2023学年完整公开课版18等腰三角形

第十八讲等腰三角形考标层级识别等腰三角形、等边三角形，等腰三角形、等边三角形的性质和判定理解用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题掌握运用等腰三角形、等边三角形的知识解决有关问题灵活运用线段垂直平分线掌握一、等腰三角形的判定与性质1.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也_____(简写为“___________”).相等等角对等边2.性质(1)等腰三角形的两个底角_____(简写为“___________”).(2)等腰三角形顶角的_______、底边上的高和底边上的_____互相重合(简写成“三线合一”).(3)等腰三角形是_______图形，底边上的中线(或底边上的高或顶角的平分线)所在的直线是它的对称轴.相等等边对等角平分线中线轴对称【微点拨】1.等腰三角形的定义既是等腰三角形的一个性质，又是等腰三角形的一种判定方法.2.等腰三角形性质是已知两腰相等得出两角相等，而等腰三角形的判定则是已知两角相等得出两腰相等.二者题设和结论正好相反，注意不要混淆.二、等边三角形的判定与性质1.判定(1)三个角_______的三角形是等边三角形.(2)有一个角等于60°的_____三角形是等边三角形.2.性质(1)等边三角形的三个内角都_____，并且每一个角都等于_____.(2)等边三角形是轴对称图形，并且有___条对称轴.都相等等腰相等60°三【微点拨】1.由于等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质，但等边三角形具有的性质等腰三角形不一定具有.2.等边三角形性质和判定的题设和结论也正好相反，要注意区别.三、线段的垂直平分线1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_____.2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的___________上.相等垂直平分线【微点拨】1.线段的垂直平分线的性质是证明线段相等或垂直的重要方法.2.垂直平分线的性质与判定的题设和结论也正好相反，注意区别.高频考点1

等腰三角形的性质与判定(★★★★★)【示范题】(2014·泰安中考)如图，∠ABC=90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.(1)求证：∠FMC=∠FCM.(2)AD与MC垂直吗？并说明理由.【思路点拨】(1)利用等腰三角形的三线合一及同角的余角相等，易证得△DFC≌△AFM，从而得到CF=MF，得出结论.(2)由(1)易得△DFE，△MFC都是等腰直角三角形，可推得DE∥MC，从而得到AD与MC垂直.【自主解答】(1)∵△ADE是等腰三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF=AF=EF，又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF，又∵∠DFC=AFM=90°，∴△DFC≌△AFM，∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM.(2)AD⊥MC，由(1)知∠MFC=90°，FD=FE，FM=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC.【答题关键指导】等腰三角形的“三线合一”，包括以下三个结论：如图，在△ABC中，AB=AC.(1)若AD⊥BC，则BD=DC，∠1=∠2.(2)若BD=DC，则AD⊥BC，∠1=∠2.(3)若∠1=∠2，则AD⊥BC，BD=DC.【宁夏·全国考题回访】1.(2014·盐城中考)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(

)A.40° B.50° C.60° D.70°【解析】选D.因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为=70°.2.(2014·南充中考)如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为(

)A.30° B.36°C.40° D.45°【解析】选B.设∠B的度数为x°，∵AB=AC，∴∠C=∠B，又∵AD=CD，∴∠C=∠CAD，∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C=2x°，又∵AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=2x°，∴x+2x+2x=180，解得x=36，∴∠B的度数为36°.3.(2014·新疆中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是________.【解析】∵AB=AC，∠A=40°，∴∠C=∠ABC=(180°-40°)=70°.∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=70°.∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°.答案：30°4.(2014·菏泽中考)在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长.【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE=AB=2.5.5.(2014·襄阳中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程.【解析】(1)①②或①③.(2)选择①②证明如下：在△BOE和△COD中，∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，BE=CD，∴△BOE≌△COD，∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形.高频考点2等边三角形的性质与判定(★★★★☆)【示范题】(2014·温州中考)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数.(2)若CD=2，求DF的长.【思路点拨】(1)根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解.(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解.【自主解答】(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°-∠EDC=30°.(2)∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4.【答题关键指导】等边三角形是特殊的等腰三角形，解题时，要灵活运用下列性质：(1)三条边相等.(2)三个角相等，并且都等于60°.(3)是轴对称图形，并且有三条对称轴.(4)具有“等边对等角”及“三线合一”的性质.【宁夏·全国考题回访】1.(2014·泸州中考)如图，等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°【解析】选C.由等边△ABC得∠C=60°，由三角形中位线的性质得DE∥BC，∠DEC=180°-∠C=180°-60°=120°2.(2014·临沂中考)如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN.其中，正确结论的个数是(

)A.3个 B.2个 C.1个 D.0个【解析】选B.∵△ACD和△BCE是等边三角形.∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△DCB中∴△ACE≌△DCB(SAS).∴∠AEC=∠DBC.在△ECM和△BCN中，∵CE=CB，∠ECM=∠BCN=60°，∠MEC=∠NBC，∴△ECM≌△BCN(ASA)，∴CM=CN.所以其中①②正确.3.(2014·孝感中考)如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，BE，若△ABE是等边三角形，则

=________.【解析】∵△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∴∠BAC=30°，设BC=x，则AB=x，∴S△ABE=x2；∵∠BCE=∠BCA+∠ACE=120°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=30°，∵CE=CB=x，∴S△DCE=x2，答案：

4.(2014·随州中考)在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则下列结论错误的是(

)A.AE∥BC B.∠ADE=∠BDCC.△BDE是等边三角形 D.△ADE的周长是9【解析】选B.由旋转易知△DBC≌△EBA，∠DBE=60°，∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，∴AE∥BC；△DBE是等边三角形；△ADE的周长=AE+AD+DE=CD+AD+BD=AC+BD=5+4=9.故A，C，D都正确.5.(2014·益阳中考)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是______.【解析】∵△ABC是等边三角形，E是BC的中点，∴∠CAE=30°.根据旋转的性质，知∠CAE=∠DAF=30°，∴∠CAF=30°，∴∠EAF=60°.答案：60°6.(2014·绵阳中考)如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α=________.【解析】如图，延长CB交直线m于D，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵l∥m，∴∠1=40°，∴∠α=∠ABC-∠1=60°-40°=20°.答案：20°高频考点3线段垂直平分线的性质与判定(★★★★☆)【示范题】(2014·汕尾中考)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE.(1)求∠ADE.(直接写出结果)(2)当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长.【思路点拨】(1)由作图知，MN是线段AC的垂直平分线，可得到结论.(2)由垂直平分线的性质和勾股定理易求得△ABE的周长.【自主解答】(1)∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°.(2)∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ABE的周长=AB+(AE+BE)=AB+BC=3+4=7.【答题关键指导】线段垂直平分线的应用特征(1)线段垂直平分线中的两组线段相等：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②被垂直平分的线段，被分为两条相等的线段.(2)当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直，且垂足是中点时，要联想到线段垂直平分线的性质.【宁夏·全国考题回访】1.(2014·河南中考)在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为____________.【解析】由①的作图可知CD=BD，则∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°，又∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACD=80°，∴∠ACB=80°+25°=105°.答案：105°2.(2014·贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是_______.【解析】∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°