专题3.5抛物线的标准方程及简单几何性质（八个重难点突破）（解析版）

专题3.5抛物线的标准方程及简单几何性质知识点一抛物线的定义我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．注意：①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0；②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．知识点二抛物线的标准方程及简单几何性质标准方程图象性质范围对称轴x轴y轴顶点焦点准线离心率知识点三通径与焦半径1．通径过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p．2．焦半径抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程焦半径重难点1抛物线定义及应用1．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的定义求解．【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．故选：C．2．若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用抛物线定义有，结合已知求即可.【详解】设焦点为，则，解得．

故选：D3．已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据抛物线的定义结合可求得，然后将点的坐标代入抛物线方程可求出的值.【详解】因为点在抛物线上，，所以，所以，所以，所以，解得.故选：C

4．已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则．【答案】4【分析】做准线于点，轴于点可得，，再由抛物线定义可得答案.【详解】如图，做准线于点，轴于点，所以，因为，所以，所以，解得.故答案为：.

5．已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则．【答案】4【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】设抛物线焦点为,由于在抛物线上，故，根据题意可得,由抛物线定义可得，故答案为：4

6．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则．【答案】4【分析】求出点M的坐标，利用抛物线的焦半径公式可得关于p的方程，即可求得答案.【详解】把代入抛物线方程（），得，得，根据抛物线的定义有，解得，故答案为：4重难点2抛物线的标准方程与焦点、准线7．已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意结合抛物线方程可得，即可得抛物线的焦点坐标.【详解】因为抛物线的焦点为，准线为，由题意可知：焦准距，所以抛物线的焦点坐标为.故选：C.8．圆的圆心在抛物线上，则该抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆的方程得出圆心坐标，代入抛物线方程求得参数后可得焦点坐标．【详解】圆的圆心坐标为，则，得，所以该抛物线的焦点坐标为．故选：A．9．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合椭圆和抛物线的标准方程定义判断即可.【详解】由，则方程表示焦点在轴上的椭圆，方程化为，由于，则方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线.故选：A.10．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程.【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上，故抛物线的标准方程是.故选：D11．已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】利用抛物线的定义及标准方程计算即可.【详解】由题意可知该抛物线的焦点坐标为或，所以其对应标准方程为为或.故选：D12．抛物线绕其顶点顺时针旋转后得到抛物线，则的准线方程为．【答案】【分析】把抛物线化为标准方程，可得焦点坐标和准线方程，由旋转方向和角度可求旋转后的焦点坐标和准线方程.【详解】抛物线的标准方程为，其焦点为，准线方程为，将抛物线绕其顶点顺时针旋转后得到抛物线，其焦点为，故抛物线的准线方程为．故答案为：.13．已知两抛物线的顶点在原点，而焦点分别为，，求经过它们的交点的直线方程.【答案】【分析】根据抛物线的定义先求的两抛物线方程，联立求交点再求直线方程即可.【详解】由题意两焦点分别为，可得两抛物线方程分别为：，联立方程可得或，即两抛物线的交点为，故两交点所在直线方程为：.重难点3根据抛物线的方程求参数14．设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（

）A．-4 B． C． D．-32【答案】B【分析】根据焦半径公式求的值，再代入点的坐标，即可求的值.【详解】由抛物线的方程可得焦点坐标为，由抛物线的性质可得，所以，将的坐标代入抛物线的方程：，所以，又因为在第四象限，所以.故选：.15．已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】利用抛物线定义和题给条件列出关于p的方程，解之即可求得p的值.【详解】设抛物线C的准线与x轴交于点Q，过点P作准线的垂线交准线于G，过F作，垂足为H，∴，，由抛物线的定义知，∵，∴，，∴，解得．故选：D．16．已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根据点为抛物线上一点可得，利用三角形面积列出等式，即可求得答案.【详解】由题意点为抛物线上一点可得，即，则的面积，解得，故选：C17．已知抛物线上一点，F为焦点，直线AF交抛物线的准线于点B，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出点B坐标，利用向量关系求出，进而求出.【详解】由题意得：，设，因为，即，所以，解得：，故，当时，，所以.故选：C18．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用抛物线定义结合已知条件列出方程组，求解方程组作答.【详解】抛物线：的焦点，准线，由点到的距离为得：，即，由点在抛物线上得：，因此有，整理得，而，解得，所以.故选：C19．已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则.【答案】【分析】根据抛物线方程得，根据轴得，，再代入抛物线方程可求出结果.【详解】由得，，故，因为轴，所以，，又，所以，得，又，所以.故答案为：.20．顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上一点到焦点的距离等于，则．【答案】【分析】设抛物线方程，可知；由抛物线焦半径公式可构造方程求得，将代入抛物线方程即可求得的值.【详解】设抛物线方程为：，是抛物线上一点，；由抛物线焦半径公式知：，解得：，抛物线方程为：，，解得：.故答案为：.重难点4抛物线的对称性21．在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（

）A． B．64 C． D．80【答案】A【分析】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解.【详解】因为线段的垂直平分线交于两点，所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形.设点且则线段的垂直平分线方程为，令与轴交于点,又，则在直角三角形中继而可得，所以点坐标为，代入抛物线，可得，解得，直角三角形中,所以四边形的周长为.故选：A.22．已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由题知为等腰直角三角形，进而得，再代入方程求解即可.【详解】解：∵，∴，∴，∵，且轴，∴由抛物线的对称性为等腰直角三角形，设与轴的交点为，∴，即，∴将代入得，解得．故选：D．23．已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案.【详解】解：因为四边形是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，因为圆的半径为，抛物线的通径为，所以有：，解得故选：D24．抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】由抛物线与椭圆交点的对称性，设，结合已知有，，即可求，进而求p值.【详解】由抛物线与椭圆的对称性知：关于y轴对称，可设，∵的面积为，∴，而，∴由上整理得：，解得，则.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据抛物线、椭圆的对称性设交点坐标，结合三角形的面积及点在椭圆上列方程求参数值.25．抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是．【答案】1或9【分析】设该点的坐标为，根据题中条件列出方程组求解即可.【详解】抛物线的准线方程为，对称轴为轴，设该点的坐标为，由题意可得，，则，即，解得或，因为，所以或.故答案为：1或9.26．已知点关于轴的对称点在曲线上，且过点的直线与曲线相交于点，则.【答案】16【分析】根据抛物线的对称性知点在抛物线上，因为直线过此抛物线的焦点，根据焦点弦问题解决即可.【详解】因为曲线的方程为，即，所以由题意及抛物线的对称性，知点在抛物线上，且在轴的下方，因为直线过此抛物线的焦点.设，联立，得，则，所以由抛物线的焦点弦长公式得.故答案为：16.重难点5抛物线的焦半径公式27．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】易知焦点坐标，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可知.【详解】设，抛物线，则，焦点恰好是的重心，则，故．故选：A．28．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若，则的外接圆面积为（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线的定义求得，进而得到，利用勾股定理求得，进而得到，然后利用正弦定理中的外接圆直径公式，求得的外接圆半径为R，然后计算其面积.【详解】设，由抛物线的定义可知，所以，代入抛物线的方程中得到，由几何关系可知，.设的外接圆半径为R，由正弦定理可知，解得，所以的外接圆面积为.故选：A29．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】首先根据焦半径公式求点的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点，,所以，得，,所以的面积.故选：C30．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由抛物线定义及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值.【详解】设，因为，所以，过点分别作准线于点，，由抛物线定义可知，由梯形中位线可知，

因为，所以，当且仅当时，等号成立，故，故，的最小值为.故选：B31．（多选）设抛物线的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则O为线段MN的中点C．若，则D．若，则【答案】ABD【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为，准线为，结合选项，利用抛物线的定义，求得点和点的坐标，即可求解.【详解】由抛物线，可得焦点为，准线为，对于A中，设，若，根据抛物线的定义，可得，解得，可得，可得，所以A正确；对于B中，由，则，不妨设，则直线的方程为，令，可得，即，所以为线段的中点，所以B正确；对于C中，设，若，根据抛物线的定义，可得，解得，则，可得，所以C不正确；对于D中，由，可得，不妨设，则直线的方程为，令，可得，即，则，所以，所以D正确.故选：ABD.32．（多选）已知抛物线的焦点为为上一点，则下列命题或结论正确的是（

）A．若与轴垂直，则B．若点的横坐标为2，则C．以为直径的圆与轴相切D．的最小值为2【答案】ABC【分析】结合抛物线定义逐个分析判断.【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，若与轴垂直，将代入抛物线方程，得，故，选项A正确；若点的横坐标为2，由抛物线定义，，选项B正确；

如图，点C为中点，由点向准线作垂线，分别交轴和准线与点，由点向准线作垂线，分别交轴和准线与点，设以为直径的圆半径为，则，又由梯形中位线得，，所以以为直径的圆与轴相切，选项C正确；设点，则，当时，的值最小，为1,选项D错误.故选：ABC33．如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则.

【答案】10【分析】根据列方程，求得点的横坐标，进而求得.【详解】依题意，过向轴作垂线，记垂足为，如下图所示，设的横坐标为，则，.因为，所以.由，得，故.故答案为：

重难点6抛物线的轨迹问题34．已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对【答案】C【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，结合抛物线定义即可得解.【详解】等式变形成，因此该等式表示动点到原点的距离等于到它直线的距离，而直线不过原点，所以动点M的轨迹是抛物线.故选：C35．动点满足方程，则点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.【详解】由得，等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.故选：D.36．已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为；若动点M满足，则M的轨迹方程为.【答案】【分析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程，设，，，根据可得，，利用可求得结果.【详解】解：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以的轨迹方程为，设，，，因为动点满足，所以，即，，所以，，因为，所以，所以，即的轨迹方程为.故答案为：；.37．若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是．【答案】【分析】将直线方程向左平移1个单位，可知动点到点的距离与它到直线的距离相等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程.【详解】将化为，动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点到点的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线，该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右，设，所以，解得，所以抛物线方程为，故答案为：.38．已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．【答案】，轨迹是开口向左的抛物线．【分析】根据向量垂直的坐标运算即可列方程求解.【详解】由条件可知，直线l的方程为，因此点A的横坐标为4．设P的坐标为，则点A的坐标为．因此因为的充要条件是，所以，即动点P的轨迹方程为．从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线．39．一圆经过点，且和直线相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形.【答案】，图形见解析.【分析】设出动圆的圆心坐标，根据给定条件列出方程，化简并作出图形作答.【详解】设动圆的圆心，于是，其中是点到直线的距离，因此，化简得，所以圆心的轨迹方程是，其图形为抛物线，图形为：

重难点7抛物线的距离最值问题40．抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得抛物线的方程，设出点的坐标，根据两点间的距离公式以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】抛物线的焦点为，所以抛物线的方程为，且，所以抛物线的方程为，设，则，所以当时，取得最小值为.故选：B41．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（

）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.【详解】，故,记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选：A.

42．设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为.【答案】5【分析】过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，根据抛物线的定义可得，当、、三点共线时，小值．【详解】抛物线，所以焦点为，准线方程为，当时，所以，因为，所以点在抛物线内部，如图，过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，由抛物线的定义，可知，故．即当、、三点共线时，距离之和最小值为．故答案为：．43．已知点为拋物线上的动点，点为圆上的动点，则点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为.【答案】【分析】利用抛物线的定义可得点到轴的距离即为点到焦点的距离减去，进而利用圆的性质即得.【详解】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，过点作轴交轴于点，由抛物线的定义可知点到轴的距离即为，圆的圆心坐标为，半径为，故点到轴的距离与点到点的距离之和，根据圆的性质可知点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为，当且仅当、、、四点共线（、在之间）时取等号.

故答案为：.44．已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为.【答案】4【分析】画出图形数形结合，利用抛物线的定义将转换为，结合三角不等式即可求得最小值.【详解】如图所示：

抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径，过点作垂直准线，垂直为点，由抛物线的定义可知，则，当且仅当三点共线时，等号成立,综上所述：的最小值为4.故答案为：4.45．设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是．【答案】/【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再利用抛物线定义建立关系，并求出最小值作答.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，

延长PM交准线于N，连PF，显然垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，而，所以的最小值为.故答案为：46．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值.【答案】4【分析】由已知可得，利用基本不等式可求的最小值．【详解】设圆心为，则为抛物线的焦点．设，则，要使最小，则需最大，，且，，当且仅当，即时取等号，的最小值是4．故答案为：4．

重难点8抛物线的实际应用47．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，代入点的坐标求出即可得解.【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得的坐标为．设抛物线的标准方程为，则，解得．故该抛物线的焦点到准线的距离为．故选：C48．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度，拱高，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱的长度为.（精确到0.01）

【答案】4.59【分析】先建立直角坐标系，把抛物线方程写出来，再结合的长度即可把的长度求出来.【详解】以为原点，方向分别为轴正向，建立如下图所示的直角坐标系：

由题意，，所以，，又抛物线开口向下，所以设，将点的坐标代入，解得，所以抛物线方程为，又由题意在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，由图可知有14个空格，因此每一个空格的长度为，所以，所以设点，又因为点在抛物线上，所以将其坐标代入抛物线方程得.故答案为：4.5949．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（

）

A． B．的准线方程为C．的焦点坐标为 D．弹道上的点到直线的距离的最大值为【答案】ABD【分析】根据题意，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC；根据题意，求出直线的方程，不妨设CE上一点为，判断出当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大，求解最大值即可.【详解】如图所示，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于.此时，，，抛物线的方程为，即，解得，故A正确；抛物线的方程为，准线方程为，焦点坐标为，故B正确，C错误；因为，，故，所以直线的方程为即，不妨设上一点为，，当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大.由可得，故，解得，此时点到直线的距离为，故D正确.故选：ABD.

50．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.

(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.【答案】(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；(2)【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可；（2）利用待定系数法、代入法进行求解即可.【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为：，把代入方程中，得，所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；

（2）设抛物线的方程为，把代入方程中，得，所以焦点的坐标为：.51．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.

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