可知C.=AT也，=2〃X22"=2〃-4”,利用错位相减法求解即可.

⑴

设等差数列｛q｝的公差为d,则4=与学=1,

所以4=%+("-3)"=〃，从而%，2〃〃为偶数•

b[+4+4+,—F+b1n=(2+4+…+2〃)+(2〜+24+…+2~")

〃x(2+2〃)4x(1-4")

~2+-1-4

=n(n+l)+-(4"-l).

⑵

2

'/c“=bln_x-瓦“=2〃x2"=2n.4：

：.5„=2x4'+4x42+6x4，+…+2〃4,

45„=2x42+4x43+6x444---+2(n-l)-4,,+2n-4,,+l,

相减得，-35„=2X4I+2X42+2X43+---+2X4,'-2/?-4,,+I,

即nW卜

23・⑴4=2"

⑵存在，仇=么=1，b6=T

23