云南省富源县第六中学2024届高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析

云南省富源县第六中学2024届高一数学第二学期期末联考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中，，则（）A． B． C．或 D．02．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A．4 B．5 C．8 D．93．已知函数，若存在满足，且，则n的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．若，，则方程有实数根的概率为（）A． B． C． D．5．已知、都是单位向量，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．6．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A． B．C．或 D．或7．某种产品的广告费用支出与销售额之间具有线性相关关系，根据下表数据（单位：百万元)，由最小二乘法求得回归直线方程为.现发现表中有个数据看不清，请你推断该数据值为（)345582834★5672A．65 B．60 C．55 D．508．若，，则()A． B． C． D．9．如图，A，B是半径为1的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为.图中△PAB的面积的最大值为（）A．+sin2 B．sin+sin2C．+sin D．+cos10．已知数列的通项公式是，则等于（）A．70 B．28 C．20 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．记，则函数的最小值为__________．12．在中，角的对边分别为，若面积，则角__________．13．已知数列的前n项和为，，且（），记（），若对恒成立，则的最小值为__．14．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则_____．15．函数在区间上的最大值为，则的值是_____________.16．已知、、分别是的边、、的中点，为的外心，且，给出下列等式：①；②；③；④其中正确的等式是_________（填写所有正确等式的编号）.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中，每一行的第一个数，，，，…构成等差数列，是的前n项和，且，（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知，求的值；（2）设，对任意，求及的最大值．18．已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．（1）求圆的方程；（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．19．设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20．已知圆经过、、三点．（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦的长为，求直线的倾斜角．21．已知向量，.求：（1）；（2）与的夹角的余弦值；（3）求的值使与为平行向量.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

根据正弦定理把角化为边，可得，然后根据余弦定理，可得，最后使用余弦定理，可得结果.【题目详解】由，所以，即由，又所以，则故，又故选：D【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题.2、B【解题分析】

由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．【题目详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：，又，可得，故选B．【题目点拨】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.3、D【解题分析】

根据正弦函数的性质，对任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，因此要使得满足条件的n最小，则尽量让更多的取值对应的点是最值点，然后再对应图象取值.【题目详解】，因为正弦函数对任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，要使n取得最小值，尽可能多让（i=1，2，3，…，n）取得最高点，因为，所以要使得满足条件的n最小，如图所示则需取，，，，，，即取，，，，，，即．故选：D【题目点拨】本题主要考查正弦函数的图象，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.4、B【解题分析】方程有实数根，则：，即：，则：，如图所示，由几何概型计算公式可得，满足题意的概率值为：.本题选择B选项.5、B【解题分析】

由、都是单位向量，由向量的数量积和共线的定义可判断出正确选项.【题目详解】由、都是单位向量，所以.设、的夹角为.则，所以A，D不正确.当时，、同向或反向，所以C不正确.,所以B正确.故选：B【题目点拨】本题考查了单位向量的概念，属于概念考查题，应该掌握．6、C【解题分析】

设过点A(4，1)的直线方程为y-1=k(x-4)(k≠0),令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=,∴所求直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.故选C.7、B【解题分析】

求出样本中心点的坐标，代入线性回归方程求解．【题目详解】设表中看不清的数据为，则，，代入，得，解得．故选：．【题目点拨】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．8、B【解题分析】

利用诱导公式得到的值，再由同角三角函数的平方关系，结合角的范围，即可得答案.【题目详解】∵，又，∴.故选：B.【题目点拨】本题考查诱导公式、同角三角函数的平方关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意符号问题.9、B【解题分析】

由正弦定理可得，，则，，当点在的中垂线上时，取得最大值，此时的面积最大，求解即可.【题目详解】在中，由正弦定理可得，，则.，当点在的中垂线上时，取得最大值，此时的面积最大.取的中点，过点作的垂线，交圆于点，取圆心为，则（为锐角），.所以的面积最大为.故选B.【题目点拨】本题考查了三角形的面积的计算、正弦定理的应用，考查了三角函数的化简，考查了计算能力，属于基础题.10、C【解题分析】

因为，所以，所以=20.故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解题分析】

利用求解.【题目详解】，当时，等号成立.故答案为：4【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12、【解题分析】

根据面积公式计算出的值，然后利用反三角函数求解出的值.【题目详解】因为，所以，则，则有：.【题目点拨】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.13、【解题分析】

,即为首项为，公差为的等差数列，，，，由得，因为或时，有最大值，，即的最小值为，故答案为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.14、【解题分析】

把方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）＝0化为x2﹣2x+m＝0，或x2﹣2x+n＝0，设是第一个方程的根，代入方程即可求得m，则方程的另一个根可求；设另一个方程的根为s，t，（s≤t）根据韦达定理可知∴s+t＝2根据等差中项的性质可知四个跟成的等差数列为，s，t，，进而根据数列的第一项和第四项求得公差，则s和t可求，进而根据韦达定理求得n，最后代入|m﹣n|即可．【题目详解】方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）＝0可化为x2﹣2x+m＝0①，或x2﹣2x+n＝0②，设是方程①的根，则将代入方程①，可解得m，∴方程①的另一个根为．设方程②的另一个根为s，t，（s≤t）则由根与系数的关系知，s+t＝2，st＝n，又方程①的两根之和也是2，∴s+t由等差数列中的项的性质可知，此等差数列为，s，t，，公差为[]÷3，∴s，t，∴n＝st∴|m﹣n|＝||．故答案为【题目点拨】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生创造性思维和解决问题的能力．15、【解题分析】

利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，及函数在上的最大值为1，易求出的值．【题目详解】函数又函数在上的最大值为1，≤0，又,且在上单调递增，所以即．故答案为：【题目点拨】本题考查的知识点是三角函数的最值，其中利用同角三角函数平方关系，将函数化为二次型的函数，是解答本题的关键，属于中档题．16、①②④.【解题分析】

根据向量的中点性质与向量的加法运算,可判断①②③.【题目详解】、、分别是的边、、的中点,为的外心,且,设三条中线交点为G,如下图所示:对于①,由三角形中线性质及向量加法运算可知,所以①正确;对于②,,所以②正确;对于③,,所以③错误;对于,由外心性质可知,所以故正确.综上可知,正确的为①②④.故答案为:①②④.【题目点拨】本题考查了向量的线性运算,三角形外心的性质及应用,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2),.【解题分析】

（1）先求出的通项公式，再计算等比数列的公比，最后得到.（2）先计算,再利用裂项求和计算得到，设函数，通过均值不等式得到答案.【题目详解】（1）为等差数列，设公差为，，，，，.设从第3行起，每行的公比都是q，且，，，，，故是数阵中第10行第5个数，而.（2），.设：（当且仅当时，等号成立）时，（其他方法酌情给分）【题目点拨】本题考查了等差数列等比数列，裂项求和，均值不等式，综合性强，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.18、（1）（2）或（3）【解题分析】

试题分析：(1)借助题设条件直接求解；(2)借助题设待定直线的斜率,再运用直线的点斜式方程求解；(3)借助题设建立关于的不等式,运用分析推证的方法进行求解.试题解析：（1）的面积为2；（2）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，圆的方程为，设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以.当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或.（3）直线的方程为，设，，因为点是线段的中点，所以，又，都在半径为的圆上，所以因为关于，的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以，又，所以对成立.而在上的值域为，所以且.又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故圆的半径的取值范围为.考点：直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（1）本题是一个古典概型，可知基本事件共12个，方程当时有实根的充要条件为，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到事件发生的概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为，．构成事件的区域为，，．根据几何概型公式得到结果．【题目详解】解：设事件为“方程有实数根”．当时，方程有实数根的充要条件为．（Ⅰ）基本事件共12个：．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．（Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为．构成事件的区域为，所求的概率为【题目点拨】本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，属于基础题．20、（1）；（2）或.【解题分析】

（1）设出圆的一般方程，然后代入三个点的坐标，联立方程组可解得；（2）讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线的距离和勾股定理列式可得直线的倾斜角．【题目详解】（1）设圆的一般方程为，将点、、的坐标代入圆的方程得，解得，所以，圆的一般方程为，标准方程为；（2）设圆心到直线的距离为，则.①当直线的斜率不存在时，即直线到圆心的距离为，满足题意，此时直线的倾斜角为；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时，直线的倾斜角为.综上所述，直线的倾斜角为或.【题目点拨】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用直线