山西省陵川第一中学校、泽州一中等四校2024届高一数学第二学期期末预测试题含解析

山西省陵川第一中学校、泽州一中等四校2024届高一数学第二学期期末预测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知在中，内角的对边分别为，若，则等于()A． B． C． D．2．如右图所示，直线的斜率分别为则A． B．C． D．3．已知直线过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线的方程为（）A． B．C．或 D．或4．在中，若，，，则角的大小为（）A．30° B．45°或135° C．60° D．135°5．将边长为2的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．6．一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（）A． B．3 C． D．127．已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）A．5 B． C．3 D．8．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A．向右平移 B．向右平移C．向左平移 D．向左平移10．两数与的等比中项是（）A．1 B．－1 C．±1 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的值域为__________．12．己知函数，有以下结论：①的图象关于直线轴对称②在区间上单调递减③的一个对称中心是④的最大值为则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.13．在矩形中，，现将矩形沿对角线折起，则所得三棱锥外接球的体积是________.14．用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______.15．无限循环小数化成最简分数为________16．若正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足：，，.（1）求、、；（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；（3）求和.18．在平面直角坐标系中，已知点，，.（Ⅰ)求的坐标及；（Ⅱ)当实数为何值时，.19．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付38圆；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，以此类推：第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍），你会选择哪种方式领取报酬呢？20．遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物保护单位之一．游客乘船进行观光，到达潇水河河面的处时测得塔顶在北偏东45°的方向上，然后向正北方向行驶后到达处，测得此塔顶在南偏东的方向上，仰角为，且，若塔底与河面在同一水平面上，求此塔的高度．21．如图，正方体．（1）求证：平面；（2）求异面直线AC与所成角的大小．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由题意变形，运用余弦定理，可得cosB，再由同角的平方关系，可得所求值．【题目详解】2b2﹣2a2＝ac+2c2，可得a2+c2﹣b2ac，则cosB，可得B＜π，即有sinB．故选A．【题目点拨】本题考查余弦定理的运用，考查同角的平方关系，以及运算能力，属于中档题．2、C【解题分析】试题分析：由图可知，，所以，故选C．考点：直线的斜率．3、D【解题分析】

根据题意，分直线是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线的方程，即可得答案．【题目详解】根据题意，直线分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点，所求直线方程为，整理为，②当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，此时直线的方程为，整理为．故直线的方程为或.故选：D．【题目点拨】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．4、B【解题分析】

利用正弦定理得到答案.【题目详解】在中正弦定理：或故答案选B【题目点拨】本题考查了正弦定理，属于简单题.5、C【解题分析】

根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥的外接球直径，从而求出外接球的表面积，得到答案.【题目详解】由题意，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，如图所示，则,三棱锥的外接球直径为，即半径为，外接球的表面积为，故选C.【题目点拨】本题主要考查了平面图形的折叠问题，以及外接球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题.6、A【解题分析】

根据侧视图的宽为求出正三角形的边长为4，再根据体积求出正三棱柱的高，再求侧视图的面积。【题目详解】侧视图的宽即为俯视图的高，即三角形的边长为4，又侧视图的面积为：【题目点拨】理解：侧视图的宽即为俯视图的高，即可求解本题。7、D【解题分析】

化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出a即可．【题目详解】函数f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，故答案为D【题目点拨】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．8、A【解题分析】

先利用基本不等求出的最小值，然后根据恒成立，可得，再求出a的范围．【题目详解】因为正实数x，y满足，，当且仅当，即时取等号，恒成立，所以只需，，，的取值范围为，故选：A.【题目点拨】本题主要考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，解题时注意“一正、二定、三相等”的应用，本题属于中档题.9、A【解题分析】

利用函数的图像可得，从而可求出，再利用特殊点求出，进而求出三角函数的解析式，再利用三角函数图像的变换即可求解.【题目详解】由图可知，所以，当时，，由于，解得：，所以，要得到的图像，则需要将的图像向右平移.故选：A【题目点拨】本题考查了由图像求解析式以及三角函数的图像变换，需掌握三角函数图像变换的原则，属于基础题.10、C【解题分析】试题分析：设两数的等比中项为，等比中项为-1或1考点：等比中项二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

本题首先可通过三角恒等变换将函数化简为，然后根据的取值范围即可得出函数的值域．【题目详解】因为，所以.【题目点拨】本题考查通过三角恒等变换以及三角函数性质求值域，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式，考查化归与转化思想，是中档题．12、②④【解题分析】

根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.【题目详解】，根据图像知：①的图象关于直线轴对称，错误②在区间上单调递减，正确③的一个对称中心是，错误④的最大值为，正确故答案为②④【题目点拨】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.13、【解题分析】

取的中点，连接，三棱锥外接球的半径再计算体积.【题目详解】如图，取的中点，连接.由题意可得，则所得三棱锥外接球的半径，其体积为.故答案为【题目点拨】本题考查了三棱锥的外切球体积，计算是解题的关键.14、【解题分析】

根据左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1求解即可.【题目详解】因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1所以，左边的式子为，故答案为.【题目点拨】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.15、【解题分析】

利用无穷等比数列求和的方法即可.【题目详解】.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了无穷等比数列的求和问题,属于基础题型.16、4.【解题分析】

设正四棱锥的高为PO，连结AO，在直角三角形POA中，求得高,利用体积公式，即可求解．【题目详解】由题意，如图所示，正四棱锥P-ABCD中，AB=，PA=设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=，在直角三角形POA中，，∴.【题目点拨】本题主要考查了正棱锥体积的计算，其中解答中熟记正棱锥的性质，以及棱锥的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解题分析】

（1）直接带入递推公式即可（2）证明等于一个常数即可。（3）根据（2）的结果即可求出，从而求出。【题目详解】（1），，可得；，；（2）证明：，可得数列为公比为，首项为等比数列，即；（3）由（2）可得，．【题目点拨】本题主要考查了根据通项求数列中的某一项，以及证明是等比数列和求前偶数项和的问题，在这里主要用了分组求和的方法。18、（Ⅰ)，；（Ⅱ)【解题分析】

（Ⅰ）根据点，的坐标即可求出，从而可求出；（Ⅱ）可以求出，根据即可得出，解出即可．【题目详解】（Ⅰ)∵，，∴∴（Ⅱ)∵，∴.∵∴，∴【题目点拨】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系．19、见解析【解题分析】

，，．下面考察，，的大小．可以看出时，．因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式，时，，，因此，选用第三种付费方式．20、【解题分析】

根据正弦定理求得，然后在直角三角形中求得，即可得到答案．【题目详解】由题意，在中，，故又，故由正弦定理得：，解得，因为，所以，所以．【题目点拨】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中熟练应用正弦定理和直角三角形的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21