河工大控制教研组自控课件三章

第三章线性控制系统的时域分析3.1引言3.2典型输入信号3.3控制系统的时域响应及性能指标3.4一阶系统时域响应3.5二阶系统时域响应3.6高阶系统时域响应3.7线性定常系统的稳定性与劳斯稳定判据3.8控制系统的稳态误差分析及计算3.1引言对于线性系统，常用的性能分析方法有三种：时域法；根轨迹法；频率特性法。时域法的特点

时域法是最基本的分析方法,

是学习复域法、频域法的基础。

(1)直观，准确；(2)可以提供系统时间响应的全部信息；(3)求解系统输出的解析解，比较烦琐,适用于低阶系统。

时域分析法：在某种典型输入信号作用下，根据系统微分方程，利用拉氏变换直接求出系统的时间响应，然后按照响应曲线来分析系统的性能

控制系统(微分方程)C(s)拉氏变换输出响应稳定性准确性(稳态误差)暂态性典型输入c(t)定理系统输出误差传函3.2典型输入信号典型的输入信号有5种：阶跃函数；斜坡函数；抛物线函数；脉冲函数；正弦函数典型输入信号的特点：数学表达简单，便于分析和处理，易于实验室获得一、阶跃函数A为常量，A=1称为单位阶跃函数1(t)表达式：拉氏变换：作用：考查系统对于恒值信号跟踪能力二、斜坡函数A为常量，A=1称为单位斜坡函数。表达式：拉氏变换：作用：考查系统对于等速度信号跟踪能力A为常量，A=1/2时称为单位抛物线函数。三、抛物线函数表达式：拉氏变换：作用：考查系统对于等加速信号跟踪能力四、脉冲函数表达式：拉氏变换：ε

0称为单位脉冲函数，记为作用：考查系统在脉冲扰动后的复位运动A为常数五、正弦信号表达式：

分析一个实际系统时采用哪种信号，要根据系统的实际输入信号而定。作用：用来求取频率响应拉氏变换：3.3控制系统的时域响应及性能指标求解微分方程的方法有经典法，拉氏变换法和数值求解对于线性定常系统，输入为r(t)，输出为c(t)用微分方程描述如下：系统的时域响应：求解一定输入作用下，微分方程的解一、控制系统的时域响应控制系统的时域响应：使用拉氏变换法，研究初状态为零的系统，在典型输入作用R(s)下，输出量c(t)随时间的动态变化过程[拉氏变换求微分方程解的步骤]：①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为

s域的代数方程②由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式C(s)③对上式进行部分分式展开，并求待定系数④查拉氏变换表，得到各部分分式对应的原函数系统的输出：2)初状态为零时，系统的传递函数为设线性定常系统的微分方程是：1)一般形式：

为的极点，为的极点。3)部分分式展开(3-2-13)c(t)时域响应：暂态过程：从初始态到接近稳态的输出过程ct(t)稳态过程：t趋于无穷大时的输出过程cs(t)Cct(t)

暂态过程cs(t)稳态过程4）如果和是互异的，那么系统的响应为部分分式展开(3-2-14)二、控制系统的时域性能指标通常以系统单位阶跃1(t)输入时的响应c(t)来定义时域性能指标暂态性能指标稳态性能指标c(t)时域响应：Cct(t)暂态过程cs(t)稳态过程1）暂态性能指标

最大超调量

:输出量的最大值超过稳态值的百分数。快速性△上升时间tr：输出第一次达到稳态值所需要的时间

峰值时间tp：对应于最大超调量发生的时间调整时间ts：输出响应曲线达到并保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带）所需要的时间。△=±0.02或±0.05延迟时间td:

输出第一次达到50％输出稳态值所需的时间。系统误差e(t)=r(t)-c(t)△2）稳态性能指标:

稳态误差esr稳态误差3.4一阶系统的时域响应分析系统在典型输入信号R(s)的响应一阶系统的框图如下st1R(s))(sC-

(3-4-1)系统的闭环传函为

——时间常数１．单位阶跃响应τ2τ3τ4τ

0.9820.9500.8650t10.632斜率=（1）由cs(t)=1和ct(t)=-e两部分组成-t/

当时，当时，（2）是一单调上升的指数曲线，随着时间的增加趋于稳态值，它的特点是c(t)的输出：

1)快速性：阶跃响应无超调量，主要以ts来衡量。

ts=3

（△=±0.05）

ts=4

（△=±0.02）（※）因此，

越小，系统过渡时间就越短。2）t=

，2

，3,4时，输出分别达到稳态值的0.632，0.865，0.95，0.981)t＝0时，响应曲线的切线斜率为1/

,切线与稳态值的交点处的t=

。性能指标τ2τ3τ4τ

0.980.950.8650t10.632斜率=τ2τ3τ4τ

0.980.950.8650t10.632斜率=

2)平稳性：非周期、无振荡、无超调量，平稳性好3)准确性：输出与输入的稳态误差举例说明（一阶系统）解：系统闭环传函s1R(s))(sC-

K一阶系统如图所示，试求：1）当K＝1时，求系统单位阶跃响应的调节时间ts，2）如果要求ts≤1秒，试问系统的K应调整为何值？

系统时间常数

=1/K，则系统阶跃响应调节时间tsts=3=3s（△=±0.05）ts=4=4s（△=±0.02）∵ts=3

≤

1s∴K≥3

ts=4≤1s∴K≥42．单位脉冲响应：系统在脉冲扰动后的复位运动-t/

;当时，当时，由cs(t)=0和ct(t)=1/

e两部分组成。98%95%86.5%0

2

3

4

t63.2%0.368/

0.145/

0.05/

1/

0.02/

c(t)的输出：是一单调下升的指数曲线结论：一阶系统在脉冲扰动作用下，可以在ts=（3-4）

内将扰动的影响衰减到允许误差之内。0.02/

98%95%86.5%0

2

3

4

t63.2%0.368/

0.145/

0.05/

1/

ts系统在脉冲扰动后的复位过渡时间ts=3

（△=±0.05）ts=4

（△=±0.02）性能指标

:快速性

t=3,4时，输出分别达到初始值的0.95，0.983．单位斜坡响应c(t)c(t)的输出：是一单调上升的曲线由cs(t)=t-

和ct(t)=

e两部分组成。-t/

当时，当时，输出与输入的误差为

结论：一阶系统可以跟踪斜坡信号，但只能实现有差跟踪，稳态误差，可以通过减小来减小差值，但不能消除它。c(t)性能指标

:准确性稳态误差稳态误差趋于

，

越小，稳态误差越小仅有一个特征参量

——时间常数；可以跟踪阶跃信号，使系统的输出在ts=（3-4）

内，平稳的达到稳态值；在脉冲扰动作用下，可以在ts=（3-4）

内将扰动的影响衰减到允许误差之内；可以跟踪斜坡信号，但只能实现有差跟踪，稳态误差

，可以通过减小来减小差值，但不能消除它。由上面分析可知，一阶系统3.5二阶系统的时域响应自动控制理论用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统♤二阶系统在工程中比较常见，其响应特性常被视为一种基准♤许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究因此研究二阶系统具有很重要的意义典型二阶系统框图二阶系统的时域响应

——阻尼比

——无阻尼自然振荡角频率

（3-5-2)令记注意：当

不同时，极点有不同的形式，其单位阶跃响应c(t)

的形式也不同。图3-5-2令二阶系统特征方程得，特征方程的根(系统的闭环极点）（3-5-3)称为阻尼振荡角频率

j实际中无法使用一．二阶系统的单位阶跃响应系统的C(s)求出A0，A1，A2系统的c(t)１．过阻尼

当t=0时，c(t)=0；当t→∞时，c(t)→1由cs(t)=1

和ct(t)=

两部分组成。不振荡暂态过程长c(t)1tsc(t)的输出：与一阶系统类似：不振荡，单调上升的曲线与一阶系统区别：初始斜率为0，暂态过程长非周期、无振荡、无超调量，平稳性好不振荡暂态过程长c(t)1ts2）准确性：性能指标：3）快速性：调节时间ts1)平稳性：离虚轴近的极点s1对响应产生的影响大离虚轴远的极点s2对响应产生的影响小

当s2>>s1→>>1,s2甚至可以忽略不计，在工程上，时，使用上述近似式已有足够的准确度

s2极点离虚轴远，衰减速度快，s1极点离虚轴近，衰减速度慢；近似为一阶系统二阶系统的ts可估计为

（△=±0.05）（△=±0.02）2.临界阻尼不振荡c(t)1系统的C(s)系统的c(t)cs(t)=1

和ct(t)=

当t=0时，c(t)=0；当t→∞时，c(t)→1c(t)的输出：与过阻尼二阶系统类似：不振荡，初始斜率为0，单调上升的曲线与过阻尼二阶系统区别：暂态过程较短性能指标：不振荡c(t)11)平稳性：非周期、无振荡、无超调量，平稳性好2）快速性：调节时间ts3）准确性：1)横坐标2)纵坐标图中参量说明：3)极点到原点距离3．欠阻尼（）称为阻尼振荡角频率S2S1abc0由

决定，与wn

无关，

称为二阶系统的阻尼角S2S1abc04)求

以坐标原点为圆心，以s1点的射线长为半径画的圆弧上有相同的wn

,此圆弧称为等自然振荡角频率线6)等自然振荡角频率线（等wn

线）

从坐标原点到s1射线上的每一点都有相同的

值，称为等阻尼线5)等阻尼线（等

线）等线S1等wn

线系统的c(t)欠阻尼下，系统的C(s)阻尼角系统的c(t)(3-5-15)取sin项为±1c(t)的包络线为欠阻尼时，系统的阶跃响应的第一项是稳态分量，第二项暂态分量（振幅按指数规律衰减的阻尼正弦振荡），其振荡频率为阻尼振荡频率阻尼角为由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状态。经典控制理论将临界稳定系统划归为不稳定的范畴。曲线是等幅振荡的，超调量为100％，振荡频率为wn

从图可见：１）

越小，振荡越厉害，当

增大到１以后，曲线变为单调上升;２）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应;３）

＝0.5－0.8之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值;阻尼比为0.707称为最佳阻尼比；４）过阻尼系统反应迟钝，动作很缓慢不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响应曲线图

工程上，一般的控制系统大都设计成欠阻尼系统，阻尼比一般取0.5－0.8二．欠阻尼下（0<<1)二阶系统暂态响应性能指标暂态响应指标tr、tp、Mp、ts与二阶系统的特征参量

和wn的关系trtp、Mptsc(t)的包络线1.上升时间tr:在暂态过程中，c(t)第一次达到稳态值的时间．则必有可得因为上升时间是第一次达到稳态值的时间，故取n=1,于是(3-5-16)记令２．峰值时间tp:响应由零上升到第一个峰值所需的时间．到达第一个峰值时

移项后得在c(t)达到最大值时，有(3-5-17)记3．最大超调量Mp最大超调量发生在t=tp时刻而(3-5-18)记得将代入４．调整时间

与稳态值之间的差值达到允许误差带△（取±0.02或±0.05）范围时所需要的时间。Δ用包络线代替实际响应来估算调节时间。取sin项为±1当ts≈t’s时，有：

§３－３二阶系统的时域响应由此可求得Δ若△=±0.05若△=±0.02近似与成反比记如何选取

和ωn使系统满足设计要求：1）Mp只由

决定，

越小，Mp

越大。所以，一般根据Mp

的要求选择

值(实际系统中，

值一般在0.5-0.8之间)小结欠阻尼二阶系统瞬态响应性能完全取决于

和ωn

。2)可通过ωn的选取来满足各种时间性能指标的要求增大ωn

，能使tr，tp和ts都减少。不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响应曲线图

tr(s)tp(s)Mp(%)ts(s)(=0.05)

>1__0

=1__00<

<1三、二阶系统举例例1：试画出对应于下列每一技术要求的二阶系统在s平面上的区域。解：2jw

[s]

1

1600450

2

2

例2：

设位置随动系统，其结构图如图所示，给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益K＝13.5,59.2,200，1500时，输出响应特性的性能指标：上升时间tr,峰值时间tp，调节时间ts和超调量Mp，并分析比较之。(=0.05))5.34(5+ssKRC例题2解析输入：单位阶跃系统的闭环传递函数)5.34(5+ssKRC例题2解析当K＝13.5时系统的闭环传递函数：无与标准的二阶系统传递函数对照得：例题2解析当K＝59.2时系统的闭环传递函数：无与标准的二阶系统传递函数对照得：例题2解析当K＝200时系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：例题2解析当K＝1500时系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：暂态性能指标随K变化的情况K

n(s-1)

tr(s)tp(s)Mp(%)ts(s)(=0.05)13.58.212.1__01.4459.217.21__00.2820031.60.5450.080.12130.17150086.60.20.020.03752.70.172）改变K值，系统处于不同阻尼状态K=13.5时，

>1过阻尼状态K=59.2时，＝1无阻尼状态K>59.2时，0<<1欠阻尼状态，系统的闭环极点在垂线

n上下移动，这时K值的改变并不影响ts结论：1）K增大时，

n增大而减小，Mp增大，一般较强的振荡趋势对应较短的tr、tpjw

[s]-32.4-2.1K=13.5K=13.5K=200K=1500K=1500-17.2-26.526.5-84.884.8

nK=200K=59.5等线S1等ts

线等wn

线系统极点分布与在单位阶跃作用下的响应曲线jw

[s]-32.4-2.1K=13.5K=13.5K=200K=1500K=1500-17.2-26.526.5-84.884.8

nK=200K=13.5>1

K=59.2K=59.2K=200K=1500=10<<13.6高阶系统的时域响应

凡是用高阶微分方程描述的系统，称为高阶系统。高阶系统的闭环传函分母中s的最高幕次n>2.高阶系统闭环传函的一般形式为写成求拉氏反变换，得：(3-6-2)(3-6-3)

从上式可见，高阶系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两个部分组成。1）高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由si和ζkωnk

决定,也与各分量所对应的系数Ai,Dk有关2）系统的零、极点决定了c(t)响应

3）特殊零、极点（偶极子、主导极点）概念及作用系统的单位阶跃响应为是由零、极点确定的常数式中kkiDAq,,,ζk,ωnk(3-6-3)1、偶极子：一对数值上相近即位置靠得很近的闭环零、极点（极端情况下，一对重合的闭环零、极点）2、偶极子相消：一对重合的闭环零、极点偶极子对暂态响应无任何影响，此时可将此对偶极子一起消去;

零、极点分布偶极子z1s5s1s2s3s4

一对数值上相近闭环零、极点偶极子对暂态响应虽有影响，但较小，一般也可将此对偶极子一起消去工程上确定主导极点方法:1)极点P距虚轴的距离|Re(P)|

极点B距虚轴的距离|Re(B)||Re(P)|>5|Re(B)|2)极点B附近无零点B为主导极点，分析时可忽略极点P3、系统极点P的负实部愈是远离虚轴，则极点P对应的瞬态响应项衰减得愈快

距虚轴最近的极点B对应着瞬态响应中衰减最慢的项，极点B对瞬态响应起主导作用零、极点分布s1s2s3s4PB主导极点s5z1主导极点作用：

可将高阶系统用低阶系统的响应来近似

1)主导极点若以共轭形式出现，该系统可近似看成二阶系统；2)若以实数形式出现，该系统可近似看成一阶系统。例1已知四阶系统的闭环传递函数为

试求系统近似的单位阶跃响应c(t)解：

2)上式s1=-5,Re[s2,3]=-0.75。|Re(s1)|=5>5|Re(s2,3)|1)系统传函有零点z1=-20.03和极点s4=-20距离很近，远离其它零极点。对消此零极点得将高阶系统近似为一个二阶系统:1)以s2,3为系统的主导极点；2）在单位阶跃下其初始值及终值与原系统传函相同s1=-5s2=-0.75+j1.2s3s4z1[s]初值定理将高阶系统近似为一个二阶系统:1)以s2,3为系统的主导极点；2）其在单位阶跃下初始值及终值与原系统传函相同终值定理原近似原近似将高阶系统近似为一个二阶系统近似的单位阶跃响应为(3-5-15)3.7线性定常系统的稳定性与劳斯稳定判据一．稳定的概念与条件线性系统正常工作的首要条件是系统必须保持稳定．两个问题：①什么样的系统是稳定的？②线性系统稳定的充分必要条件是什么？零输入响应稳定性：如果系统在扰动的作用下，偏离了原有的平衡状态，而当扰动消失后，又能回到原来的平衡状态，即系统零输入响应具收敛性质，则该系统为稳定系统；反之，系统不能回到原有的平衡状态，即系统零输入响应具有发散性质，则该系统为不稳定系统零状态响应稳定性：系统在受到输入信号下的稳定性对于线性系统，零输入响应稳定性和零状态响应稳定性的条件是一致的，系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性零状态响应下C(t)表达式得到曲线响应的收敛性条件，从而得到线性系统稳定的充分必要条件△系统特征方程为

此高阶系统的单位阶跃响应为(3-6-3)设高阶系统闭环传函为当D（s）=0，可得到系统特征方程的根即系统极点§３－５线性系统的稳定性

高阶系统的单位阶跃响应为

如果系统稳定，其暂态分量的各个项随着时间的增长应很快趋近于０①指数项的系数si应为负值，也就是实数极点应位于左半Ｓ平面的负实轴上；②指数部分－

k

nk应为负值，也就是说共轭复数极点的实部应为负，即共轭复数极点位于左半Ｓ平面；③系统中只要有一个极点位于右半Ｓ平面，或虚轴上，暂态分量就是发散的或不衰减的，系统就不稳定．

由此可得到线性系统稳定的充分必要条件：

系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于s平面的左半部，即所有极点si

都有负实部

对于一般线性定常系统的闭环传递函数为系统特征多项式二、判定线性定常系统稳定的方法特征方程法、代数判据法、根轨迹法、频率稳定判据法1）特征方程法

D（s）=0

求出闭环传函的所有极点si

所有极点si均位于s平面的左半部，系统稳定；否则，系统不稳定。对三阶以上系统，求解极点是比较困难的。2）代数判据法（劳斯判据和赫尔维茨判据）对特征方程D（s）=0的系数进行代数运算，以此判断系统是否稳定。三、劳斯稳定判据劳思阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为0，2，4，…第二行为1，3，5，…1.劳斯表设线性系统的特征方程为劳斯表为一直计算到最后一行为止系统稳定（极点全部都在s左半平面上）的充要条件为：特征方程的全部系数为正值（ai>0

,ai不缺项)；劳斯表的第1列也为正>0。2.劳斯判据设线性系统的特征方程为系统不稳定(在s右半平面上有极点):劳斯表第1列数有正、负符号变化;在s右半平面上的极点个数等于劳斯表第1列系数符号改变的次数在计算时，用一个正数去乘或除某整行，不影响稳定性判断解：劳斯表为系统稳定的充分必要条件是：例1：特征方程为：，试判断稳定性。-130（2）100（）1)劳斯阵第1列有负数，系统是不稳定的。2)其符号变化2次，表示有2个极点在s的右半平面。例2：系统的特征方程为：试判断系统稳定性解：劳斯阵为：

1）劳斯表某行第1列系数为零，而其余系数不全为零例3：

则

故第一列不全为正。3.两种特殊情况下劳斯表的列写及结论按劳斯判据，该系统有两个极点具有正实部第1列系数符号改变的次数2[处理办法]：可以用一个很小的正数ε来代替零值项，然后按通常的方法计算劳斯表中其余各项。[结论]若第1列系数中有符号变化，其变化的次数等于该系统在s平面右半面上极点数目；若第1列系数符号都为正，则表示系统有一对共轭虚根存在。[处理办法]：①可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程;

②对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行;③用通常的方法继续求下面各行的系数;

④解辅助方程，得各对称根。

2）劳斯表某行系数全为零的情况。表明系统在Ｓ平面中有对称于原点的根：大小相等，符号相反的一对实根;一对共轭虚根;对称于虚轴的两对共轭复根。[S][S]显然，这些根的数目一定是偶数。例4：

从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要计算对称根再来判稳。由辅助方程求得：

此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。168016801300辅助方程求导构成新行例5(3-9-1)四、劳斯判据的其它应用1.分析系统参数对稳定性的影响K>0，30-K>0

系统的特征方程为列出劳斯表

根据劳斯判据，要使系统稳定，其第一列均为正数，即解：闭环传函当增益K=30时系统有一对共轭虚数极点，此时系统处于临界稳定状态，出现等幅振荡，因此临界增益Kc=30∴

欲使系统稳定，增益K的取值范围是0<K<30当增益K>30时系统变得不稳定系统的无阻尼振荡频率为

将上式代入原方程D(s)，得到以z为变量的新的特征方程，再利用劳斯判据检验其相对稳定性

2、确定系统的相对稳定性（稳定裕度）1）若新劳斯表第1列均为正数，则所有根均在新虚轴(垂直线s=-s1

)的左边，可判定系统有稳定裕度s1

；2）若新劳斯表第1列有正、负数，数符号变化的次数等于系统位于新虚轴(垂直线s=-s1

)的右边根的个数，可判定系统没有稳定裕度s1

应用劳斯判据不仅可以判断系统稳定与否，即绝对稳定性。也可以判断系统的是否具有一定的稳定裕度s1

，即相对稳定性。即检验有几个根在垂直线s=-s1

的右边s=-s1=0这时可以移动S平面的虚轴，如图所示：例6已知系统的特征方程为

试判断系统稳定性，并检验有几个根在垂直线s=-１的右边。

解劳斯表为s

3115s

2820s

125/4s

020

第1列无符号改变，故没有极点在S平面的右半平面，说明系统稳定。

再令s=z-1，代入特征方程式，得

新的劳斯表为

z

312z

2512z

1-2/5z

012可看出，第1列符号改变2次，故有2个根在垂直线s=-1（即新虚轴）的右边，因此稳定裕度达不到s1

＝1。s1＝13.8控制系统的稳态误差分析及计算系统误差及稳态误差的定义误差传递函数控制系统的类型给定稳态误差和扰动稳态误差的计算提高系统稳态精度的方法Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)一、系统误差及稳态误差定义系统的误差常定义为：期望值－实际值2.稳态误差定义：系统误差的终值称为稳态误差。当时间t趋于无穷时，e(t)和e’(t)极限存在，则稳态误差为3.误差类型：给定误差Er(s)和扰动误差En(s)2）输出端定义1．2种定义误差方法

1）输入端定义①给定R(s)作用下误差传递函数

e(s)Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)-+系统开环传函二、误差传递函数(3-11-1)给定误差传函令N(s)=0误差定义1)：E(s)=R(s)-B(s)++②扰动N(s)作用下的误差传递函数

n(s)Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)令R(s)=0误差定义1):E(s)=R(s)-B(s)=-B(s)扰动误差传函误差定义2)：∵R(s)=0期望值

C*(s)=0误差传函(3-11-2)于是②扰动N(s)作用下的误差传递函数

n(s)令R(s)=0Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)Gc(s)G0(s)H(s)N(s)C(s)–+B(s)误差定义1)：E(s)=R(s)-B(s)=-B(s)两者之间的关系对于单位反馈系统，上述两种定义是等价的误差定义2)：三、控制系统的类型

K1,v:控制环节的增益,串联积分环节数

Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)

K2,:被控环节的增益，串联积分环节数

K3:反馈环节增益

K=K1K2K3—系统的总开环增益；

j，i—系统的时间常数v

+

—

开环传函中串联积分环节个数设系统的开环传函为v+=0、

v+=1、v+=2、…v+=n分别是

0型系统、Ⅰ型系统、Ⅱ型系统、…n型系统；控制系统的类型:

G(s)分母中含有几个积分环节v

+

数，则称该系统为几型系统K=K1K2K3—系统的总开环增益四、给定稳态误差和扰动稳态误差的计算♤

给定和扰动稳态误差终值的计算：利用拉氏变换的终值定理♤

给定和扰动稳态误差级数的计算a.可计算阶跃、斜坡、抛物线三种典型输入信号以外，其它输入信号下系统的稳态误差b.可提供误差随时间变化的信息（1）给定稳态误差终值计算显然，esr

与R(s)和G(s)有关令N(s)=0假设开环传递函数G(s)的形式如下：Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)可见给定作用下的稳态误差esr

与外作用R(s)有关；与开环增益K有关；与积分环节的个数v+

(控制系统类型）有关G(s)1)单位阶跃输入r(t)=1(t)典型输入信号作用下系统稳态误差位置误差系数对于v+=0

型系统对于v+>=1型系统结论：1）0

型系统能跟踪阶跃输入，但存在稳态误差，欲减小稳态误差，应增大开环增益K。但K的增大受系统稳定性的制约。

2）若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，应使系统G(s)有一个以上的积分环节。也即采用Ⅰ型或Ⅱ型系统。（*）（*）记2)单位斜坡输入r(t)=t式中速度误差系数结论：1）０型系统不能跟踪斜坡输入信号，稳态误差趋于无穷大．

2）I型系统能跟踪斜坡输入信号，但存在稳态误差．

3）要使斜坡响应的稳态误差为零，需选用G(s)

II型系统．（*）（*）记式中加速度误差系数3)单位抛物线输入r(t)=t2/2结论：１）０型、Ⅰ型系统都不能跟踪抛物线信号，稳态误差趋于无穷大．２）Ⅱ型系统能跟踪抛物线信号，但有稳态误差．３）为使系统的稳态误差为零，需使系统G(s)的积分环节增多，系统的稳定性越来越差。实际上，Ⅱ型以上的系统是很少见的。（*）（*）记小结：表3-12-1给定作用下的稳态误差esr与外作用R(s)有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。与G(s)的开环增益K有关；对有差系统，K↑，稳态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。与G(s)的积分环节的个数v+

(控制系统类型）有关。积分环节的个数↑，稳态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。指出：稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。④当系统的输入信号由阶跃，斜坡和抛物线分量组成时，即E(s)=R(s)-B(s)线性叠加++例1系统结构如下图：若输入信号为试求系统的稳态误差终值。PD控制系统结构图

增大PD控制器的增益，可以减小对于抛物线信号的跟踪误差解：系统的开环传递函数为各静态误差系数输入信号为系统在r(t)作用下的稳态误差终值为（2）给定稳态误差级数

e(s)在s=0的邻域内展成泰勒级数（*）两边取拉氏反变换，可得给定稳态误差级数的表达式（*）上式无穷误差级数收敛于s=0的邻域，Cn为动态误差系数（*）∵输入信号r(t)是已知的，求稳态误差esr级数关键为求动态误差系数Cn方法：1）由系统已知的开环传函G(s)，写出系统给定误差传函（按s的升幂排列）2）用上式的分子多项式除以它的分母多项式，得到一个s的升幂级数3）于是有4）对上式取拉氏反变换，得（*）给定稳态误差esr(t)级数为（*）例2（3-12-1)

设单位反馈系统的开环传函为试计算：1）2）解：1)系统的静态位置、速度和加速度误差系数分别为于是在三种典型输入下系统的给定稳态误差终值：r(t)=tr(t)=t2/2r(t)=1(t)系统的给定误差传递函数(本例输入信号r(t)的二阶以上导数等于零，不必求n>=3的Cn)稳态误差级数为：由于esr(t)不是t的函数，所以esr(t)

与其esr相等。

(1)r(t)=1(t)给定稳态误差级数稳态误差级数为：(2)r(t)=t给定稳态误差级数为：稳态误差级数随时间增长，当t

时，esr也趋于无穷大。

(3)r(t)=t2/2给定稳态误差级数为：(4)结论：

一个系统的稳态误差终值esr与稳态误差级数esr(t)是互相对应的，如当esr为无穷大，其esr(t)级数中至少含有时间t的一次方项

另外应注意：

求静态误差系数Kp,Kv,Ka是对系统的开环传递函数G(s)求极限，而求动态误差系数Cn,是对系统的误差传递函数

e(s)进行运算（3）扰动稳态误差终值的计算Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)误差定义2)：显然，

esn

与扰动输入N(s)、G0(s)和G(s)有关。假设开环传递函数G(s)、G0(s)的形式如下：C(s)Gc(s)G0(s)H(s)R(s)–+++N(s)B(s)E(s)（*）1)单位阶跃扰动N(t)=1(t)典型扰动作用下系统稳态误差对于v=0,=0

系统对于v>=1型系统结论：1）v=0

系统能抗阶跃扰动，但存在稳态误差，欲减小稳态误差，应增大增益K1、

K3。2）若要求系统对阶跃扰动的稳态误差为零，应使系统Gc(s)有一个以上的积分环节。对于v=0,

0系统2)单位斜坡扰动N(t)=t对于v=0,

=0(

0)系统对于v>=2型系统结论：1）v=0系统不能抗斜坡扰动信号，稳态误差趋于无穷大

2）v=1系统能抗斜坡扰动信号，但存在稳态误差

3）要使斜坡扰动的稳态误差为零，应使系统Gc(s)有两个以上的积分环节对于v=1型系统3)单位抛物线扰动N(t)=t2/2对于v=0,

=0(

0)系统对于v=2型系统对于v=1型系统对于v>2型系统2)v=2系统能抗抛物线扰动，但存在稳态误差．结论：3)使抛物线扰动的稳态误差为零，应使系统Gc(s)有三个以上的积分环节。1)v

=0,1系统不能抗抛物线扰动，稳态误差趋于无穷大小结：表3-12-2扰动下的稳态误差esn与扰动信号N(s)有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。与K1、K2、K3增益有关；对有差系统，K1、K3↑，稳态误差↓，与控制器Gc(s)中积分环节的个数v有关。积分环节的个数↑，稳态误差↓，E(s)=C*(s)-C(s)=-C(s)④当系统的扰动信号由阶跃，斜坡和抛物线分量组成时，即v=0,

0v=0,=0（4）扰动稳态误差级数的计算2）用上式的分子多项式除以它的分母多项式，得到一个s的升幂级数3）于是有4）对上式取拉氏反变换，得（*）方法：1）由系统已知的G(s)、G0(s)，写出系统扰动误差传函（按s的升幂排列）求稳态误差级数esn关键为求动态误差系数Bn（*）例3系统结构如图所示，如扰动n(t)是1(t)和t，试求系统扰动稳态误差终值及误差级数。

C(s)Gc(s)G0(s)R(s)–+++N(s)B(s)E(s)解：系统的开环传递函数为：

系统的扰动误差传函

利用终值定理可得扰动稳态误差终值单位阶跃扰动时,N(s)=1/s单位斜坡扰动时,N(s)=1/s2系统的扰动误差传函

(本例输入信号r(t)的1阶以上导数等于零，不必求n>=2的Bn)稳态误差级数为：由于esn(t)不是t的函数，所以esn(t)

与其esn相等。

(1)n(t)=1(t)扰动稳态误差级数(2)r(t)=t扰动稳态误差级数为：稳态误差级数随时间增长，当t

时，esn也趋于无穷大。

五、提高系统稳态精度的方法从前述可知：1）在系统中增加G(s)积分环节的个数或增大开环增益,可减小系统的给定稳态误差；Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)