专题2.7 勾股定理的逆定理（重点题专项讲练）（浙教版）（原卷版）

专题2.7勾股定理的逆定理【典例1】如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线．（1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数；（2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12．①求证：∠BAC是直角；②求AE的长度．【思路点拨】（1）求出∠DAC，∠EAC，可得结论；（2）①利用勾股定理的逆定理证明即可．②过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，证明△AME，△AEN都是等腰直角三角形，推出AN＝NE＝EM＝AM，利用面积法求解．【解题过程】解：（1）∵AE平分∠ABC，∴∠EAC=12∠BAC＝∵AD⊥BC，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝58°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝58°﹣43°＝15°．（2）①证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴BD=AB2-AD2∴BC＝BD+DC＝9+16＝25，∵AB2+AC2＝152+202＝625，BC2＝625，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°；②解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠AEC＝45°，∴△AME，△AEN都是等腰直角三角形，∴AN＝NE＝EM＝AM，∵12•AB•AC=12•AB•EN+12∴EM=15×20∴AE=2EM=1．（2021秋•锦江区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中：①a2：b2：c2＝1：2：3；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；④a＝9，b＝40，c＝41．不能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．（2021秋•平昌县期末）有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，3，2．其中勾股数有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3．（2021秋•电白区期末）将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（）A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形 C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形4．（2021秋•南岸区期末）如图，在单位为1的方格中，有标号为①、②、③、④的四个三角形，其中直角三角形的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2021秋•成华区期末）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，46．（2021秋•靖江市期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为时，此三角形为直角三角形．7．（2021春•黄石期末）如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为．8．（2021秋•朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°．9．（2021春•海淀区校级期中）如图所示的是正方形网格，则∠MDC﹣∠MAB＝°（点A，B，C，D，M．网格线交点）．10．（2021春•濉溪县期末）已知△ABC的三边长为a、b、c，且a+b＝7，ab＝1，c2＝47，试判断△ABC的形状，并说明理由．11．（2021春•靖宇县期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格线的交点上．解答下列问题：（1）四边形ABCD的周长是，面积是．（2）连接AC，请判断△ADC和△ABC是什么特殊形状的三角形？并说明理由．12．（2021秋•乾县期末）如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，求BC的长．13．（2021秋•台江区校级期末）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB=3，CD＝2，AD＝22（1）求证：△ACD是直角三角形；（2）求四边形ABCD的面积．14．（2021秋•舞钢市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC为对角线，DE⊥AC于点E，已知AB＝8，BC＝6，CD＝215，AD＝210．（1）请判断△ACD的形状并说明理由．（2）求线段DE的长．15．（2021秋•福田区校级期中）如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE=65（1）求证：∠ACE＝90°；（2）求△ACE的斜边AE上的高的长．16．（2021秋•东坡区期末）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长度．17．（2021秋•中原区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F．关于△ABC的形状，小明和小亮展开以下讨论：小明：如果△ABC是直角三角形，那么我可以求出AE的长．我的思路是这样的：如图，连接CE，设AE＝x，则BE＝4﹣x，因为DE是BC的垂直平分线，所以CE＝BE＝4﹣x…小亮：如果DF的长为710，此时△ABC（1）请补充完整小明的求解过程；（2）请判断小亮的说法是否正确？并说明理由．18．（2021春•邹城市期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN=(例如：已知P（5，1）、Q（3，﹣2），则这两点间的距离(5-3)2+(1+2)2=13．特别地，如果两点M（x1，y1），N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x1﹣x2|或MN＝|y（1）已知A（1，3）、B（﹣2，4），求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为8，点B的纵坐标为﹣2，求A、B两点间的距离；（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，2）、B（2，1）、C（5，4），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．19．（2021秋•沙坪坝区校级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股数．把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数”．因为6＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”．（1）请判断9，12，16和10，24，26是否为“派生勾股数”；（2）请求出斜边小于200的所有“新新勾股数