浙江省杭州七县区2024届数学高一第二学期期末综合测试试题含解析

浙江省杭州七县区2024届数学高一第二学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，⊥底面，且，则此三棱锥外接球的半径为（）A． B． C． D．2．四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（）A． B． C． D．3．已知向量，，若，则（）A． B． C． D．4．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）345.156.1264.04187.51218.01A． B． C． D．5．已知M为z轴上一点，且点M到点与点的距离相等，则点M的坐标为（）A． B． C． D．6．在中，，，成等差数列，，则的形状为（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形7．设，,则的值可表示为（）A． B． C． D．8．某校有高一学生人，高二学生人，高三学生人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A．高一学生被抽到的可能性最大 B．高二学生被抽到的可能性最大C．高三学生被抽到的可能性最大 D．每位学生被抽到的可能性相等9．已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④10．函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知向量、满足，，且，则与的夹角为________.12．若满足约束条件，的最小值为，则________．13．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝_____．14．某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是___15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．16．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设数列的首项，为常数，且（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围.18．已知．（1）求的值：（2）求的值．19．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．（1）求证：//平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．20．已知从甲地到乙地的公路里程约为240（单位：km）.某汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度x（单位：）（）的关系近似符合以下两种函数模型中的一种（假定速度大小恒定）：①，②，经多次检验得到以下一组数据：x04060120Q020（1）你认为哪一个是符合实际的函数模型，请说明理由；（2）从甲地到乙地，这辆车应以多少速度行驶才能使总耗油量最少？21．已知圆心在轴的正半轴上，且半径为2的圆被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设动直线与圆交于两点，则在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

过的中心M作直线,则上任意点到的距离相等，过线段中点作平面，则面上的点到的距离相等，平面与的交点即为球心O，半径，故选D.考点：求解三棱锥外接球问题.点评：此题的关键是找到球心的位置（球心到4个顶点距离相等）.2、A【解题分析】

连接交于点，连接，证明平面，进而可得到即是直线与平面所成角，根据题中数据即可求出结果.【题目详解】连接交于点，因为平面，底面是正方形，所以，，因此平面；故平面；连接，则即是直线与平面所成角，又因，所以，.所以，所以.故选A【题目点拨】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型.3、B【解题分析】

∵，∴.∴，即，∴,，故选B.【考点定位】向量的坐标运算4、A【解题分析】

由表中的数据分析得：自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的单调性，即可得出答案.【题目详解】对于A：函数在是单调递增，且函数值增加速度越来越快，将自变量代入，相应的函数值，比较接近，符合题意，所以正确；对于B：函数值随着自变量增加是等速的，不合题意；对于C：函数值随着自变量的增加比线性函数还缓慢，不合题意；选项D：函数值随着自变量增加反而减少，不合题意.故选:A.【题目点拨】本题考查函数模型的选择和应用问题，解题的关键是掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图像与性质，属于基础题.5、C【解题分析】

根据题意先设，再根据空间两点间的距离公式，得到，再由点M到点与点的距离相等建立方程求解.【题目详解】设根据空间两点间的距离公式得因为点M到点与点的距离相等所以解得所以故选：C【题目点拨】本题主要考查了空间两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6、B【解题分析】

根据等差中项以及余弦定理即可．【题目详解】因为，，成等差数列，得为直角三角形为等腰直角三角形，所以选择B【题目点拨】本题主要考查了等差中项和余弦定理，若为等差数列，则，属于基础题．7、A【解题分析】

由，可得到，然后根据反余弦函数的图象与性质即可得到答案.【题目详解】因为，所以，则.故选：A【题目点拨】本题主要考查反余弦函数的运用，熟练掌握反余弦函数的概念及性质是解决本题的关键.8、D【解题分析】

根据分层抽样是等可能的选出正确答案.【题目详解】由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D.【题目点拨】本小题主要考查随机抽样的公平性，考查分层抽样的知识，属于基础题.9、C【解题分析】

①，为“保比差数列函数”；②，为“保比差数列函数”；③不是定值，不是“保比差数列函数”；④，是“保比差数列函数”，故选C.考点：等差数列的判定及对数运算公式点评：数列，若有是定值常数，则是等差数列10、B【解题分析】

根据最小正周期为求解与解析式,再求解的对称轴判断即可.【题目详解】因为最小正周期为,故.故,对称轴方程为,解得.当时,.故选：B【题目点拨】本题主要考查了三角函数最小正周期的应用以及对称轴的计算.属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

直接应用数量积的运算，求出与的夹角．【题目详解】设向量、的夹角为；∵，∴，∵，∴.故答案为：．【题目点拨】本题考查向量的夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.12、4【解题分析】

由约束条件得到可行域，取最小值时在轴截距最小，通过直线平移可知过时，取最小值；求出点坐标，代入构造出方程求得结果.【题目详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：取最小值时，即在轴截距最小平移直线可知，当过点时，在轴截距最小由得：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查现行规划中根据最值求解参数的问题，关键是能够明确最值取得的点，属于常考题型.13、【解题分析】

用余弦定理求出边的值，再用面积公式求面积即可．【题目详解】解：据题设条件由余弦定理得，即，即解得，故的面积，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题．14、6【解题分析】

先作出几何体图形，再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算.【题目详解】几何体如图所示：去掉的三棱柱的高为2，底面面积是正方体底面积的，所以三棱柱的体积：所以几何体的体积：【题目点拨】本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形，方法：先作出正方体的图形，再根据三视图“切”去多余部分.15、【解题分析】由三视图知该几何体是一个半圆锥挖掉一个三棱锥后剩余的部分，如图所示，所以其体积为.点睛：求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.16、1．98.【解题分析】

本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【题目详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为11+21+11=41，所以该站所有高铁平均正点率约为．【题目点拨】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）是公比为的等比数列，理由见解析；（2）【解题分析】

（1）由，当时，，即可得出结论．（2）由（1）可得：，可得，，可得，，即可得出．【题目详解】（1），则时，，时，为等比数列，公比为．（2）由（1）可得：，只需，（）当为奇数时，恒成立，又单减，∴当为偶数时，恒成立，又单增，∴．【题目点拨】本题考查等比数列的定义通项公式与求和公式及其单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题．18、（1）；（2）【解题分析】

(1)利用平方关系、诱导公式以及诱导公式即可求解;(2)利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式化简即可求值.【题目详解】（1）因为且所以；（2）．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的化简与求值，关键是利用诱导公式、同角三角函数的基本关系以及辅助角公式来求解，属于中档题.19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）连接交于点，则为的中点，由中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；（2）取的中点，连接，由中位线的性质得到，且，可得出平面，于此得出直线与平面所成的角为，然后在中计算即可.【题目详解】（1）连接，交于点，连接，由底面是菱形，知是的中点，又是的中点，∴.又∵平面，平面,∴平面；（2）取中点，连接，∵分别为的中点，∴，∵平面，∴平面，∴直线与平面所成角为，∵，，∴.【题目点拨】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的计算，在计算直线与平面所成角时，要注意过点作平面的垂线，构造出直线与平面所成的角，再选择合适的直角三角形求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．20、（1）选择模型①，见解析；（2）80.【解题分析】

（1）由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，即可判断选择；（2）将，代入函数型①，可得出的值，进而可得出总耗油量关于速度的函数关系式，进而得解.【题目详解】（1）选择模型①理由：由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，而函数模型②为一个单调递减函数，故选择模型①.（2）将，代入函数型①，可得：，则，总耗油量：，当时，W有最小值30.甲地到乙地，这辆车以80km/h的速度行驶才能使总耗油量最少.【题目点拨】本题考查函数模型的实际应用，考查逻辑思维能力，考查实际应用能力，属于常考题.21、（1）（2）当点为时，直线与直线关于轴对称，详见解析【解题分析】

（1）设圆的方程为，由垂径定理求得弦长，再由弦长为可求得，