专题5.1 二次函数的图像与性质（一）（六大题型）（解析版）

专题5.1二次函数的图像与性质（一）（六大题型）重难点题型归纳【题型1判断二次函数的个数】【题型2利用二次函数的概念求字母的值】【题型3二次函数的一般式】【题型4根据实际问题列二次函数-销售问题】【题型5根据实际问题列二次函数-面积类】【题型6根据实际问题列二次函数-几何类】【题型1判断二次函数的个数】【典例1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，⑥y＝x2++5其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：①y＝2x﹣1是一次函数；②y＝﹣2x2﹣1是二次函数；③y＝3x3﹣2x2不是二次函数；④y＝2（x+3）2﹣2x2不是二次函数；⑤y＝ax2+bx+c不一定是二次函数；⑥y＝x2++5不是二次函数；∴②是二次函数，共1个，故选：A．【变式1-1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：②是二次函数，共1个，故选：A．【变式1-2】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：②④是二次函数，共2个，故选：B．【变式1-3】已知函数：①y＝ax2；②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2；④y＝+x．其中，二次函数的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：根据定义②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2是二次函数故选：B．【变式1-4】（2022秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）①y＝x（2x﹣1）；②y=1x2；③y=32x2-1；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x﹣1）2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解答】解：是关于x的二次函数的有①③，故选：A．【变式1-5】（2022秋•广汉市期中）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3﹣2x；⑤y=x2-1x+312；⑥y＝（x+1）2【答案】①②③【解答】解：这六个式子中，二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；故答案为：①②③．【题型2利用二次函数的概念求字母的值】【典例2】已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（）A．±2 B．1 C．﹣2 D．±1【答案】C【解答】解：由题意得：|m|＝2且m﹣2≠0，∴m＝±2且m≠2，∴m＝﹣2，故选：C．【变式2-1】有二次函数y＝xm﹣2﹣2x+1，则m的值是（）A．4 B．2 C．0 D．4或2【答案】A【解答】解：∵函数y＝xm﹣2﹣2x+1是二次函数，∴m﹣2＝2，解得m＝4．故选：A．【变式2-2】已知y＝mx|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0 B．1 C．4 D．0或4【答案】C【解答】解：由题意得：|m﹣2|＝2，且m≠0，解得：m＝4，故选：C．【变式2-3】（2022秋•江油市校级月考）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【答案】1；1或2；m≠1且m≠2【解答】解：m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2【变式2-4】（2022秋•新昌县校级月考）已知函数y＝（m2+m）xm（1）当函数是二次函数时，求m的值；；（2）当函数是一次函数时，求m的值．．【答案】（1）2（2）1【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1解得m＝1；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝1．【变式2-5】若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是a≠2．【答案】a≠2．【解答】解：∵函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数，∴2﹣a≠0，即a≠2，故答案为：a≠2．【题型3二次函数的一般式】【典例3】二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．3【答案】C【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2，故选：C．【变式3-1】将二次函数y＝x（x﹣1）+3x化为一般形式后，正确的是（）A．y＝x2﹣x+3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x【答案】D【解答】解：y＝x（x﹣1）+3x＝x2+2x，即y＝x2+2x．故选：D．【变式3-2】把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（）A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2【答案】D【解答】解：y＝﹣（x+3）2+11＝﹣x2﹣6x﹣9+11＝﹣x2﹣6x+2．故选：D．【变式3-3】把二次函数y＝﹣（x+3）（x+4）+11变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（）A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．﹣1，7 D．﹣1，﹣7【答案】D【解答】解：y＝﹣（x+3）（x+4）+11＝﹣（x2+7x+12）+11＝﹣x2﹣7x﹣12+11＝﹣x2﹣7x﹣1，故二次项系数和一次项系数分别为：﹣1，﹣7．故选：D．【变式3-4】二次函数的一般形式为（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝ax2+bx+c（a≠0） C．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac≥0） D．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac＝0）【答案】B【解答】解：根据一元二次方程的一般形式的概念知，应为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），故选：B．【变式3-5】把抛物线y＝（x﹣1）2+1化成一般式是y＝x2﹣2x+2．【答案】y＝x2﹣2x+2．【解答】解：y＝（x﹣1）2+1＝x2﹣2x+1+1＝x2﹣2x+2．故答案为：y＝x2﹣2x+2．【变式3-6】把y＝（3x﹣2）（x+3）化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为1．【答案】1．【解答】解：y＝（3x﹣2）（x+3）＝3x2+7x﹣6，其中一次项系数为7，常数项为﹣6，∴一次项系数与常数项的和为：7+（﹣6）＝1，故答案为：1．【变式3-7】（2022春•肇东市期末）已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝，一次项系数b＝，常数项c＝．【答案】3，﹣5，1【解答】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，故答案为：3，﹣5，1．【变式3-8】（2022秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac0（填写“＞”或“＜”或“＝”）【答案】＜【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，故答案为＜．【题型4根据实际问题列二次函数-销售问题】【典例4】（2023秋•苍南县月考）经市场调查发现，将进货价格为45元的商品按单价70元售出时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，其销售量就增加10个．设这种商品的售价减低x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（）A．y＝（25﹣x）（150+5x） B．y＝（25﹣x）（150+10x） C．y＝（70﹣x）（150+5x） D．y＝（70﹣x）（150+10x）【答案】A【解答】解：当这种商品的售价减低x元时，每个的销售利润为70﹣x﹣45＝（25﹣x）元，销售量为150+10×＝（150+5x）个，根据题意得：y＝（25﹣x）（150+5x）．故选：A．【变式4-1】（2023秋•瑞安市月考）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（）A．w＝（x﹣30）（﹣2x+80） B．w＝x（﹣2x+80） C．w＝30（﹣2x+80） D．w＝x（﹣2x+50）【答案】A【解答】解：根据题意得：w＝（x﹣30）y，即w＝（x﹣30）（﹣2x+80）．故选：A．【变式4-2】（2023•南海区模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（）A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）【答案】D【解答】解：当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，∴销售单价为x元时，每天的销售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天销售纪念品获得的利润w＝（x﹣40）y，∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）．故选：D．【变式4-3】（2023•裕华区校级模拟）某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田x亩，改造当年收益为y元，则y与x之间的数量关系可列式为（）A．y＝7000x﹣（900x+18x+600x） B．y＝7000x﹣（900x+18x2+600x） C．y＝7000﹣（900x+18x2+600x） D．y＝7000x﹣（900x+18x2+600）【答案】B【解答】解：设改造农田x亩，则总成本为900x+18x2+600x，总销售额为7000x，∴可列方程为y＝7000x﹣（900x+18x2+600x）．故选：B．【变式4-4】（2022秋•齐河县期末）今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（）A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2 C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）【答案】B【解答】解：该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2．故选：B【题型5根据实际问题列二次函数-面积类】【典例5】（2022秋•代县月考）如图，矩形的宽比长少25%，在四个角处各剪去一个边长为1cm的正方形（图中阴影部分），沿图中虚线折叠得到一个无盖的长方体．若原矩形的长为xcm，折成的长方体的底面积是ycm2，则这个长方体的底面积ycm2与原矩形的长xcm之间的函数关系式为（）A．y＝（x﹣1）（x﹣1） B．y＝（x﹣2）（x+2） C．y＝（x+2）（x+2） D．y＝（x﹣2）（x﹣2）【答案】D【解答】解：∵矩形的宽比长少25%，且原矩形的长为xcm，∴原矩形的宽为（1﹣25%）x＝x（cm），又∵在原矩形四个角处各剪去一个边长为1cm的正方形（图中阴影部分），沿图中虚线折叠得到一个无盖的长方体，∴折成的长方体的底面长为（x﹣2）cm，宽为（x﹣2）cm，∴折成的长方体的底面积y＝（x﹣2）（x﹣2）（cm2），∴这个长方体的底面积y（cm2）与原矩形的长x（cm）之间的函数关系式为y＝（x﹣2）（x﹣2）．故选：D．【变式5-1】（2022秋•科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）【答案】C【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．依题意可得：y＝x（40﹣2x）．故选：C．【变式5-2】（2022秋•硚口区月考）如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，墙长为18米，设矩形ABCD菜园的面积为S（单位：米2），AB的长为x（单位：米），则S关于x的函数关系式是S＝x（60﹣2x），自变量x的取值范围是21≤x＜30．【答案】S＝x（60﹣2x）；21≤x＜30．【解答】解：∵篱笆的总长为60米，AB的长为x米，∴BC的长为（60﹣2x）米，∴矩形ABCD菜园的面积S＝x（60﹣2x）（平方米）．∵AB，BC均为正值，且BC的长不超过墙的长，∴，∴21≤x＜30．∴S关于x的函数关系式是S＝x（60﹣2x），自变量x的取值范围是21≤x＜30．故答案为：S＝x（60﹣2x）；21≤x＜30．【变式5-3】（2022秋•乌鲁木齐县校级期中）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于30m）和总长为28m的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为x米，花圃总面积为y平方米，求y关于x的函数解析式y＝﹣3x2+28x．（用二次函数一般式表示）【答案】y＝﹣3x2+28x．【解答】解：∵篱笆的总长为28米，且AB＝x米，∴BC＝（28﹣3x）米，∴花圃总面积为AB•BC＝x（28﹣3x）＝（﹣3x2+28x）（平方米），∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x2+28x．故答案为：y＝﹣3x2+28x．【变式5-4】（2022秋•永城市月考）如图，利用长为30米的篱笆及一面很长的墙围一矩形花圃ABCD（30米长的篱笆全用于花圃的三边），为了便于管理，决定在与墙平行的边BC上预留出长度为2米的出口EF．设AB边的长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+32x．【答案】y＝﹣2x2+32x．【解答】解：根据题意，得y＝x（30+2﹣2x）＝﹣2x2+32x，故答案为：y＝﹣2x2+32x．【题型6根据实际问题列二次函数-几何类】【典例6】（2023春•市南区校级期中）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．（1）直接写出长方形的长＝6，长方形的宽＝4；（2）直接写出m＝1，a＝4，b＝9；（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当2≤x≤4时，y与x之间的关系式．【答案】（1）6，4；（2）1，4，9；（3）y＝12﹣3x．【解答】解：（1）在5≤x≤7时，△ABP的面积不变，此时：点P在BC上运动，速度为每秒2个单位，∴AD＝BC＝2×2＝4，在5≤x≤7时，△ABP的面积为12，∴×4×BC＝12，∴BC＝6，∴长方形的长为6．故答案为：6，4；（2）当x＝a时，S△ABP＝×4×BP＝8，∴BP＝4，∴CP＝2，∴a＝5﹣（2÷2）＝4，∴m＝＝1，当x＝b时，S△ABP＝×4×AP＝4，∴AP＝2，∴DP＝4，∴b＝7+（4÷2）＝9；故答案为：1，4，9；（3）根据题意可知，BC＝4×1+1×2＝6，CD＝2×2＝4；当0≤x≤1时，如图，BP＝3+x，CQ＝x，∴y＝BP•CQ＝×（3+x）•x＝x2+x；当1＜x≤2时，如图，BP＝