数系的扩充与复数的引入

数学(文科A)考纲要求·复数的基本概念,复数相等的充要条件·复数代数表示法及其几何意义·能进行复数代数形式的四则运算·代数形式的加减运算考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选①i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);②(1±i)2=±2i, =i, =-i;③1的立方虚根为ω=- ± i,且ω具有性质:1+ω+ω2=0,ω3=1,ω2= , = .(3)复数的几何意义,特别是复数与向量、复数与三角的联系.建议备考抓好以下问题:(1)复数的基本概念,复数为虚数、纯虚数的条件,复数模的性质,复数相等条件的运用等.(2)复数的代数形式运算,并注意下述结果的变形运用:考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选1.复数的有关概念(1)复数的单位为i,它的平方等于-1,即i2=-1,并,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.(2)复数:形如a+bi的数(其中a,b∈R),a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部,当b=0时,复数a+bi为实数;当b≠0时,复数a+bi为虚数;当a=0且b≠0时,复数a+bi为纯虚数.(3)两个复数相等的定义a+bi=c+di⇔a=c,b=d(其中a,b,c,d∈R),特别地a+bi=0⇔a=b=0.

(4)两个复数,如果不全为实数,就不能比较大小.考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选2.复数的几何意义(1)在复平面内,实轴上的点都表示实数,虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.(2)复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内点Z(a,b)、平面向量

一一对应(其中O是坐标原点).(3)向量

的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|,并且|z|=

.

(4)复数集与其他数集之间的关系:N⫋Z⫋Q⫋R⫋C.3.复数的加、减、乘、除运算复数的加、减、乘、除运算按以下规则进行:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选加减法:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.除法:

=

=

+

i.

4.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.复数z=a+bi(a、b∈R)的共轭复数

=a-bi(a、b∈R)5.复数加法的几何意义:如果复数z1,z2分别对应于向量

、

,那么以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2,对角线OS表示的向量

就是z1+z2的和所对应的向量.

6.复数减法的几何意义:两个复数的差z1-z2与连结这两个向量终点并指向被减数的向量对应.考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选1.下列n的取值中,使in=1(i是虚数单位)的是

(

)(A)n=2.

(B)n=3.

(C)n=4.

(D)n=5.【解析】由i4=1,易知选C.【答案】C考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选2.在复平面内,复数z=

+(1-

i)2对应的点位于(

)(A)第一象限.

(B)第二象限.(C)第三象限.

(D)第四象限.【解析】z=

+(1-

i)2=

i(1-i)+(1-3-2

i)=

i+

-2-2

i=-

+

i,∴在第三象限.【答案】C考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选3.(2008年·北京)在复平面内,复数

对应的点与原点的距离是

(

)(A)1.

(B)

.

(C)2.

(D)2

.【解析】

=

=1-i,复数

对应的点与原点的距离是

.【答案】B考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选4.已知方程x3=1,则该方程在复数范围内有几个根

(

)(A)1.

(B)2.

(C)3.

(D)4.【解析】∵x3-1=0,∴(x-1)(x2+x+1)=0,∴x-1=0或x2+x+1=0,∴x=1或x=

.故该方程三个根x1=1,x2=

,x3=

.故选C.【答案】C考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例1

(1)若复数z满足z(2+i)=5,则复数z的实部与虚部的差是

(

)(A)-1.

(B)1.

(C)-3.

(D)3.(2)若θ∈(

,

),则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在

(

)(A)第一象限.

(B)第二象限.(C)第三象限.

(D)第四象限.【分析】(1)直接利用运算法则即可;(2)根据θ的取值范围,判断cos

θ+sinθ,sinθ-cosθ的符号即可.题型1复数的概念、复数与复平面上的点的对应关系考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选(2)由θ∈(

,

)可得-

<cosθ+sinθ<0,sinθ-cosθ>0,所以此复数在复平面内所对应的点在第二象限.【答案】(1)D

(2)B

点评:(1)复数的形式a+bi是解决问题常用的基本形式;(2)要能理解复数的几何意义,并能灵活应用.【解析】(1)由z(2+i)=5,得z(2+i)(2-i)=5(2-i),z=2-i,2-(-1)=3.考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

变式演练1已知m∈R,复数z=

+(m2+2m-3)i,当m为何值时(1)z∈R;(2)z是纯虚数;(3)z对应的点位于复平面第二象限.【解析】(1)由m2+2m-3=0且m-1≠0得m=-3.(2)由

⇒m=0或m=2.(3)由

⇒m<-3或1<m<2.综上可知:(1)当m=-3时,z∈R.(2)当m=0或m=2时,z是纯虚数.(3)当m<-3或1<m<2时,z对应的点在第二象限.考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例2

(1)已知集合M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为

.(2)已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,则实数k的值为

.【分析】(1)解题的突破口是利用3是M、N的公共元素,-1不是M

中的元素,再用两个复数相等的充要条件解方程求解.(2)本题解题的切入点是方程的根必适合方程,设x=m为方程的实

根,代入、整理后得a+bi的形式,再由复数相等的充要条件得关于k

、m的方程组求解.【解析】(1)∵M∩N={3},∴3∈M且-1∉M,∴m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3或m=3,题型2复数的相等考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选∴m2-5m-6=0且m≠-1或m=3,解得m=6或m=3.(2)设x=m是方程的实根,代入方程得m2+(k+2i)m+2+ki=0,即(m2+km

+2)+(2m+k)i=0.由复数相等的充要条件得

解得

或

∴方程的实根为x=

或x=-

,相应k的值为-2

或2

.【答案】(1)3或6

(2)-2

或2

点评:(1)本题是集合与两个复数相等的交汇题,关键是灵活运用集合中元素关系求解.(2)解决本类问题的关键是:设复数的代数式形式,化虚为实.考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

变式演练2

(1)已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R)且z<0,则k=

.(2)设关于x的方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0,若方程有实数根,则锐角θ等

于

,实数根为

.【解析】(1)∵z<0,∴z∈R,∴k2-5k+6=0且k2-3k<0,解得k=2.(2)原方程可化为x2-xtanθ-2-(x+1)i=0,∴

∴x=-1,tanθ=1,∴θ=

.【答案】(1)2

(2)

-1考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例3

(1)复数

的值是

(

)(A)-16.

(B)16.

(C)-

.

(D)

-

i.(2)设x,y∈R,且

=

,则x=

,y=

.【分析】(1)把条件转化成与ω的性质有关的问题求解.(2)左、右同时化简,再利用左、右相等得x、y的值.【解析】(1)

=

=16·

=

=-16.题型3复数的运算考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选(2)原等式可化为(x-2)+(2y-3)i=

·(3+2i)10.由

·(3+2i)10=

·(2-3i)10·i10=

·(-1)=-1-3i,即得(x-2)+(2y-3)i=-1-3i,故

解得

【答案】(1)A

(2)10

点评:本题主要考查复数的运算,若直接运算则比较麻烦,可结合题中所给复数的形式,利用“

=i”,“ω=-

+

i”的性质来求解比较容易.考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

变式演练3计算:(1)

=

.(2)

=

.【解析】(1)原式=

=(

)3·

=

=i.(2)

=

=

=

=-1+

i.【答案】(1)i

(2)-1+

i考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例4

(2008年·山东)设z的共轭复数是

,若z+

=4,z·

=8,则

等于

(

)(A)i.

(B)-i.

(C)±1.

(D)±i.【分析】设a的复数形式a+bi,求出a、b即可.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则

=a-bi,由z+

=2a=4,得a=2,又z·

=a2+b2=8,则b=±2,则

或

则

=±i.【答案】D题型4共轭复数

点评:z=a+bi(a,b∈R)来解题,是常用的处理方法,同时要理解和应用共轭复数和模的含义.考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

变式演练4

设z1是复数,z2=z1-i

(其中

表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为

.【解析】设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1-i

=(a+bi)-i(a-bi)=(a-b)-(a-b)i,z2的实部是-1,则a-b=-1,那么z2的虚部为-(a-b)=1.【答案】1考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例5已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量

、

(O为原点),若向量

对应的复数为纯虚数,求实数a的值.【解析】∵z1,z2在复平面上对应的向量为

=(a2-3,a+5),

=(a-1,a2+2a-1),∴

=

-

=(a-a2+2,a2+a-6),即

对应的复数为(a-a2+2)+(a2+a-6)i.∵向量

对应的复数为纯虚数,∴

解得a=-1.

点评:本题利用“复数⇔复平面上的点⇔复数与向量”的对应关系求出

,再利用复数为纯虚数的条件求解即得.题型5复数与向量的对应关系考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

变式演练5已知z是复数,z+2i、

均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.【解析】设z=x+yi(x、y∈R),∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,

=

=

(x-2i)(2+i)=

(2x+2)+

(x-4)i.由题意得x=4,∴z=4-2i.∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,根据题意得

解得2<a<6,∴实数a的取值范围是(2,6).考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例已知复数z1=-4m+1+(2m2+3m)i,z2=2m+(m2+m)i,其中m∈R,问m为何值时,z1>z2?【错解】z1-z2=-6m+1+(m2+2m)i>0,则m2+2m=0且-6m+1>0,解得m=0或m=-2,∴m=0或m=-2时,有z1>z2.考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选【正解】要使z1>z2,应满足:

解得

∴m=0,∴当m=0时,z1>z2.

【剖析】虽然m=0或m=-2时,z1-z2>0,但不能保证z1、z2都是实数,因

为两个复数只要有一个不是实数,就不能比较大小.因此,本题的前提条件是z1、z2均为实数,即

考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选1.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.方法是按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a、b∈R)的形

式,明确复数的实部与虚部,由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件,列出方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的.2.复平面、实轴、虚轴:点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选对于虚轴上的点,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.故除了原点外,虚轴上的点都

表示纯虚数.复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系,即复数z=a+bi

复平面内的点Z(a,b)

平面向量

3.复数运算常用的性质:(1)(1±i)2=±2i;②

=i,

=-I;(2)设ω=-

+

i,则①ω3=0,②1+ω+ω2=0,③

=ω2.(3)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).求解计算时,要充分利用i的性质.4.在复数的求解过程中,要注意复数整体思想的把握和应用.5.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选1.已知z=1+i(i是虚数单位)则

+z2等于

(

)(A)1+i.

(B)-1+i.

(C)1-i.

(D)-1-i.【解析】

+z2=

+(1+i)2=

+(1+i)2=1-i+1+i2+2i=1+i.【答案】A一、选择题考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选2.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是

(

)(A)m<

.

(B)m<1.(C)

<m<1.

(D)m>1.【解析】z=(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,对应点在第三象限内,故

解得:m<

.【答案】A考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选3.如果复数

的实部与虚部互为相反数,那么实数b等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)2.

(D)-

.【解析】

=

×

=

-

i,因为实部与虚部互为相反数,即

=

,解得b=-

.【答案】D考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选4.在复平面内,向量

对应的复数是2+i,向量

对应的复数是-1-3i,则向量

对应的复数是

(

)(A)1-2i.

(B)-1+2i.(C)3+4i.

(D)-3-4i.【解析】因为

=

+

=-1-3i+(-2-i)=-3-4i.【答案】D考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选5.已知x、y互为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,则x+y的值为

(

)(A)2i.

(B)-2i.(C)2或-2.

(D)-2i或-2i.【解析】设x=a+bi(a,b∈R),则y=a-bi,代入原式得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i⇔

⇒

或

或

或

所以

或

或

或

【答案】C考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选6.i是虚数单位,i+2i2+3i3+…+8i8等于

.【解析】i+2i2+3i3+…+8i8=i-2-3i+4+5i-6-7i+8=4-4i.【答案】4-4i二、填空题7.复数z1=a+2i,z2=-2+i,若|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是

.【解析】|z1|=

,|z2|=

,∵|z1|<|z2|,∴

<

,∴a2<1,∴-1<a<1.故a的范围是(-1,1).【答案】(-1,1)考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选8.设x,y为实数,且

+

=

,则x+y=

.【解析】

+

=

+

=(

+

)+(

+

)i,而

=

=

+

i,所以

+

=

且

+

=

,解得x=-1,y=5,所以x+y=4.【答案】4考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选9.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+3m-i=0有实根,则实数m的值是

.【解析】设方程的实根为x=a(a∈R),则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,∴(a2+a+3m)-(2a+1)i=0,∴

∴m=

.【答案】

考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选10.在复平面上,正方形ABCD的两个顶点A,B对应的复数分别为1+2

i,3-5i.求另外两个顶点C,D对应的复数.【解析】设D(x,y),则

=(x-1,y-2),

=(2,-7),

⊥

⇒(x-1)·2-7(y-2)=0,|

|=|

|=

⇒

=

,∴

或

∴zD=-6或zD=8+4i.又∵

与

为相等向量,zC-zB=zD-zA⇒zC=zD-zA+zB,三、解答题∴

或

考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选11.已知复数z=a+bi(a,b∈R+)(i是虚数单位)是方程x2-4x+5=0的根,复

数w=u+3i(u∈R)满足|w-z|<2

,求u的取值范围.【解析】原方程的根为x1,2=2±i,∵a、b∈R+,∴z=2+i,∵|w-z|=|(u+3i)-(2+i)|=

<2

,∴-2<u<6.考纲解读知识框图备考策略名师指点基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选12.设复数z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中a∈R,当a取何值时.(1)z∈R;(2)z是纯虚数;(3)z所对应的点在复平面的第四象限内.【解析】(1)z∈R,只需a2-7a+6=0,∴a=1或a=6.(2)z是纯虚数,只需

∴a=-2.(3)由题意知

∴