数字电路与逻辑设计02

数字电路与逻辑设计第2章：逻辑代数2-1概述2-2逻辑代数基本概念2-3逻辑代数定理及规则2-4逻辑表达式的形式与变换2-5逻辑函数化简吉林大学仪器科学与电气工程学院：数字电路与逻辑设计2-1概述逻辑代数是逻辑设计的理论基础和重要数学工具。是一种用于描述客观事物逻辑关系的数学方法，又称布尔代数

(BooleAlgebra)。虽然和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的值只有“1”和“0”两种，所谓逻辑“1”和逻辑“0”，代表两种相反的逻辑状态。在逻辑代数中只有逻辑乘(“与”运算)，逻辑加(“或“运算)和求反(“非运算”)三种基本运算。数字电路与逻辑设计：第2章逻辑代数逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用1和0表示。与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。

相似处

相异处独立的规律和运算法则。第2章：逻辑代数2-1概述2-2逻辑代数基本概念2-3逻辑代数定理及规则2-4逻辑表达式的形式与变换2-5逻辑函数化简吉林大学仪器科学与电气工程学院：数字电路与逻辑设计2-2逻辑代数基本概念逻辑指研究前提(或条件)和结论之间的关系，或者说是因果的规律。所有客观规律都是不以人的意志为转移的，牛顿力学定律是客观规律，所以牛顿力学定律是不以人的意志为转移的。有的学生是共青团员

有的共青团员是学生。三角形内角和为180度；半径为r的圆的面积是πr2。事物内部都存在矛盾运动，其发展方式是以“否定之否定”规律螺旋式上升的。2-2逻辑代数基本概念用数学的方法去研究“形式逻辑”问题逻辑代数逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K，常量0和1以及“与”、“或”、“非”三种基本运算所构成，记为L={K,“0”,“1”,“+”,“·”,“-”}。2.2.1逻辑变量及逻辑运算I.基本逻辑运算逻辑乘(“与”运算)逻辑加(“或”运算)逻辑非(“非”运算)

1.“与”逻辑运算

在逻辑问题中，如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关系称之“与”逻辑。在数字电路中，实现“与”逻辑关系的逻辑电路称为“与”门。

ABF逻辑式：

F=A•B=ABa.IEEEb.标准符号c.常用符号

&ABFFFAABB与门：1.与运算（逻辑乘）000010100111真值表2.“或”逻辑运算在逻辑问题的描述中，如果决定某一事件是否发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。在数字电路中，实现“或”逻辑关系的逻辑电路称为“或”门。≥1＋FBFFAAABB逻辑式：F=A+B2.或运算（逻辑加）ABF000011101111a.IEEEb.标准符号c.常用符号

真值表3.“非”逻辑运算

在逻辑问题中，如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。在数字电路中，实现“非”逻辑关系的逻辑电路称为“非”门。○1○非门：3.非运算（逻辑反）RAF0110逻辑式：F=Aa.IEEEb.标准c.常用

0000111100ABF=A·BF=A+B0001011101110000波形图注意事项：1、输入波形要穷举所有可能的输入组合(n个输入变量由2n种可能)2、输出波形与输入变化对应基本逻辑运算的波形图（时序图）II.复合逻辑运算1.与非逻辑

与非门2.或非逻辑或非门3.与或非逻辑与或非门ABFABF&ABCDF4.异或逻辑ABF000011101110ABF0010101001115.同或逻辑F=A⊙B=异或门同或门=1ABF=ABFABFBAF总结异或运算的一些特点2-2-2逻辑函数及其表示方法“灯与开关的问题”2-2-2逻辑函数及其表示方法“灯与开关的问题”特征总结逻辑值只有“1”和“0”，没有数值大小的意义，只表示两种对立的状态；函数和变量之间的关系由与、或、非三种基本运算决定；三种基本运算是逻辑运算，不是数值大小的运算。2-2-2逻辑函数及其表示方法

(1)逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和1两种可能；

(2)函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”3种基本运算及其组合决定的。如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y有唯一确定的值与其对应，则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。

逻辑函数的表示方法1.逻辑表达式运算优先法则:(由高到低)

括号，非，与，或“与”运算符一般可省略进行“非”运算可不加括号

2.真值表将逻辑函数的所有输入变量取值组合和对应函数值做成一个表格，即真值表。3.逻辑图用基本逻辑图形符号相互连接构成的图，表示输出变量和输入变量的逻辑关系。(与实际数字逻辑电路相对应)4.HDL

硬件描述语言，特殊的计算机语言。5.其他表示方法波形图：用波形表示输入与输出之间的关系。卡诺图：由表示逻辑变量所有取值组合的小方格构成的平面图。思考题1、n个逻辑变量进行异或运算，若其中取值为1的变量个数为奇数，运算结果为？若其中取值为1的变量个数为偶数，运算结果为？2、依据问题1，若n个变量进行同或运算，运算结果与什么因素有关？CS2RDWRINT3HD7ISTRBA14A15RWINTRB有几个输入输出？输出与输入之间有什么关系？3.某电路逻辑图如下：第2章：逻辑代数2-1概述2-2逻辑代数基本概念2-3逻辑代数基本定理和规则2-4逻辑表达式的形式与变换2-5逻辑函数化简吉林大学仪器科学与电气工程学院：数字电路与逻辑设计2-3逻辑代数基本定理和规则数字电路与逻辑设计：第2章逻辑代数2-3-1基本定理及公式定理及公式内容：课本P24-25（自学）要求熟记！证明方法：1.利用真值表（穷举）2.利用基本定律和公式0-1律重叠律互补律还原律分配律结合律交换律自等

律反演律德•摩根定理1.代入规则在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。2-3-2重要规则及定理例：

A+BC=(A+B)(A+C)

令Ｃ＝(D+E)，代入上式得：

A+B(D+E)=(A+B)(A+D+E)2.反演规则

例：(保持原来的运算顺序!!)原变量=>反变量反变量=>原变量0=>11=>0函数F的反演式？~一个函数F的反演式，等于该函数的反函数F。反演规则示例对不属于单个变量的非号保持不变！3.对偶规则

例：（保持原来的运算顺序!!）函数F的对偶式F’若两个逻辑函数表达式F和G相等，则其对偶式F'和G'也相等。0=>1，1=>0对偶规则示例4.展开定理若：则：应用：化简逻辑表达式5.摩根定理延伸：基本定理和规则可以用于代数化简法常用公式：消去律吸收律1吸收律2包含律定理和规则的分类逻辑运算相关的定理

（基本定理和三大规则）。逻辑函数相关的定理。第2章：逻辑代数2-1概述2-2逻辑代数基本概念2-3逻辑代数定理及规则2-4逻辑表达式的形式与变换2-5逻辑函数化简吉林大学仪器科学与电气工程学院：数字电路与逻辑设计2-4-1逻辑函数表达式的常用形式（一）基本形式：“与-或”式：由若干“与项”进行“或”运算构成。

F=A+BC+BDEF“或-与”式:由若干“或项”进行“与”运算构成。

F=A(B+D)(C+D+E)2-4逻辑函数表达式的常用形式与标准形式（二）与非与非式（三）或非或非式（四）与或非式2-4-2逻辑函数表达式的标准形式

标准与或式：逻辑函数标准形式定理A（最小项之和）；

标准或与式：逻辑函数标准形式定理B（最大项之积）；定理A：任何一个逻辑函数都可根据真值表表述为多个乘积项相加的形式，这些乘积项可以通过真值表中函数值为1的行对应的自变量取值组合求得，各乘积项由对应取值组合中值为1的自变量的原变量和值为0的自变量的反变量相乘得到。

挑出函数值为1的项

每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项

这些乘积项作逻辑加2-4-2逻辑函数标准形式ABCF000001001011100110111011断“0”合“1”亮“1”灭“0”00001101101111101111逻辑函数标准形式定理A定理B：任何一个逻辑函数都可根据真值表表述为多个和项相乘的形式，这些和项可以通过真值表中函数值为0的行对应的自变量取值组合求得，各和项由对应取值组合中值为1的自变量的反变量和值为0的自变量的原变量相加得到。

挑出函数值为0的项

每个函数值为0的输入变量取值组合写成一个和项

这些和项作逻辑乘2-4-2逻辑函数标准形式ABCF000001001011100110111011断“0”合“1”亮“1”灭“0”00

001101011110111逻辑函数标准形式定理B最小项定义：n个变量均以原变量或反变量的形式在最小项中出现且仅出现一次；最小项是一种特殊的乘积项（与项）；n变量逻辑空间的最小项，包含n个变量；n变量逻辑空间存在的最小项个数有2n个。二变量逻辑空间的最小项2-4-2（a）

最小项的定义与特点

最小项举例：三变量逻辑空间存在的全部最小项最小项的编号：最小项取值对应编号ABC十进制数0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7最小项，乘积项，原变量对应1，反变量对应0最小项的性质在输入变量任一组取值下，有且仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为1。任何两个最小项之积为0。“逻辑相邻”：仅有一个因子不同的两个最小项。两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次；最大项是相加项；n变量逻辑代数空间的最大项，包含n个因子；n变量逻辑代数空间的最大项个数有2n个。如：二变量函数F(A,B)的最大项最大项定义：2-4-2（b）

最大项的定义与特点

最大项的编号：最大项取值对应编号ABC十进制数1117M71106M61015M51004M40113M30102M20011M10000M0最大项，和项，原变量对应0，反变量对应1

最大项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；全体最大项之积为0；任何两个最大项之和为1；逻辑相邻：只有一个因子不同的两个最大项，其乘积可以消去一个因子。2-4-2(c)最小项与最大项的关系

编号相同的最小项与最大项互为反函数，如m1与M1,m2与M2,…相互转换2-4-2(d)逻辑函数的标准与或式和标准或与式的相互转换

将任意一个逻辑函数表达式转换成标准表达式有两种常用方法:1.代数转换法2.真值表转换法

2-4-3逻辑函数表达式的转换逻辑表达式电路结构

逻辑表达式越简单，电路越简单。逻辑函数化简：降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性。2-5逻辑函数化简数字电路与逻辑设计：第2章逻辑代数

逻辑函数的最简形式最简与-或

表达式中的与项已经最少；

每个与项的因子也最少最简或-与

表达式中的“或”项个数最少；

每个“或”项中的变量个数最少。化简方法

代数化简法（公式法）卡诺图法（利用相邻项原理）列表化简法适合用于计算机化简2-5-1代数化简法技巧性强，不易确定是否为最简。常用方法：并项法吸收法消去法消因子法配项法思考题利用公式法化简以下函数第二章课后题2-5-2卡诺图化简法1.卡诺图的构成卡诺图中每个小方块称为一个单元，每个单元对应一个最小项。任意两个相邻的最小项在卡诺图中的位置必须满足相邻性规则：(1)几何位置相邻性，在几何位置上相邻；(2)对称相邻性，图形中两位置对称的单元相邻。(3)首尾相邻。2.逻辑函数的卡诺图表示法只需把各变量取值对应的逻辑函数F的值填在对应的小方格中，就构成了该逻辑函数的卡诺图。AABBC建立多于二变量的卡诺图，则每增加一个逻辑变量就以原卡诺图的右边线（或底线）为对称轴作一对称图形，对称轴左面（或上面）原数字前增加一个0，对称轴右面（或下面）原数字前增加一个1。2-5-2卡诺图化简法3.在卡诺图上合并最小项的规则(1)卡诺图上任何两个标1的相邻方格，可以合为一项，并消去一个变量；(2)卡诺图上任何四个标1的相邻方格，可以合为一项，并消去两个变量；(3)卡诺图上任何2n个标1的相邻方格，可以合为一项，并消去n个变量。2-5-2卡诺图化简法4.用卡诺图化简逻辑函数(1)化简原则①将所有相邻的标1方格圈成尽可能少的圈；②在①的条件下，使每个圈中包含尽可能多的相邻标1方格；(2)化简