2024届晋中市重点中学数学高一下期末检测试题含解析

2024届晋中市重点中学数学高一下期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，且，则的值是（）A． B． C．3 D．2．球是棱长为的正方体的内切球，则这个球的体积为（）A． B． C． D．3．如图，在等腰梯形中，，于点，则（）A． B．C． D．4．若实数，满足不等式组则的最大值为（）A． B．2 C．5 D．75．在中，，，，则=（）A． B．C． D．6．的内角的对边分别为,边上的中线长为,则面积的最大值为（）A． B． C． D．7．已知直线，平面，给出下列命题：①若，且，则②若，且，则③若，且，则④若，且，则其中正确的命题是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．①②8．给出函数为常数，且，，无论a取何值，函数恒过定点P，则P的坐标是A． B． C． D．9．对任意实数x，表示不超过x的最大整数，如，，关于函数，有下列命题：①是周期函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数在区间内有两个不同的零点，其中正确的命题为()A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④10．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,70二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆上存在点，它到定点的距离与到原点的距离之比为，则圆心的纵坐标的取值范围是__________．12．已知，则与的夹角等于____.13．已知实数满足，则的最小值为_______．14．已知圆C:，点M的坐标为(2，4)，过点N(4，0)作直线交圆C于A，B两点，则的最小值为________15．若角的终边经过点，则的值为________16．在数列中，，则______________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．近年来，我国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.火箭推进剂的质量为，去除推进剂后的火箭有效载荷质量为，火箭的飞行速度为，初始速度为，已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：，其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度，假设，，，是以为底的自然对数，，.（1）如果希望火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度时，求的值（精确到小数点后面1位）.（2）如果希望达到，但火箭起飞质量最大值为，请问的最小值为多少（精确到小数点后面1位）？由此指出其实际意义.18．已知中，，，点D在AB上，，并且.（1）求BC的长度；（2）若点E为AB中点，求CE的长度.19．一汽车厂生产，，三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有类轿车10辆．轿车轿车轿车舒适型100150标准型300450600（1）求的值；（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数，

记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件，且函数没有零点，求事件发生的概率．20．如图,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A的一条直径.(1)请用表示,用表示;(2)记∠BAP=θ,求的最大值.21．已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．（1）若，证明：函数必有局部对称点；（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由已知求得，然后展开两角差的正切求解．【题目详解】解：由，且，得，即．，故选A．【题目点拨】本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．2、A【解题分析】

棱长为的正方体的内切球的半径，由此能求出其体积．【题目详解】棱长为的正方体的内切球的半径＝＝1，体积．故选：A．【题目点拨】本题考查了正方体的内切球的性质和应用，属于基础题．3、A【解题分析】

根据等腰三角形的性质可得是的中点，由平面向量的加法运算法则结合向量平行的性质可得结果.【题目详解】因为，所以是的中点，可得，故选.【题目点拨】本题主要考查向量的几何运算以及向量平行的性质，属于简单题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）4、C【解题分析】

利用线性规划数形结合分析解答.【题目详解】由约束条件，作出可行域如图：由得A(3,-2).由，化为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值为5.故选C.【题目点拨】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5、C【解题分析】

根据正弦定理,代入即可求解.【题目详解】因为中,,,由正弦定理可知代入可得故选:C【题目点拨】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.6、D【解题分析】

作出图形，通过和余弦定理可计算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【题目详解】根据题意可知，而，同理，而，于是，即，又因为，代入解得.过D作DE垂直于AB于点E，因此E为中点，故，而，故面积最大值为4，答案为D.【题目点拨】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.7、A【解题分析】

根据面面垂直，面面平行的判定定理判断即可得出答案。【题目详解】①若，则在平面内必有一条直线使，又即，则，故正确。②若，且，与可平行可相交，故错误③若，即又，则，故正确④若，且，与可平行可相交，故错误所以①③正确，②④错误故选A【题目点拨】本题考查面面垂直，面面平行的判定，属于基础题。8、D【解题分析】试题分析：因为恒过定点，所以函数恒过定点.故选D.考点：指数函数的性质.9、A【解题分析】

根据的表达式，结合函数的周期性，奇偶性和值域分别进行判断即可得到结论.【题目详解】是周期函数，3是它的一个周期，故①正确.,结合函数的周期性可得函数的值域为，则函数不是偶函数，故②错误.，故在区间内有3个不同的零点，故④错误.故选：A【题目点拨】本题考查了取整函数综合问题，考查了学习综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于难题.10、B【解题分析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差，所以，可能为，的所有可能取值为选.考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】因为圆心在直线上，设圆心，则圆的方程为，设点，因为，所以，化简得，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上，则，即，整理得，由，得，由，得，所以圆心的纵坐标的取值范围是.点睛：本题主要考查了圆的方程，动点的轨迹方程、两圆的位置关系、解不等式等知识的综合运用，着重考查了转化与化归思想和学生的运算求解能力，解答中根据题设条件得到动点的轨迹方程，利用两圆的位置关系，列出不等式上解答的关键.对于直线与圆的位置关系问题，要熟记有关圆的性质，同时注意数形结合思想的灵活运用.12、【解题分析】

根据向量的坐标即可求出，根据向量夹角的公式即可求出．【题目详解】∵，，，，∴，又，∴．故答案为：．【题目点拨】考查向量坐标的数量积运算，向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，属于基础题．13、【解题分析】

实数满足表示点在直线上，可以看作点到原点的距离，最小值是原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式求解.【题目详解】因为实数满足＝1所以表示直线上点到原点的距离，故的最小值为原点到直线的距离，即，故的最小值为1.【题目点拨】本题考查点到点，点到直线的距离公式，此题的关键在于的最小值所表示的几何意义的识别.14、8【解题分析】

先将所求化为M到AB中点的距离的最小值问题，再求得AB中点的轨迹为圆，利用点M到圆心的距离减去半径求得结果.【题目详解】设A、B中点为Q，连接QC，则QC，所以Q的轨迹是以NC为直径的圆，圆心为P（5，0），半径为1，又，即求点M到P的距离减去半径，又，所以，故答案为8【题目点拨】本题考查了向量的加法运算，考查了求圆中弦中点轨迹的几何方法，考查了点点距公式，考查了分析解决问题的能力，属于中档题.15、.【解题分析】

根据三角函数的定义求出的值，然后利用反三角函数的定义得出的值.【题目详解】由三角函数的定义可得，，故答案为.【题目点拨】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值，考查计算能力，属于基础题.16、20【解题分析】

首先根据已知得到：是等差数列，公差，再计算即可.【题目详解】因为，所以数列是等差数列，公差..故答案为：【题目点拨】本题主要考查等差数列的判断和等差数列项的求法，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）弄清题意，将相关数据代入齐奥尔科夫斯基公式：，即可得出各个等级的速度对应的的值；（2）弄清题意与相关名词，火箭起飞质量即为，将公式变形，分离出，解不等式即可得，的最小值为.【题目详解】（1）由题意可得，，，且，，当达到第一宇宙速度时，有，；当达到第二宇宙速度时，有，；当达到第三宇宙速度时，有，.（2）因为希望达到，但火箭起飞质量最大值为，，，即，得，的最小值为比较（1）中当达到第三宇宙速度时，；火箭起飞质量为，此时，达到，但火箭起飞质量最大值为，的最小值为.由以上说明实际意义为：不是火箭的推进剂质量越大，火箭达到的速度越大，当减少推进剂质量，增大火箭发动机喷流相对火箭的速度，同样可以达到想要的速度.【题目点拨】本题是一个典型的数学模型的应用问题，用数学的知识解决实际问题，这类题目关键是弄清题意；建立适当的函数模型进行解答．属于中档题.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）根据所给条件,结合三角函数可先求得.再由即可求得,进而得的值.在中由余弦定理即可求得的值.（2）由（1）可知,而,且E为AB中点,可得,.在可由勾股定理求得,再在由勾股定理求得即可.【题目详解】（1）由,,可知,又,可得,所以.在中,由余弦定理可得,所以；（2）由（1）可知,,又点E为AB中点,可得,,在直角中,,在直角中,,所以.【题目点拨】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,线段关系及勾股定理求线段长的应用,属于基础题.19、（1）400；（2）；（3）【解题分析】

（1）由分层抽样按比例可得；（2）把5个样本编号，用列举法列出任取2辆的所有基本事件，得出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，计数后可得概率．（3）求出，确定事件所含的个数后可得概率．【题目详解】（1）由题意，解得；（2）C类产品中舒适型和标准型产品数量比为，因此5人样品中舒适型抽取了2辆，标准型抽取了3辆，编号为，任取2辆的基本事件有：共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有共7个，所求概率为．（3）由题意，满足的有共6个，函数没有零点，则，解得，再去掉，还有4个，∴所求概率为．【题目点拨】本题考查分层抽样，考查古典概型，解题关键是用列举法写出所有的基本事件．20、（1）；（2）22.【解题分析】

利用向量的三角形法则即可求得答案由，，可得，利用向量的数量积的坐标表示的表达式，利用三角函数知识可求最值【题目详解】(1)=-.(2)∵∠BAC=60°,设∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cosθ=3sinθ+13cosθ+8=14sin(θ+φ)+8,.∴当sin(θ+φ)=1时,的最大值为22.【题目点拨】本题主要考查了三角函数与平面向量的综合，而辅助角公式是解决三角函数的最值的常用方法，体现了转化的思想在解题中的应用．21、（1）见解析；（2）；（3）【解题分析】

试