专题2.5 勾股定理与线段长（压轴题专项讲练）（浙教版）（原卷版）

专题2.5勾股定理与线段长【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【思路点拨】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解题过程】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD=ABRt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，在△CHB和△AEF中，∵BH=EF∠CBH=∠AFE=45°∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．1．（2021秋•泗阳县期末）已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（）A．5 B．25 C．7 D．5或72．（2021秋•苏州期末）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（）A．5-1 B．5-2 C．3-1 3．（2021秋•莲池区期末）如图，作Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝2AC；以A为圆心，AC长为半径画弧，交斜边AB于点D；以B为圆心，以BD长为半径画弧，交BC于点E．若BC＝6，则CE＝（）A．9﹣35 B．35-6 C．35-3 D．354．（2021秋•盐田区校级期末）如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（）A．22 B．55 C．510 5．（2021秋•渝中区校级期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（）A．72 B．84 C．36或84 D．72或846．（2021秋•南京期末）如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是．7．（2021秋•乾县期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB＝6，BC＝8，CD＝10，则AD＝．8．（2021秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，△ABC的两条角平分线AD、BE相交于点O，连接CO，则CO的长为．9．（2021秋•徐汇区期末）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则AB＝．10．（2021秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．11．（2020秋•宝山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，AB＝1，BC=3，CD＝2，求AD12．（2021秋•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝28，AC＝17，求△ABC的面积．13．（2021春•铁西区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝135°，BC＝6，点D为AB的中点，连接DC，若DC⊥BC，求AB的长．14．（2021秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．（1）求AD的长；（2）求AF的长．15．（2021秋•门头沟区期末）已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．（1）求证：AE＝DE；（2）如果AC＝3，AD=23，求AE16．（2021秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．AD平分∠CAB交BC于点D．（1）求BC的长；（2）求CD的长．17．（2021春•歙县月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，已知四边形的周长为42，求四边形ABCD的面积．18．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE=26，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF（1）求AB的长；（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．19．（2021秋•南阳期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t