北京二十中2024届数学高一下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

北京二十中2024届数学高一下期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．不等式的解集是()A． B． C． D．2．某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A．420人 B．480人 C．840人 D．960人3．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”4．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以为直径作两个半圆，在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A． B． C． D．5．球是棱长为的正方体的内切球，则这个球的体积为（）A． B． C． D．6．设变量满足约束条件：，则的最小值（）A． B． C． D．7．设为数列的前项和，，则的值为（）A． B． C． D．不确定8．某快递公司在我市的三个门店，，分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店，与门店都相距，而门店位于门店的北偏东方向上，门店位于门店的北偏西方向上，则门店，间的距离为（）A． B． C． D．9．如图所示，向量，则（）A． B． C． D．10．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．等比数列前n项和为，若，则______.12．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．13．有一个底面半径为2，高为2的圆柱，点，分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点或的距离不大于1的概率是________.14．设向量，且，则__________．15．已知无穷等比数列的所有项的和为，则首项的取值范围为_____________.16．已知数列前项和，则该数列的通项公式______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求过点且与圆相切的直线方程.18．已知函数的最小正周期为.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象.（1）求的值及函数的解析式；（2）求的单调递增区间及对称中心19．选修4-5：不等式选讲已知函数，M为不等式的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b时，.20．某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？21．已知且，比较与的大小.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

分解因式，即可求得.【题目详解】进行分解因式可得：，故不等式解集为：故选：A.【题目点拨】本题考查一元二次不等式的求解，属基础知识题.2、C【解题分析】

先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【题目详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C【题目点拨】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.3、C【解题分析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.4、A【解题分析】试题分析：设扇形半径为，此点取自阴影部分的概率是，故选B.考点：几何概型.【方法点晴】本题主要考查几何概型，综合性较强，属于较难题型.本题的总体思路较为简单：所求概率值应为阴影部分的面积与扇形的面积之比．但是，本题的难点在于如何求阴影部分的面积，经分析可知阴影部分的面积可由扇形面积减去以为直径的圆的面积，再加上多扣一次的近似“椭圆”面积．求这类图形面积应注意切割分解，“多还少补”.5、A【解题分析】

棱长为的正方体的内切球的半径，由此能求出其体积．【题目详解】棱长为的正方体的内切球的半径＝＝1，体积．故选：A．【题目点拨】本题考查了正方体的内切球的性质和应用，属于基础题．6、D【解题分析】

如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，当经过A时，的最小值为-8，故选D.7、C【解题分析】

令，由求出的值，再令时，由得出，两式相减可推出数列是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出的值.【题目详解】当时，，得；当时，由得出，两式相减得，可得.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，.故选：C.【题目点拨】本题考查利用前项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及与时，可利用公式求解出，也可以转化为来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8、C【解题分析】

根据题意，作出图形，结合图形利用正弦定理，即可求解，得到答案.【题目详解】如图所示，依题意知，，，由正弦定理得：，则.故选C.【题目点拨】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答中根据题意作出图形，合理使用正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、A【解题分析】

根据平面向量的加法的几何意义、平面向量的基本定理、平面向量数乘运算的性质，结合进行求解即可.【题目详解】.故选：A【题目点拨】本题考查了平面向量基本定理及加法运算的几何意义，考查了平面向量数乘运算的性质，属于基础题.10、A【解题分析】由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B，应选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据等比数列的性质得到成等比，从而列出关系式，又，接着用表示，代入到关系式中，可求出的值.【题目详解】因为等比数列的前n项和为，则成等比，且，所以，又因为，即，所以，整理得.故答案为：.【题目点拨】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。解决本题的关键是根据等比数列的性质得到成等比.12、【解题分析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：，则圆的方程为.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．13、【解题分析】

本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点到点，的距离不大于1的概率；【题目详解】解：由题意可知，点P到点或的距离都不大于1的点组成的集合分别以、为球心，1为半径的两个半球，其体积为，又该圆柱的体积为，则所求概率为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．关键是明确满足题意的测度为体积比．14、【解题分析】因为，所以，故答案为.15、【解题分析】

设等比数列的公比为，根据题意得出或，根据无穷等比数列的和得出与所满足的关系式，由此可求出实数的取值范围.【题目详解】设等比数列的公比为，根据题意得出或，由于无穷等比数列的所有项的和为，则，.当时，则，此时，；当时，则，此时，.因此，首项的取值范围是.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用无穷等比数列的和求首项的取值范围，解题的关键就是结合题意得出首项和公比的关系式，利用不等式的性质或函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16、【解题分析】

由，n≥2时，两式相减，可得{an}的通项公式；【题目详解】∵Sn＝2n2（n∈N*），∴n＝1时，a1＝S1＝2；n≥2时，an＝Sn﹣＝4n﹣2，a1＝2也满足上式，∴an＝4n﹣2故答案为【题目点拨】本题考查数列的递推式，考查数列的通项，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、直线方程为或【解题分析】

当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由圆心到直线的距离等于半径，可解出的值，从而求出方程。【题目详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，经检验，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离等于半径，即，可解得.即直线为.综上，所求直线方程为或.【题目点拨】本题考查了圆的切线的求法，考查了直线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于基础题。18、（1），；（2）单调递增区间为，，对称中心为.【解题分析】

（1）整理可得：，利用其最小正周期为即可求得：，即可求得：，再利用函数图象平移规律可得：，问题得解.（2）令，，解不等式即可求得的单调递增区间；令，，解方程即可求得的对称中心的横坐标，问题得解.【题目详解】解：（1），由,得.所以.于是图象对应的解析式为.（2）由,得，所以函数的单调递增区间为，.由，解得.所以的对称中心为.【题目点拨】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题。19、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解题分析】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．试题解析：（I）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而，因此【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．20、（1），（2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元【解题分析】

（1）运用等差数列前项和公式可以求出年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值.【题目详解】解：（1）由题意知，年总收入为万