云南省砚山县第二中学2024届高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析

云南省砚山县第二中学2024届高一数学第二学期期末统考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A． B． C． D．2．高一数学兴趣小组共有5人，编号为.若从中任选3人参加数学竞赛，则选出的参赛选手的编号相连的概率为（）A． B． C． D．3．已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的（）A．重心外心垂心 B．重心外心内心C．外心重心垂心 D．外心重心内心4．若直线：与直线：平行，则的值为()A．-1 B．0 C．1 D．-1或15．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”6．某同学5天上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，9，11，则这组数据的方差为（）A．4 B．2 C．9 D．37．直线（，）过点(-1,-1),则的最小值为()A．9 B．1 C．4 D．108．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．恰有1名男生和恰有2名男生9．已知等边三角形ABC的边长为1，，那么（）.A．3 B．-3 C． D．10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．直线在轴上的截距是__________.12．已知为锐角，则_______.13．已知等比数列an中，a3=2，a14．已知向量，，且，则______．15．已知sin＝，则cos＝________．16．当时，不等式成立，则实数k的取值范围是______________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角的对边分别为,的面积是30,.（1）求；（2）若，求的值.18．已知数列是递增的等比数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．19．若关于的不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围.20．已知函数.（1）求的最小正周期和上的单调增区间：（2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围.21．在锐角中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【题目详解】设正方形的边长为，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为，则等腰直角三角形的边长为，对应每个小等腰三角形的面积，则阴影部分的面积之和为，正方形的面积为，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为，故选：B．【题目点拨】本题考查面积型几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于计算出所求事件对应区域的面积和总区域的面积，考查计算能力，属于中等题.2、A【解题分析】

先考虑从个人中选取个人参加数学竞赛的基本事件总数，再分析选出的参赛选手的编号相连的事件数，根据古典概型的概率计算得到结果.【题目详解】因为从个人中选取个人参加数学竞赛的基本事件有：，共种，又因为选出的参赛选手的编号相连的事件有：，共种，所以目标事件的概率为.故选：A.【题目点拨】本题考查古典概型的简单应用，难度较易.求解古典概型问题的常规思路：先计算出基本事件的总数，然后计算出目标事件的个数，目标事件的个数比上基本事件的总数即可计算出对应的概率.3、C【解题分析】

根据向量关系，，所在直线经过中点，由得，即可得解.【题目详解】由题：，所以O是外接圆的圆心，取中点，，，即所在直线经过中点，与中线共线，同理可得分别与边的中线共线，即N是三角形三条中线交点，即重心，，，，，即，同理可得，即P是三角形的垂心.故选：C【题目点拨】此题考查利用向量关系判别三角形的外心，重心和垂心，关键在于准确进行向量的运算，根据运算结果得结论.4、C【解题分析】

两直线平行表示两直线斜率相等，写出斜率即可算出答案．【题目详解】显然，，．所以，解得，又时两直线重合，所以．故选C【题目点拨】此题考查直线平行表示直线斜率相等，属于简单题．5、C【解题分析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.6、B【解题分析】

先求平均值，再结合方差公式求解即可.【题目详解】解：由题意可得，由方差公式可得：，故选：B.【题目点拨】本题考查了样本数据的方差，属基础题.7、A【解题分析】

将点的坐标代入直线方程：，再利用乘1法求最值【题目详解】将点的坐标代入直线方程：，，当且仅当时取等号【题目点拨】已知和为定值，求倒数和的最小值，利用乘1法求最值。8、D【解题分析】试题分析：A中两事件不是互斥事件；B中不是互斥事件；C中两事件既是互斥事件又是对立事件；D中两事件是互斥但不对立事件考点：互斥事件与对立事件9、D【解题分析】

利用向量的数量积即可求解.【题目详解】解析：.故选：D【题目点拨】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.10、D【解题分析】

设OA＝1，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．【题目详解】设OA＝1，则AB，，以AB中点为圆心的半圆的面积为，以O为圆心的大圆面积的四分之一为，以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣1，黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣1）＝1，图Ⅲ部分的面积为π﹣1．设整个图形的面积为S，则p1，p1，p3．∴p1＝p1＞p3，故选D．【题目点拨】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

把直线方程化为斜截式，可得它在轴上的截距．【题目详解】解：直线，即，故它在轴上的截距是4，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查直线方程的几种形式，属于基础题．12、【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系得，再根据角度关系，利用诱导公式即可得答案.【题目详解】∵且，∴；∵，∴.故答案为：.【题目点拨】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号问题.13、4【解题分析】

先计算a5【题目详解】aaa故答案为4【题目点拨】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.14、【解题分析】

根据的坐标表示，即可得出，解出即可．【题目详解】，，．【题目点拨】本题主要考查平行向量的坐标关系应用．15、【解题分析】

由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，即cos＝，所以cos＝cos＝，故答案为.16、k∈（﹣∞，1]【解题分析】

此题先把常数k分离出来，再构造成再利用导数求函数的最小值，使其最小值大于等于k即可．【题目详解】由题意知：∵当0≤x≤1时（1）当x＝0时，不等式恒成立k∈R（2）当0＜x≤1时，不等式可化为要使不等式恒成立，则k成立令f（x）x∈（0，1]即f'（x）再令g（x）g'（x）∵当0＜x≤1时，g'（x）＜0∴g（x）为单调递减函数∴g（x）＜g（0）＝0∴f'（x）＜0即函数f（x）为单调递减函数所以f（x）min＝f（1）＝1即k≤1综上所述，由（1）（2）得k≤1故答案为：k∈（﹣∞，1]．【题目点拨】本题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题型．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）144；（2）5.【解题分析】

（1）由同角的三角函数关系，由，可以求出的值，再由面积公式可以求出的值，最后利用平面向量数量积的公式求出的值；（2）由（1）可知的值，再结合已知，可以求出的值，由余弦定理可以求出的值.【题目详解】（1），又因为的面积是30，所以，因此（2）由（1）可知，与联立，组成方程组：，解得或，不符合题意舍去，由余弦定理可知：.【题目点拨】本题考查了同角的三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理、平面向量的数量积运算,本题求，可以不求出的值也可以，计算如下：18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】试题分析：（1）设等比数列的公比为q，，根据已知由等比数列的性质可得，联立解方程再由数列为递增数列可得则通项公式可得（2）根据等比数列的求和公式，有所以，裂项求和即可试题解析：（1）设等比数列的公比为q，所以有联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q>1，所以数列的通项公式为（2）根据等比数列的求和公式，有所以所以考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和19、【解题分析】

对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对时，利用二次函数的图象进行分析求解.【题目详解】当时，不等式对一切实数都成立，所以成立；当时，由题意得解得：；综上所述：.【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题，注意运用分类讨论思想进行求解，同时也要结合二次函数的图象进行问题分析与求解.20、(1)T=π，单调增区间为，(2)【解题分析】

（1）化简函数得到，再计算周期和单调区间.（2）分情况的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案.【题目详解】解：（1）函数故的最小正周期．由题意可知：，解得：，因为，所以的单调增区间为，（2）由（1）得∵∴，∴，若对任意的和恒成立，则的最小值大于零．当为偶数时，，所以，当为奇数时，