2024届山东省青岛市城阳区数学高一第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届山东省青岛市城阳区数学高一第二学期期末联考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A．1 B．4C．2 D．2．若函数（）有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知实数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．4．已知平面向量，，，，在下列命题中：①存在唯一的实数，使得；②为单位向量，且，则；③；④与共线，与共线，则与共线；⑤若且，则.正确命题的序号是()A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③5．三棱锥中，平面且是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A． B． C． D．6．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（）A． B．C． D．7．英国数学家布鲁克泰勒（TaylorBrook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（

）其中，，例如：．试用上述公式估计的近似值为（精确到0.01）A．0.99 B．0.98 C．0.97

D．0.968．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围（）A． B．C． D．9．如图，在矩形中，，,点为的中点，点在边上，点在边上，且，则的最大值是()A． B． C． D．10．在中，，，分别是角，，的对边，且满足，那么的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在等比数列中，，公比，若，则达到最大时n的值为____________．12．已知数列满足，若，则的所有可能值的和为______；13．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．14．已知，，则当最大时，________.15．已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．16．设，向量，，若，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角A,B,C，的对应边分别为，且.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若的面积为，，D为AC的中点，求BD的长．18．在中，角的对边分别是，已知，，.(1)求的值；(2)若角为锐角，求的值及的面积.19．已知数列中，，．（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，求证．20．已知向量，，函数.（1）若且，求；（2）求函数的最小正周期T及单调递增区间.21．已知，且（1）求的值；（2）求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】试题分析：由题意得，根据等比数列的性质可知，又因为，故选C．考点：等比数列的性质．2、A【解题分析】

函数（）有两个不同的零点等价于函数在均有一个解，再解不等式即可.【题目详解】解：因为，由函数（）有两个不同的零点，则函数在均有一个解，则，解得：，故选：A.【题目点拨】本题考查了分段函数的零点问题，重点考查了分式不等式的解法，属中等题.3、A【解题分析】

由原式，明显考查斜率的几何意义，故上下同除以得，再画图分析求得的取值范围，再用基本不等式求解即可．【题目详解】所求式，上下同除以得，又的几何意义为圆上任意一点到定点的斜率，由图可得，当过的直线与圆相切时取得临界条件．当过坐标为时相切为一个临界条件，另一临界条件设，化成一般式得，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离，所以，，解得，故．设，则，又，故，当时取等号．故，故选A．【题目点拨】本题主要考查斜率的几何意义，基本不等式的用法等．注意求斜率时需要设点斜式，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得斜率，在用基本不等式时要注意取等号的条件．4、D【解题分析】

分别根据向量的平行、模、数量积即可解决。【题目详解】当为零向量时不满足，①错；当为零向量时④错，对于⑤：两个向量相乘，等于模相乘再乘以夹角的余弦值，与有可能夹角不一样或者的模不一样，两个向量相等要保证方向、模都相同才可以，因此选择D【题目点拨】本题主要考查了向量的共线，零向量。属于基础题。5、C【解题分析】根据已知中底面是边长为的正三角形，，平面，可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球

∵是边长为的正三角形，∴的外接圆半径球心到的外接圆圆心的距离故球的半径故三棱锥外接球的表面积故选C．6、D【解题分析】

根据正四棱锥的特征直接判定即可.【题目详解】正四棱锥俯视图可以看到四条侧棱与顶点,且整体呈正方形.故选：D【题目点拨】本题主要考查了正四棱锥的俯视图,属于基础题.7、B【解题分析】

利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案．【题目详解】由题设中的余弦公式得，故答案为B【题目点拨】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8、B【解题分析】

利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【题目详解】由直线的方程为，所以，即直线的斜率，由.所以，又直线的倾斜角的取值范围为，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.故选：B【题目点拨】本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系，同时考查了正弦函数的值域以及正切函数的性质，属于基础题.9、A【解题分析】

把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值.【题目详解】设，，，，，，，，，，的最大值是.故选A.【题目点拨】本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.10、C【解题分析】

由正弦定理，可得,.，或，或，即或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故选C.考点：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、7【解题分析】

利用，得的值【题目详解】因为，，所以为7.故答案为：7【题目点拨】本题考查等比数列的项的性质及单调性，找到与1的分界是关键，是基础题12、36【解题分析】

根据条件得到的递推关系，从而判断出的类型求解出可能的通项公式，即可计算出的所有可能值，并完成求和.【题目详解】因为，所以或，当时，是等差数列，，所以；当时，是等比数列，，所以，所以的所有可能值之和为：.故答案为：.【题目点拨】本题考查等差和等比数列的判断以及求数列中项的值，难度一般.已知数列满足(为常数)，则是公差为的等差数列；已知数列满足，则是公比为的等比数列.13、【解题分析】

将所有的基本事件全部列举出来，确定基本事件的总数，并确定所求事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出答案．【题目详解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口区调研的专家），共个，因此，所求的事件的概率为，故答案为．【题目点拨】本题考查古典概型概率的计算，解决这类问题的关键在于确定基本事件的数目，一般利用枚举法和数状图法来列举，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题．14、【解题分析】

根据正切的和角公式，将用的函数表示出来，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的，再用倍角公式即可求解.【题目详解】故可得则当且仅当，即时，此时有故答案为：.【题目点拨】本题考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.15、或【解题分析】

利用切线长最短时，取最小值找点：即过圆心作直线的垂线，求出垂足点．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程．【题目详解】设切线长为，则，所以当切线长取最小值时，取最小值，过圆心作直线的垂线，则点为垂足点，此时，直线的方程为，联立，得，点的坐标为.①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，圆心到该直线的距离为，合乎题意；②若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.由题意可得，化简得，解得，此时，所求切线的方程为，即.综上所述，所求切线方程为或，故答案为或．【题目点拨】本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题．16、【解题分析】从题设可得，即，应填答案．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；(II)【解题分析】

（I）由正弦定理得，展开结合两角和的正弦整理求解；（Ⅱ）由面积得，利用平方求解即可【题目详解】（I），由正弦定理得整理得，则，，.(II)，，两边平方得【题目点拨】本题考查正弦定理及两角和的正弦，三角形内角和定理，考查向量的数量积及模长，准确计算是关键，是中档题18、(1)；(2)，.【解题分析】试题分析：（1）根据题意和正弦定理求出a的值；

（2）由二倍角的余弦公式变形求出，由的范围和平方关系求出，由余弦定理列出方程求出的值，代入三角形的面积公式求出的面积．试题解析：(1)因为，，由正弦定理，得.(2)因为，且，所以，.由余弦定理，得，解得或(舍)，所以.19、（1）证明见解析；；（2）【解题分析】

（1）先证明数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而，由此能求出的通项公式；（2）由（1）推导出，从而，利用错位相减法求和，利用放缩法证明．【题目详解】由，，得，，数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而，数列满足，，，，两式相减得：，，，【题目点拨】本题主要考查等比数列的定义、通项公式与求和公式，以及错位相减法的应用，是中档题．一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解,在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.20、（1）（2）最小正周期，的单调递增区间为：.【解题分析】

（1）计算平面向量的数量积得出函数的解析式，求出时的值；（2）根据的解析式，求出它的最小正周期T及单调递增区间.【题目详解】函数时，，解得又；（2）函数它的最小正周期：令故：的单调递增区间为：【题目点拨】本题考查了正弦型函数的性质，考查了学生综合分析，转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.21、（1）；（2）.【解题分析