辽宁省协作校2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）

辽宁省协作校2021—2022学年下学期期末考试高一试题数学考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求）1.已知复数z满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】先利用复数除法求得复数z，进而求得复数z的虚部【详解】由，可得则复数z的虚部为2故选：D2.已知弧度的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件求出半径即可.【详解】设圆的半径为，则由题意可得，所以，所以弧长为故选：C3.《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合正切的二倍角公式进行求解即可.【详解】由题意可知：，，所以.故选：A.4.若向量，满足：，，，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据平面向量数量积的几何意义求出在上的投影，然后结合向量的数乘运算即可求出结果.【详解】在上的投影为，所以在上的投影为.故选：D.5.数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式，（其中是虚数单位，是自然对数的底数，），这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解.【详解】对于A，，所以，故A不正确；对于B，，，所以，故B正确；对于C，，，所以，故C不正确；对于D，，故D不正确.故选：B.6.下列命题中正确的是（）A.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.长方体是正四棱柱D.四个面都是等边三角形的四面体是正四面体【答案】D【解析】【分析】依据棱锥的定义判断选项A；依据棱台的定义判断选项B；依据正四棱柱的定义判断选项C；依据正四面体的定义判断选项D.【详解】选项A：有一个面是多边形，其余各面是三角形，如果其余各面没有一个共同的顶点的几何体就不是棱锥.判断错误；选项B：有两个面平行且相似，其余各面都是梯形，如果侧棱不相交于一点的多面体不是棱台.判断错误；选项C：当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱.判断错误；选项D：四个面都是等边三角形的四面体是正四面体.判断正确.故选：D7.已知函数，图象上每一点横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用向量的数量积求得的长度，进而求得的最小正周期，从而求得的值.【详解】由三角函数图象的对称性，可知，由，可得，又，所以，由图象最高点的纵坐标为，可知，所以的周期为12，则的周期为6，则，故选：B．8.如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，沿各边中点的连线垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球）上的点离蛋巢底面的最短距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据折起的四个小三角形与与蛋巢侧面垂直，可得截面圆的直径为以及蛋巢的高为，进而根据可求底部到球的最小距离.【详解】因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋（球）的表面积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离为，而截面到球的最低点的距离为，蛋巢的高度为，故球体上的点到蛋巢底面的最短距离为，故选:C．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分）9.已知复数，的共轭复数是，，则下列命题一定正确的是（）A. B.若，则C.若，则或 D.【答案】ACD【解析】【分析】设，根据复数的乘法运算结合共轭复数和复数的模长的概念，对每一选项进行分析判断，可得答案.【详解】解：设，选项A.，所以，故选项A正确.选项B.由，取，满足条件，而，所以选项B不正确.选项C.若，则，所以，即，所以，若，则成立，此时；若，由得，由得，此时；若，由得，所以，此进，所以若，则或，故C正确；选项D.，，所以，故选项D正确.故选：ACD.10.已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则【答案】BC【解析】【分析】利用面面垂直的性质判断选项A；利用线面垂直的性质判断选项B；利用线面平行的性质判断选项C；利用线面垂直判定定理判断选项D.【详解】选项A：若，，，则或相交或互为异面直线.判断错误；选项B：若，，则.判断正确；选项C：设平面，，又，则设平面，，又，则，则，又，，则，又，，则，则.判断正确；选项D：若，，，则的位置关系为相交，当且仅当时.判断错误.故选：BC11.已知，，，，下列说法正确是（）A.B.若的最小正周期为，则C.若是的一个对称中心，则的最小值为D.若在上的值域为，则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】由结合向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式求出的解析式，然后逐个分析判断即可【详解】因为，，所以，所以A正确，对于B，当的最小正周期为时，，得，所以B错误，对于C，当是的一个对称中心时，，所以，得，因为，所以的最小值为，所以C正确，对于D，当时，，因为在上的值域为，所以，得，所以D正确，故选：ACD12.如图，正方体棱长为2，点M是其侧面上的动点（含边界），点P是线段上的动点，下列结论正确的是（）

A.存在点P，M，使得平面与平面PBD平行B.当点P为中点时，过点的平面截该正方体所得的截面是梯形C.过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形D.当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为【答案】ABD【解析】【分析】找到点P，M使得平面与平面PBD平行肯定选项A；作出过点的平面截该正方体所得的截面判断选项B；作出过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面图形为五边形否定选项C；求得点M的轨迹长度判断选项D.【详解】对于A选项，当M为中点，P为中点时，连接、，又平面PBD，平面PBD，则平面PBD，，又平面PBD，平面PBD，则平面PBD，又，则平面平面PBD.故A正确；对于B选项，取BC中点N，连接则，，则，又则为梯形．则梯形为截面，故B正确；对于C选项，当M为中点，P为中点时，在上取点Q，使，在上取点T，使连接、，则，则四边形为平行四边形，则在平面内过点M作，交于N，则连接，则则五边形为过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面.故C判断错误；对于D选项，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面，，则，则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧，分别交AD、于、，则，则，劣弧的长为．故D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在复平面内，复数z对应点的坐标为，若z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则的值为______．【答案】7【解析】【分析】把代入根据复数相等可得答案.【详解】复数z对应的点的坐标为，所以，所以，即，所以.故答案为：7.14.已知，则的值为______．【答案】##【解析】【分析】利用两角差的正切公式即可求得的值【详解】，则故答案为：15.某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式求得正确结论.【详解】如图所示，是圆锥的轴截面.,所以,所以任意截面的面积为，当时，截面面积最大为.故答案为：16.在三棱锥中，为边长为6的等边三角形，，，，则该三棱锥的体积为______．【答案】【解析】【分析】由已知可判断出顶点A在底面PBC内的射影O为底面的外心，为直角三角形，从而可求出三棱锥的体积【详解】因为，所以顶点A在底面PBC内的射影O为底面的外心，因为所以为直角三角形，所以O在PC中点处，因为，所以三棱锥的体积为，故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在①，②的面积为，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．问题：已知，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，______．（1）求角A；（2）若的周长为，求该三角形的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角即得解；若选②：化简已知得即得解；若选③：化简得，即得解；（2）利用余弦定理求出即得解.【小问1详解】解：若选①，因为，由正弦定理，所以，又因为，所以，，得，因为，所以，所以，，所以．若选②：，，，所以．若选③：因为，所以，，，因为，所以．【小问2详解】解：的周长为，，所以，，由余弦定理，得，所以，所以，所以三角形的面积为．18.已知复数z满足，的虚部为2．（1）求复数z；（2）若复数z在复平面上对应点在第一象限，，（其中i是虚数单位，），，求满足题意的的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法设，，列出关于的方程组解出即可；（2）根据复数的加法运算以及模长的概念可得关于的三角不等式，解出即可.小问1详解】设，，，的虚部为2，所以．解得或．所以或．【小问2详解】由题意可知，，，，∴，．∴．19.如图，在三棱台中，，H为BC的中点，点G在线段AC上，平面FGH．平面ABC，．

（1）求三棱台的体积；（2）求证：点G为AC中点．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依据棱台体积公式即可求得三棱台的体积；（2）先利用题给条件证得三角形全等，进而求得的长度为1，进而得到点G为AC的中点．【小问1详解】在三棱台中，高上底面为等边三角形，其边长为1，所以面积为．下底面为等边三角形，其边长为2，所以面积为．∴三棱台的体积为．【小问2详解】连接CD，设，连接HO，

由平面FGH，平面CBD，平面平面，可得，又H为BC的中点，所以O为CD的中点，三棱台中，，，，∴，∴．∵三棱台中为等边三角形，∴为等边三角形．则．∴，又∵，∴点G为AC的中点．20.在实际生活中，为了测量建筑物的高度，可借助的方法有很多．如图1所示，为了得到建筑物AB的高，可以在水平面的C点处先测量仰角（其中米是测量仪器高度），然后前进t米到达点E后（米，为测量仪器的高度）再测量仰角的大小，最后根据有关数据和直角三角形知识就可得到AB的高．但是，在这种测量方法中，要保证C，E，B在一条直线上，而且AB要与BC垂直（实际生活中直线BC不一定水平），否则误差会比较大．为了避免这种误差：将以上方法调整为，使C，E，B三点不共线，测得．．，，，米，如图2．（1）若C，E，B三点共线，且，试写出图1中建筑物AB的高（单位：米）的表达式（用，，t，a表示）；（2）当C，E，B三点不共线且并不确定平面CBE是否为水平面时，试写出图2中建筑物AB的高（单位：米）的表达式（结果用，，，，，t表示，写出原始表达式即可，不必分母有理化）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先在中，由正弦定理求出，然后在中求出，进而可得结果；（2）分别在和中用正弦定理求出和，最后在中，由余弦定理即可得结果.【小问1详解】在中，由正弦定理，，即，因为，所以，在中，，所以AB的高为．【小问2详解】在中，由正弦定理，，因为，所以，在中，由正弦定理，，即，所以，在中，由余弦定理可知，，即．21.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，，E在AB上，且为边长为2的等边三角形．将沿DE折起，使得点A到点P的位置，平面平面BCDE，如图2．（1）若F为PC的中点，证明平面PDE；（2）证明：；（3）求直线BP与平面DCBE所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明平面PDE；（2）利用三角形全等去证明；（3）先作出直线BP与平面DCBE所成角的平面角，求得该平面角的大小，进而求得直线BP与平面DCBE所成角的大小．【小问1详解】取PD中点G，连接GE，GF又∵F是PC中点，∴在中，，在直角梯形ABCD中，，．所以，，∴且．∴四边形GFBE为平行四边形，∴又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE．【小问2详解】取DE中点M，连接PM，MB，MC，则，∵面面BEDC，面面，平面PDE，∴面BEDC，又面BEDC，面BEDC，∴，．在中，，则，又中，，，则，同理在中，，则，又中，，，则，，∴．【小问3详解】由（2）知面BEDC，∴为PB与平面DCBE所成角的平面角，在中，，，∴，则PB与平面DCBE所成角的大小为．22.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点（包括端点）．，若平面与棱BC交于点G