高三数学试题(理科)

高三数学试题（理科）本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3到6页,共150分,考试时间120分注意事项：１．考生必须将自己的姓名、学号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上，并在答卷前将班别、姓名、学号、等填写在试卷上.２．第一大题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.３．请用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔答卷.考试结束后，试卷必须全部上交.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中的发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为：Pn（k）=CnkPk（1-p）n-k球的表面积公式为：S=4πR2，其中R表示球的半径.球的体积公式为：V=πR3，其中R表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U为全集，若集合A、B、C满足A∩B=A∩C，则可以推出()A．B=CB．A∪B=A∪CC．A∪(B)=A∪(C)D．(A)∪B=(A)∪C2．函数g(x)满足g(x)g(－x)＝1，且g(x)≠1，g(x)不恒为常数，则函数(x)=eq\f(g(x)+1,g(x)-1) ()A.是奇函数不是偶函数 B.是偶函数不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数3．已知函数(x)=，则–1(3)=()A．10B．C．D．－4．设(x)=，使所有x均满足x·(x)≤(x)的函数g(x)是（）A．(x)=sinxB．(x)=xC．(x)=x2D．(x)=|x|5．二项式(－x)n展开式中含有x4项，则n的可能取值是（）A．5B．6C．3D．76．设=，=，=，当=λ+μ(λ,μ∈R)，且λ+μ=1时，点C在（）A．线段AB上B．直线AB上C．直线AB上，但除去点AD．直线AB上，但除去点B7．从17个相异的元素中选出2a－1个不同元素的选法记为P，从17个相异的元素中选出2a个不同元素的选法记为Q，从18个相异的元素中选出12个不同元素的选法记为S，若P+Q=S，则a的值为（）A．6B．6或8C．3D．3或68．若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cosθ等于（）A．B．C．D．oyx112Aoyx112Coyx-21-1oyx112Aoyx112Coyx-21-1Doyx21B－110．已知函数(x)=sin图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2+y2=k2上，则(x)的最小正周期为（）A．1B．2C．3D．411．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究终于发现了一种细菌Ｍ在杀死“禽流感”病毒N的同时能够自我复制，已知1个细菌M可以杀死1个病毒N，并生成2个细菌M，那么1个细菌M和2047个“禽流感”病毒N最多可生成细菌M的数值是（）A．1024B．2047C．2048D．204912．已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足=（+），R在抛物线准线上的射影为S，设α，β是ΔPQS中的两个锐角，则下面4个式子中不一定正确的是（）A．tanα·tanβ=1B．sinα+sinβ≤C．cosα+cosβ>1D．|tan(α－β)|>tan高三(1－12班)数学试题（理科）班别____________学号______________姓名___________得分ABCDA1D1C1B1P20.（本小题满分12ABCDA1D1C1B1P侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC1上的一点.（Ⅰ）求证：不论P在侧棱CC1上任何位置，总有BD⊥AP；（Ⅱ）若CC1=3C1P，求平面AB1P与平面ABCD所成二面的余弦值.（Ⅲ）当P点在侧棱CC1上何处时，AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分线.21.（本小题满分1４分）已知点Q位于直线右侧，且到点与到直线的距离之和等于4.(Ⅰ)求动点Q的轨迹C；(Ⅱ)直线过点交曲线C于A、B两点，点P满足，，又=(,0)，其中O为坐标原点，求的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时直线的方程；若不能，请说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数(x)满足(x+y)=(x)·(y)且(1)=.(Ⅰ)当n∈N+时，求(n)的表达式.(Ⅱ)设an=n·(n),n∈N+，求证a1+a2+…+an<2.答案：1．D由A∩B=A∩C知B，C在A内部的元素相同，由韦恩图可得.2．A3．Ｃ==x+3依题意当x>1时f(x)>4当x≤1时f(x)=3x+1≤4令t=f－1(3)∴f(t)=3<4即3t+1=3∴t=4．D将f(x)拆成：当x是有理数时，f(x)=1;当x是无理数时，f(x)=0,然后一一验证即可5．C展开式的通项为()n-r·(－x)r=(－1)r·（r=0,1,2,…n）即存在自然数r，使r－(n－1)=4即7r=3n+12且n≥r,故选C.6．B∵n+μ=1∴λ=1－μ，∵=λ+μ=+μ(－)=+μ∴=－=μ，即与共线.7．D法一：反代法.分别取a=6,8代入验证。法二：由题意可知+=即=∴2a=12或2a=6.∴a=6或a=3.8．A设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1C与正方体的12条棱所成的角都相等，ΔAB1C的中心为O，则AO=×sin60°×AC=a∴cosθ=9．设点P(x,y)则0≤(x,y)·(1,)≤10≤(x,y)·(0,1)≤1即0≤x+y≤10≤y≤1因此动点P的变化范围是A中的阴影部分10．D由题意得=∴x=,f(x)mox=代入圆方程∴∴f(x)=sin∴t=411．C∵1+2+22+…+2n=2n+1－1又2047=211－1∴n=10，故最多生成细菌M的个数2×210=204812．D=(+)∴点P是弦PQ的中点，设点P，Q在抛物线准线上的射影分别为，,∴|PF|=|P|，|QF|=|Q|∴|RS|=(|PF|+|QF|)=|PQ|=|PR|=|QR|∴∠PSQ=90°∴α+β=90°故只有D不正确.二、填空题13．解答：＝由得∴∴∴最小正值y1y1=2－x2y2=|x|图一２ｙｘy1=2－x2y2=|x－a|图二２ｙｘ解答：数形结合法，分别作出y1=2－x2和y2=|x|的图像，如图一而y=|x－a|的图像可以由y2=|x|的图像经过左右移动得到．图二就是移动后的两个端点情况．图二中，右侧的过点（0，2）可得a=2左侧的为相切，由联立可得，a=6月22日解答：当且仅当(t－81)=即t=172BOACＤＥH16题∵tBOACＤＥH16题而172=30×5+22=31+28+31+30+31+21，故为6月22日.++=解答：如图设OA=a,OB=b,OC=c,∵H为垂心∴AD⊥BC又∵OA、OB、OC两两垂直∴SΔOAB=abSΔOBC=bcSΔOAC=acSΔABC=BC·AD∴++=(a2b2+b2c2+a2c2)=a2(b2+c2)+b2c2…………①又∵在RtΔBOC中,OD⊥BC∴OB2·OC2=b2c2=OD2·BC2=OD2·（b2+c2）…………②∴②代入①得：++=（b2+c2）·AD2=BC2·AD2=三、解答题解答：(Ⅰ)||2=∴即∴∴∴∴为定值.(Ⅱ)==≤∴=当且仅当即取得最大值，此时ΔABC为等腰钝角三角形.(只答等腰三角形不扣分)解答：(Ⅰ)当时，，得，所以为等差数列，且(Ⅱ)假设存在满足条件的自然数n，则∴所以，由，得解答：设每一局比赛中甲获胜为事件A，则P(A)＝P，0≤P≤1．(Ⅰ)在n局比赛中甲胜k局，相当于事件A独立重复试验n次发生k次．由题意，∴∴为所求.(Ⅱ)设“比赛2局，甲全胜”为事件A，“比赛3局，前2局中甲胜1局，第3局甲胜”为事件B，则“采用3局2胜制比赛规则，甲获胜”为事件A+B,故P(A+B)=P(A)+P(B)=为所求.解答：（Ⅰ）由题意可知，不论P点在棱CC1上的任何位置，AP在底面ABCD内射影为AC.∵BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥AP.（Ⅱ）延长B1P和BC，设B1P∩BC=M，连结AM，则AM=平面AB1P∩平面ABCD.过B作BQ⊥AM于Q，连结B1Q，由于BQ是B1Q在底面ABCD内的射影，所以B1Q⊥AM，故∠B1QB就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2BC，从而BM=3BC.所以.在Rt△ABM中，，在Rt△B1BQ中，得为所求.（Ⅲ）设CP=a，BC=m，则BB1=2m，C1P=2m－a，从而在△PAB1中，，依题意，得∠PAC=∠PAB1，∴即∴故P距C的距离是侧棱的21.（本小题14分）解：（Ⅰ）设，则，即：，化简得：．所以，动点Q的轨迹为抛物线位于直线右侧的部分．（Ⅱ）因为，所以，P为AB中点；又因为，且=(,0)，所以，点E为线段AB垂直平分线与x轴焦点。由题可知：直线与轴不垂直，所以可设直线的方程为，代入轨迹C的方程得到：（＊）设，要使得与C有两个不同交点，需且只需解之得：．由（＊）式得：，所以，AB中点P的坐标为：，．所以，直线EP的方程为令得到点E的横坐标为．因为，所以，∈（，－3）．（3）不可能．要使成为以EF为底的等腰三角形，需且只需，即：，解得：。另一方面，要使直线满足（2）的条件