2024届重庆长寿中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届重庆长寿中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．3．如图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（）A． B．C． D．4．已知，，，若不等式恒成立，则t的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．95．在中，，，则的外接圆半径为（）A．1 B．2 C． D．6．已知，，，，那么（）A． B． C． D．7．等比数列中，，则等于是（）A． B．4 C． D．8．在中，，设向量与的夹角为，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．在中，角的对边分别是，若，则（）A．5 B． C．4 D．310．方程的解集是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在数列中，若，（），则________12．已知，，，则的最小值为________．13．程的解为______.14．等比数列中，，则公比____________.15．数列中，已知，50为第________项.16．等比数列满足其公比_________________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量满足，，且向量与的夹角为．（1）求的值；（2）求．18．已知圆经过、、三点．（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦的长为，求直线的倾斜角．19．下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将两同学的成绩（对应于图中两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩与物理成绩的相关系数为，回归直线（如图所示）的方程为.（1）若不剔除两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩与物理成绩的相关系数为，回归直线为，试分析与的大小关系，并在图中画出回归直线的大致位置；（2）如果同学参加了这次物理考试，估计同学的物理分数（精确到个位）；（3）就这次考试而言，学号为16号的同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式统一化成标准分再进行比较，其中为学科原始分，为学科平均分，为学科标准差）．20．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．（1）求1张奖券中奖的概率；（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．21．已知数列和满足：，，，，且是以q为公比的等比数列．（1）求证：；（2）若，试判断是否为等比数列，并说明理由．（3）求和：．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【题目详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2、D【解题分析】

先求出的模长，然后由可求出答案.【题目详解】由题意，，，所以与的夹角为.故选D.【题目点拨】本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题.3、A【解题分析】

根据线性回归模型建立方法，分析选项，找出散点比较分散且无任何规律的选项可得答案.【题目详解】根据题意，适合用线性回归拟合其中两个变量的散点图必须散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，分析选项可得A选项的散点图杂乱无章，最不符合条件.故选A【题目点拨】本题考查了统计案例散点图，属于基础题.4、C【解题分析】

因为不等式恒成立，所以只求得的最小值即可，结合，用“1”的代换求其最小值.【题目详解】因为，，，若不等式恒成立，令y=，当且仅当且即时，取等号所以所以故t的最大值为1．故选：C【题目点拨】本题主要考查不等式恒成立和基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5、A【解题分析】

由同角三角函数关系式,先求得.再结合正弦定理即可求得的外接圆半径.【题目详解】中,由同角三角函数关系式可得由正弦定理可得所以,即的外接圆半径为1故选:A【题目点拨】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理求三角形外接圆半径,属于基础题.6、C【解题分析】由于故，故，所以.由于，由于，所以，故.综上所述选.7、B【解题分析】

利用等比数列通项公式直接求解即可.【题目详解】因为是等比数列，所以.故选：B【题目点拨】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题.8、A【解题分析】

根据向量与的夹角的余弦值，得到，然后利用正弦定理，表示出，根据的范围，得到的范围.【题目详解】因为向量与的夹角为，且，所以，在中，由正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查向量的夹角，正弦定理解三角形，求正弦函数的值域，属于简单题.9、D【解题分析】

已知两边及夹角，可利用余弦定理求出．【题目详解】由余弦定理可得：，解得.故选D.【题目点拨】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．10、C【解题分析】

把方程化为，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案.【题目详解】由题意，方程，可化为，解得，即方程的解集为.故答案为：C.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及三角方程的求解，其中解答中熟记正切函数的性质，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由题意，得到数列表示首项为1，公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.【题目详解】由题意，数列中，满足，（），即（），所以数列表示首项为1，公差为2的等差数列，所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了等差数列的定义和通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，合理利用数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、1【解题分析】

由题意整体代入可得，由基本不等式可得．【题目详解】由，，，则．当且仅当＝，即a＝3且b＝时，取得最小值1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查基本不等式求最值，整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题．13、【解题分析】

设，即求二次方程的正实数根，即可解决问题.【题目详解】设,即转化为求方程的正实数根由得或(舍)所以，则故答案为：【题目点拨】本题考查指数型二次方程，考查换元法，属于基础题.14、【解题分析】

根据题意得到：，解方程即可.【题目详解】由题知：，解得：.故答案为：【题目点拨】本题主要考查等比数列的性质，熟练掌握等比数列的性质为解题的关键，属于简单题.15、4【解题分析】

方程变为，设，解关于的二次方程可求得。【题目详解】，则，即设，则，有或取得，，所以是第4项。【题目点拨】发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，，等，都可以通过换元变为二次形式研究。16、【解题分析】

观察式子，将两式相除即可得到答案.【题目详解】根据题意，可知，于是.【题目点拨】本题主要考查等比数列公比的相关计算，难度很小.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）4（2）-12【解题分析】

（1）由，可得，即，再结合，且向量与的夹角为，利用数量积公式求解.（2）将利用向量的运算律展开，再利用数量积公式运算求解.【题目详解】（1）因为，所以，即．因为，且向量与的夹角为，所以，所以．（2）．【题目点拨】本题主要考查向量的数量积运算,还考查了运算求解的能力，属于中档题.18、（1）；（2）或.【解题分析】

（1）设出圆的一般方程，然后代入三个点的坐标，联立方程组可解得；（2）讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线的距离和勾股定理列式可得直线的倾斜角．【题目详解】（1）设圆的一般方程为，将点、、的坐标代入圆的方程得，解得，所以，圆的一般方程为，标准方程为；（2）设圆心到直线的距离为，则.①当直线的斜率不存在时，即直线到圆心的距离为，满足题意，此时直线的倾斜角为；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时，直线的倾斜角为.综上所述，直线的倾斜角为或.【题目点拨】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用直线截圆的弦长求直线的倾斜角，一般转化为求圆心到直线的距离，并结合点到直线的距离公式以及勾股定理列等式求解，考查计算能力，属中档题．19、（1），理由见解析（2）81（3）【解题分析】

（1）不剔除两同学的数据，44个数据会使回归效果变差，从而得到，描出回归直线即可；（2）将x=125代入回归直线方程，即可得到答案；（3）利用题目给出的标准分计算公式进行计算即可得到结论.【题目详解】(1)，说明理由可以是：①离群点A,B会降低变量间的线性关联程度；②44个数据点与回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小；③42个数据点与回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大；④42个数据点更加贴近回归直线；⑤44个数据点与回归直线更离散，或其他言之有理的理由均可.要点：直线斜率须大于0且小于的斜率，具体为止稍有出入没关系，无需说明理由.（2）令，代入得所以，估计同学的物理分数大约为分.（3）由表中知同学的数学原始分为122，物理原始分为82，数学标准分为物理标准分为，故同学物理成绩比数学成绩要好一些.【题目点拨】本题考查散点图和线性回归方程的简单应用，考查数据处理与数学应用能力.20、（1）（2）【解题分析】

（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且、、两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”,则利用互斥事件的概率公式求解即可【题目详解】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,设“1张奖券中奖”为事件,则,因为、、两两互斥,所以故1张奖券中奖的概率为（2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以,故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为【题目点拨】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查古典概型,考查利用对立事件求概率21、（1）