平稳时间序列的线性模型

第八章平稳时间序列的线性模型使用班级：08050641，08050642第八章平稳时间序列的线性模型

〔补充〕8.1时间序列及其实例〔3〕8.2平稳随机序列及其线性模型〔4〕8.3各类线性模型的性质〔23〕8.4模型识别与参数估计〔31〕8.1时间序列及其实例时间序列是随机序列，即参数离散的随机过程某地区1950年元月开始每月月降水量8.2平稳随机序列及其线性模型满足，与时间t无关8.2.1平稳随机序列〔1〕定义〔2〕平稳时间序列的数字特征协方差：自协方差函数：自相关系数函数〔标准相关函数、自相关函数〕性质：对称性质初值有界〔3〕白噪声序列离散白噪声互不相关的，均值为零且方差相同的随机变量序列，表示随机误差8.2.2平稳时间序列的线性模型

均值为零的有理谱密度的平稳序列可表示成以下三种模型。自回归模型滑动平均模型自回归滑动平均模型〔混合模型〕对于序列Zt的期望μ，可得序列〔1〕自回归模型AR(p)任意时刻t的数值Wt可以表示成过去p个时刻Wt-1，Wt-2，……，Wt-p上的数值的线性组合再加上t时刻的白噪声at。或P为阶数，为参数，且〔2〕滑动平均模型MA(q)Wt表示成白噪声在t和t以前的q+1个时刻上的数值的加权和q为阶数，为参数，且〔3〕自回归滑动平均模型〔混合模型〕

ARMA(p,q)，p与q为混合模型的阶数和

为参数

自回归模型和滑动平均模型是混合模型的特例。〔4〕有理谱密度Φ(z)与Θ(z)没有公共因子，且Φ(z)与Θ(z)的零点全部在单位圆|z|=1外部。平稳解定义：满足上述的Φ(z)与Θ(z)，如果均值为零的平稳序列Wt满足混合模型方程，且当时s>t，，那么称Wt是随机差分方程的平稳解。定理：具有有理谱密度的均值为零的平稳序列Wt

，一定是随机差分方程的一个平稳解，反之，方程的平稳解一定具有有理谱密度。〔5〕算子表达式ARMA(p,q)模型：AR(p)模型：MA(q)模型：

B为延迟算子

那么得混合模型ARMA(p,q)8.2.3平稳域和可逆域

平稳域：p维欧式空间中的子集那么称为ARMA模型的平稳域可逆域：q维欧式空间中的子集那么称为ARMA模型的可逆域例8.1

求AR(1)或ARMA(1,q)模型的平稳域8.2.4格林函数及逆函数

〔1〕格林函数利用平稳域，可得Φ(B)在|B|<1内是可逆的那么为ARMA模型的传递函数MA模型说明平稳序列可用白噪声表示为ARMA模型的格林函数MA(q)模型的格林函数〔2〕逆函数利用可逆域，可得Θ(B)在|B|<1内是可逆的那么为ARMA模型的逆转函数AR模型说明白噪声可用平稳序列表示为ARMA模型的逆函数AR(p)模型的逆函数例8.2

求AR(1)模型的格林函数和传递函数解：所以，格林函数为传递函数为例8.3

求ARMA(1,1)模型的逆函数逆函数为：例8.4

求AR(2)模型的格林函数和传递函数格林函数：传递函数：解：返回8.3各类线性模型的性质8.3.1偏相关函数

在平稳随机序列中取出一个片断共k+1个自协方差函数：自相关系数函数：现用前面k项的线性组合，去估计Wk+1其中是系数，采用最小方差法得到的系数，化简得：归一化得：其中规定Ф00=1，Фkk即是偏相关函数上面的方程可以用托布里兹〔Toeplitz〕矩阵来表示，表示矩阵形式的方程为尤尔-沃克〔Yule-Walker〕方程Фkk与ρk区别：ρk：表示与的线性联系密切程度Фkk：表示与在中间量固定的条件下的线性联系密切程度8.3.2线性模型的性质

自回归模型AR(p)

ρk拖尾，Фkk在k=p处截尾ρk拖尾：指随着k无限增大以负指数的速度趋向于零，即当k相当大时此时Фkk截尾：自回归模型AR(p)

ρk拖尾，Фkk在k=p处截尾滑动平均模型MA(q)

Фkk

拖尾，ρk在k=q处截尾混合模型ARMA(p,q)

ρk拖尾，Фkk拖尾返回8.4模型识别与参数估计

8.4.1样本自相关函数与样本偏相关函数〔1〕样本自相关函数〔样本自相关系数函数〕对于平稳序列自协方差函数：样本自协方差函数：样本自相关函数：当n-k充分大时，一般取，n>50,k≈n/10

〔2〕样本偏相关函数8.4.2模型类别和阶数确实定AR(p)模型:Фkk在k=p处截尾当k>p时，平均20个

中至多有一个那么就认为Фkk在k=p