电力系统分析第四章-

第四章电力系统潮流的计算机算法第一节电力网络的数学模型第二节等值变压器模型及其应用第三节节点导纳矩阵的形成和修改第四节功率方程和变量及节点分类第五节高斯-赛德尔法潮流计算第六节牛顿-拉夫逊法潮流计算第七节P-Q分解法潮流计算第三章讨论简单电力网络的潮流分布计算，理解了与之相关的各种物理现象。对于复杂电力网络的潮流计算，一般必须借助电子计算机进行。运用电子计算机，一般要完成以下步骤：1、建立电力网络的数学模型2、确定解算方法3、制定计算流程和编制计算程序本章将着重讨论前两项，主要阐述在电力系统潮流的实际计算中常用的、根本的方法。第一节电力网络的数学模型

电力网络的数学模型指的是将网络有关参数及其相互关系归纳起来，组成可以反映网络性能的数学方程式组。也就是对电力系统的运行状态、变量和网络参数之间相互关系的一种数学描述。有：节点电压方程回路电流方程割集电压方程等节点电压方程又分为以节点导纳矩阵表示的节点电压方程和以节点阻抗矩阵表示的节点电压方程。一、节点导纳矩阵的节点电压方程

在电路理论中，已经讲过了节点导纳矩阵的节点电压方程对于n个节点的网络其展开为上式中，

是节点注入电流的列向量。是节点电压的列向量。是一个n×n阶节点导纳矩阵。以网络节点导纳矩阵表示的节点电压方程在进行潮流计算时,可以减少计算机的内存,提高运算速度,因此是最为常用的.二、节点阻抗矩阵的节点电压方程由的两边都左乘，可得，而，那么节点电压方程为

由图一〔a〕电路可得到以下关系式：解上联立方程得：和对于三绕组变压器，由于在高、中压两侧有分接头，其接入理想变压器的电路如图二所示：〔b〕等值电路〔a〕电路图二等值三绕组变压器模型三、等值变压器模型的应用〔1〕采用有名制，线路参数都未经归算，变压器参数那么归在低压侧。变压器阻抗为：相应的理想变压器的变比为：其中，、分别为变压器高、低压绕组实际匝数相对应的电压。〔2〕采用有名制，线路和变压器参数都已按选定的变比归算至高压侧这种情况下的线路阻抗分别为相应的理想变压器的变比为：其中，、分别为变压器高、低压侧的电压。变压器阻抗为〔3〕采用标么制，线路和变压器参数都已按选定的基准电压折算为标么值。这种情况下的线路阻抗的标么值分别为相应的理想变压器变比的标么值应取：其中，、分别为折算参数时任选的变压器高、低压侧基准电压。变压器阻抗标么值为第三节节点导纳矩阵的形成和修改一、节点导纳矩阵的形成节点导纳矩阵的计算归纳总结如下：1、节点导纳矩阵的阶数等于电力网络中除参考点〔一般为大地〕以外的节点数。2、节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非对角非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数。3、节点导纳矩阵的对角元素，即各节点的自导纳等于相应节点所连支路的导纳之和，即4、节点导纳矩阵的非对角元素等于节点和间支路导纳的负值，即5、节点导纳矩阵是对称方阵，因此一般只需要求取这个矩阵的上三角或下三角局部。6、对网络中的变压器，采用计及非标准变比时π型等值电路，并将之接入网络中。然后按此等值电路用前述方法很方便地形成节点导纳矩阵。二、节点导纳矩阵的修改在电力系统计算中，对于网络，其节点导纳矩阵已经形成。如果网络接线发生局部变化，此时不必重新计算节点导纳矩阵。仅仅需要在原节点导纳矩阵的根底上进行必要的局部修改就可以得到所求节点导纳矩阵。下面介绍几种情况。图三电力网络接线变更示意图(a)(b)(c)(d)〔1〕从原有网络中引出一条新的支路，图三〔a〕。同时增加一个新的节点。新增加节点的对角元素为：新增加非对角元素为：原有节点的自导纳增量为：〔2〕在原有节点和间增加一条支路，图三〔b〕。此情况下节点导纳矩阵的阶数不变。有关元素修改如下：〔3〕在原有节点间切除一条阻抗为的支路，见图三〔c〕这种情况下，相当于在节点和间增加阻抗为的支路，此时，节点导纳矩阵的阶数不变，其元素修正如下：〔4〕原有网络节点和之间支路阻抗由改变为，这种情况下，可以看作是在节点和间切除阻抗为的支路，并在节点和间增加阻抗为的支路，如图三〔d〕。此时，节点导纳矩阵的阶数不变，其元素修正如下：〔5〕原有网络节点和之间变压器的变比由变为时，相当于在原网络节点和之间切除一变比为的变压器支路，而又增加一个变比为的变压器支路。其元素修正如下：第四节功率方程和变量及节点分类一、功率方程每节点的注入功率方程式为：其中：

对于N个节点的电力网络，可以列出2N个功率方程。每个节点具有四个变量，N个节点有4N个变量，但只有2N个关系方程式。二、变量的分类1、负荷消耗的有功、无功功率〔、〕取决于用户，因而是无法控制的，故称为不可控变量或扰动变量。一般以列向量表示，即2、电源发出的有功、无功功率〔、〕是可以控制的变量，故称为控制变量，以列向量表示，即3、母线或节点电压和相位角〔、〕，是受控制变量控制的因变量。其中主要受的控制，主要受的控制。故、称为系统的状态变量，以列向量表示，即三、节点的分类1、PQ节点：P、Q负荷、过渡节点，PQ给定的发电机节点，为大局部节点2、PV节点：P、V具有一定无功储藏的发电厂和有一定无功电源的变电所，为少量节点3、平衡节点〔松弛节点〕等值负荷给定，节点电压大小和相位给定，等值电源功率待求。担任调频任务的发电厂。PQ节点12345PQ节点PV节点PQ节点平衡节点第五节高斯-塞德尔法潮流计算迭代法考察以下形式的方程：

这种方程是隐式的，因而不能直接得出它的根，但如果给出根的某个猜测值，代入上式的右端，即可求得：再进一步得到：如此反复迭代：确定数列{xk}有极限那么称迭代过程收敛，极限值x*为方程的根。上述迭代法是一种逐次逼近迭代法，称为高斯迭代法。高斯-塞德尔迭代法在高斯法的每一次迭代过程中是用上一次迭代的全局部量来计算本次的所有分量，显然在计算第i个分量时，已经计算出来的最新分量并没有被利用，从直观上看，最新计算出来的分量可能比旧的分量要好些。因此，对这些最新计算出来的第k+1次近似分量加以利用，就是高斯-塞德尔迭代法。高斯-塞德尔迭代法计算潮流功率方程的特点：描述电力系统功率与电压关系的方程式是一组关于电压的非线性代数方程式，不能用解析法直接求解。假设有n个节点的电力系统，没有PV节点，平衡节点编号为s，功率方程可写成以下复数方程式：对每一个PQ节点都可列出一个方程式，因而有n-1个方程式。在这些方程式中，注入功率Pi和Qi都是给定的，平衡节点电压也是的，因而只有n-1个节点的电压为未知量，从而有可能求得唯一解。

高斯-塞德尔迭代法解潮流如下：如系统内存在PV节点，假设节点p为PV节点，设定的节点电压为Up。假定高斯-塞德尔迭代法已完成第k次迭代，接着要做第k+1次迭代前，先按下式求出节点p的注入无功功率：然后将其代入下式，求出节点p的电压：在迭代过程中，按上式求得的节点p的电压大小不一定等于设定的节点电压Up，所有在下一次的迭代中，应以设定的Up对电压进行修正，但其相角仍保持上式所求得的值，使得如果所求得PV节点的无功功率越限，那么无功功率在限，该PV节点转化为PQ节点。高斯-塞德尔迭代法计算潮流的步骤：设定各节点电压的初值，并给定迭代误差判据；对每一个PQ节点，以前一次迭代的节点电压值代入功率迭代方程式求出新值；对于PV节点，求出其无功功率，并判断是否越限，如越限那么将PV节点转化为PQ节点；判别各节点电压前后二次迭代值相量差的模是否小于给定误差，如不小于，那么回到第2步，继续进行计算，否那么转到第5步；根据功率方程求出平衡节点注入功率；求支路功率分布和支路功率损耗。第六节牛顿-拉夫逊法潮流计算一、牛顿-拉夫逊法的根本原理设有单变量非线性方程(4-1)

给出解的近似值，它与真解的误差为，那么

可得将上式左边的函数在附近展成泰勒级数，便得〔4-2〕如果差值很小，的二次及以上阶次的各项可略去，式〔4-2〕便简化成

上式是修正量的线性方程式，也称为修正方程式，解此方程可得修正量用所求的去修正近似解，便得

修正后的近似解同真解仍有误差，为进一步逼近真解，这样的迭代计算反复进行下去，迭代计算通式是

〔4-3〕

迭代过程的收敛判剧为

〔4-4〕或〔4-5〕

式中，和为预先给定的小正数。以下图为这种解法的几何意义，函数为图中曲线。的解相当于曲线与轴的交点。如果第次迭代中得到，那么过点[]点作一切线，此切线同轴的交点便确定了下一个近似解。由此可见，牛顿-拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性的方法。牛顿法的几何解释牛顿法也适用于多变量非线性代数方程的求解。设有个联立的非线性代数方程〔4-6〕假定已给出各变量的初值，令分别为各变量的修正量，使其满足方程〔4-6〕，即

〔4-7〕将上式的个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数，并略去含有的二次及以上阶次各项，使得

〔4-8〕方程式〔4-8〕也可以写成矩阵形式

〔4-9〕

方程式〔4-9〕是对于修正量的线性方程组，称为牛顿法的修正方程式，利用高斯消去法或三角分解法可解出，然后对初始近似解进行修正

〔4-10〕如此反复迭代，在进行第次迭代时，从而求得修正方程式〔4-11〕得到修正量，并对各修正量进行修正〔4-12〕式〔4-11〕和式〔4-12〕也可缩写为〔4-13〕和〔4-14〕式中，和分别是由个变量和修正量组成的维列向量；是由个多元函数组成的维列向量；是阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第，个元素是第个函数对第个变量的偏导数；上角标表示阵每一个元素都在点处取值。迭代过程一直进行到满足收敛判剧〔4-15〕或〔4-16〕为止，和为预先给定的小正数。将牛顿-拉夫逊法用于潮流计算，要求将潮流方程写成形如式〔4-11〕的形式。由于节点电压可以采用不同的坐标系表示，牛顿-拉夫逊法潮流计算也就相应地采取不同的计算公式。二、节点电压用直角坐标表示时的牛顿-拉夫逊法潮流计算采用直角坐标时，节点电压可表示为

导纳矩阵元素那么可表示为将上述表达式代入，展开并分出实部和虚部，便得〔4-17〕假定系统中的第号节点为节点，第个节点的给定功率设为和，对该节点可列写方程

〔4-18〕假定系统中的第号节点为节点，那么对其中每一个节点可列写方程〔4-19〕第号节点为平衡节点，其电压是给定的，不参加迭代。式〔4-18〕和式〔4-19〕总共包含了个方程，待求的变量有也是个。我们还可看到，方程〔4-18〕和式〔4-19〕已经具备了方程组〔4-16〕的形式，因此，不难写出如下的修正方程式〔4-20〕式中

上述方程中雅可比矩阵的各元素，可以对式〔4-18〕和式〔4-19〕求偏导获得，当时〔4-21〕当时,见式〔4-22〕i=j时〔4-22〕

修正方程式〔4-20〕还可以写成矩阵的形式，如下式中，和都是二维列向量；是阶方阵。对于节点〔4-23〕〔4-24〕对于节点〔4-25〕从表达式〔4-21〕～〔4-25〕得出雅可比矩阵的以下特点：〔1〕雅可比矩阵各元素都是节点电压的函数，它们的数值将在迭代过程中不断地改变。〔2〕雅可比矩阵的子块中的元素的表达式只用到导纳矩阵中的对应元素，那么必有。因此，〔4-23〕式中分块形式的雅可比矩阵同节点导纳矩阵一样稀疏，修正方程的求解同样可以应用稀疏矩阵的技巧。〔3〕无论在式〔4-20〕或式〔4-23〕中雅可比矩阵的元素或子块都不具有对称性。用牛顿-拉夫逊计算潮流的程序框图示于以下图输入原始数据形成节点导纳矩阵

按(4-49)和(4-50)计算雅可比矩阵各元素计算平衡节点功率及全部线路功率输出输电线路功率的计算公式如下

〔4-28〕三、节点电压用极坐标表示时的牛顿-拉夫逊潮流计算采用极坐标时，节点电压表示为

节点功率方程将写成〔4-29〕式中，是两节点电压的相角差。方程式〔4-29〕把节点功率表示为节点电压的幅值和相角的函数。在有个节点的系统中，假定第号节点为节点，第号节点为节点，第号节点为平衡节点。和是给定的，节点的电压幅值也是给定的。因此，只剩下个节点的电压相角和个节点的电压幅值是未知量。对于每一个或每一个节点都可以列写一个有功功率不平衡量方程式〔4-30〕而对于每一个节点还可以再列写一个无功功率不平衡量方程式

〔4-31〕式〔4-30〕和式〔4-31〕一共包含了个方程式，正好同未知量数目相等，而比直角坐标形式的方程式少了个。对于方程式〔4-30〕和式〔4-31〕可以写出修正方程式如下〔4-32〕

式中

是阶方阵，其元为；是阶矩阵，其元素为；是阶矩阵，其元素为；是阶矩阵，其元素为