2023-2024学年四川省眉山市重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省眉山市重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题1.在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)关于xOy平面的对称点的坐标是(

)A.(−1,−2,3) B.(1,−2,−3) C.(−1,2,−3) D.(1,2,−3)2.从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是(

)A.至少有一本政治与都是数学 B.至少有一本政治与都是政治

C.至少有一本政治与至少有一本数学 D.恰有1本政治与恰有2本政治3.已知a=(−3,2,5)，b=(1,x,−1)，且a⊥b，则xA.4 B.5 C.6 D.74.过点P(1,−1)且垂直于l：x−2y+1=0的直线方程为(

)A.x+2y+1=0 B.x−2y−3=0 C.2x+y−1=0 D.2x−y+3=05.在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子被断开分别为事件A，B，C，D，E.盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是(

)A.A，B两个盒子串联后畅通的概率为16

B.D，E两个盒子并联后畅通的概率为115

C.A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为12

D.6.已知A(4,0)，B(0,4)从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(

)A.210 B.6 C.37.直线ax+y+1=0与连接A(2,3)、B(−3,2)的线段相交，则a的取值范围是(

)A.[−1,2] B.[2,+∞)∪(−∞,−1]

C.[−2,1] D.(−∞,−2]∪[1,+∞)8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BA.63 B.263 9.已知空间中三点A(0,1,0)、B(2,2,0)、C(−1,3,1)，则下列结论正确的有(

)A.AB与AC是共线向量 B.AB的单位向量是(255,−55,0)

C.AB与10.若三条不同的直线l1：mx+2y−6=0，l2：x+y−1=0，l3：3x+y−5=0不能围成一个三角形，则m的取值可能为A.8 B.6 C.4 D.211.已知点P(3,4)，Q(5,2)，直线l：ax−y−2a+2=0(a∈R)，则下列说法中正确的有(

)A.直线l恒过点(1,2)

B.若直线l与线段PQ有交点，则a∈[0,2]

C.点P到直线l的距离的最大值为5

D.若a=−1，M为直线l上一点，则|PM|+|QM|的最小值为12.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1−α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1−β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)下列说法错误的是(

)A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1−α)(1−β)2

B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1−β)2

C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1−β)2+(1−β)3

D.二、非选择题13.已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)=0.3，P(B−)=0.6，P(C)=0.2，则P(A∪B∪C)=______14.点P(2,0)关于直线l：x+y+1=0的对称点Q的坐标为______．15.已知a=(2,−1,2)，b=(−1,3,−3)，c=(13,6,λ)，若向量a，b,c共面，则16.在平面直角坐标系中，定义|y1−y2|}，d(A,M)=max{|x1−x3|，|y1−为两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的“切比雪夫距离”.又设点P及l上任意一点Q，称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l).给出下列四个命题：①对任意三点A17.已知直线l1：(a−2)x+(a−3)y+1=0，直线l2：5ax−(a+4)y+20=0．

(1)若l1//l2，求实数a的值．

(2)判断l118.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．19.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA′的长度为b，且∠A′AB=∠A′AD=120°，求：

(1)AC′的长；

20.设直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R)．

(1)求证：不论a为何值，直线必过定点M；

(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值．21.已知△ABC的顶点B(−2,0)，AB边上的高所在的直线方程为x+3y−26=0．

(1)求直线AB的方程；

(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．

①角A的平分线所在直线方程为x+y−2=0；

②BC边上的中线所在的直线方程为y=3．

若_____，求直线AC的方程．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．22.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF/​/AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC=3．

(1)当点N为线段AD的中点时，求证：直线AD⊥平面EFN；

(2)当点N在线段AD上时(包含端点)，求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由题意可得：点P(1,2,3)关于xoy平面的对称点的坐标是(1,2,−3)．

故选：D．

空间直角坐标系中任一点P(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为P4(a,b,−c)；关于坐标平面yOz的对称点为P5(−a,b,c)；关于坐标平面xOz的对称点为2.【答案】D

【解析】解：从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，

对于A，至少有一本政治和都是数学是对立事件，故A错误；

对于B，至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事件，故B错误；

对于C，至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事件，故C错误；

对于D，恰有1本政治与恰有2本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D正确．

故选：D．

利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．

本题考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，是基础题．3.【答案】A

【解析】解：∵a⊥b，a=(−3,2,5)，b=(1,x,−1)，

∴a⋅b=(−3)×1+2x+5×(−1)=2x−8=0，解得x=44.【答案】C

【解析】解：设过点P(1,−1)且垂直于l：x−2y+1=0的直线方程为：2x+y+m=0，

把点P(1,−1)代入可得：2−1+m=0，解得m=−1．

∴要求的直线方程为：2x+y−1=0，

故选：C．

设过点P(1,−1)且垂直于l：x−2y+1=0的直线方程为：2x+y+m=0，把点P(1,−1)代入解得m即可得出．

本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】D

【解析】解：对于A，A，B两个盒子串联后畅通的概率为P=(1−12)(1−13)=13，故A错误；

对于B，D，E两个盒子并联后畅通的概率为P=1−15×13=1415，故B错误；

对于C，A，B两个盒子混联后不畅通的概率为P=1−(1−12)(1−13)=23，

∴A，6.【答案】A

【解析】解：如图所示，分别作出点P关于直线AB的对称点P′，点P关于y轴的对称点P″，

则点P′，Q，M，P″在同一条直线上，线段P′P″即为所求，

易知：P″(−2,0)，

直线AB方程为：x+y=4，

设点P″(a,b)，

则b−0a−2×(−1)=−1a+22+b+02=4，

解得a=4，b=2.∴点P″(4,2)．

∴光线所经过的路程是P′P″=(−2−4)2+22=210，7.【答案】D

【解析】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断恒过P(0,−1)，

如下图示：

∵KPA=−1，KPB=2，

则实数a的取值范围是：−a≤−1或−a≥2．

故a≥1或a≤−2

故选：D．

由直线ax+y+1=0的方程，判断恒过P(0,−1)，求出KPA与KPB，判断过P点的竖直直线与AB两点的关系，求出满足条件的直线斜率的取值范围．

求恒过P点且与线段AB相交的直线的斜率的取值范围，有两种情况：当AB，在P竖直方向上的同侧时，(如本题)计算KPA与KPB，若KPA<KPB，则直线的斜率k∈[KPA,KPB]当AB，在8.【答案】A

【解析】解：如图，以A为坐标原点，以AD，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，C(2,2,0)，

B1(0,2,2)，C1(2,2,2)，

故AC1=(2,2,2)，B1C=(2,0,−2)，

设B1P=λB1C=(2λ,0,−2λ)，λ∈[0,1]，

则C1P=C1B1+B1P=(2λ−2,0,−2λ)；

设m=(x,y,z)为与AC1，B1C都垂直的向量，

则m9.【答案】CD

【解析】解：根据题意，空间中三点A(0,1,0)、B(2,2,0)、C(−1,3,1)，

则AB=(2,1,0)，AC=(−1,2,1)，

依次分析选项：

对于A，AB=(2,1,0)，AC=(−1,2,1)，

而2−1≠12≠01，则AB、AC不共线，A错；

对于B，AB=(2,1,0)，

则AB的单位向量为AB|AB|=122+12+02(2,1,0)=(255,55,0)，B错；

对于C，BC=(−3,1,1)，cos〈AB,BC〉=AB⋅BC|AB|⋅|BC|=−6+110.【答案】BCD

【解析】解：若l1//l2，则m−2=0−m+6≠0，解得m=2．

若l1//l3，则m−6=0−5m+18=0，解得m=6．

由x+y−1=03x+y−5=0，解得x=2，y=−1，即l2与l3的交点坐标为(2,−1)，

若l1过点11.【答案】BCD

【解析】解：对于A，因为直线l的方程可化为a(x−2)=y−2，令x−2=0且y−2=0，所以直线l过定点A(2,2)，故A错误；

对于B，如下图，因为直线l过定点A(2,2)，且kPA=2，kQA=0，

直线l的斜率为a，所以a∈[0,2]，故B正确；

对于C，当直线l⊥PA时，点P到直线l的距离最大，且最大值为|PA|=5，故C正确；

对于D，如下图，当a=−1时，直线l的方程为x+y−4=0，

设P关于直线l的对称点为P′(m,n)，则n−4m−3=1,m+32+n+42−4=0,解得m=0，n=1，

所以P′(0,1)，所以(|PM|+|QM|)min=|P′Q|=26，故D正确．

故选：BCD．

对于A，把直线l的方程整理为a(x−2)=y−2，得出所过定点A；对于B，先求出kPA，kQA，结合图象得出结果；对于12.【答案】C

【解析】解：对于A，由题意可知：信号的传输相互独立，输入0收到0的概率为(1−α)，输入1收到1的概率为(1−β)，

所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1−α)(1−β)2，故选项A正确；

对于B，由题意可知：信号的传输相互独立，输入1收到0的概率为β，输入1收到1的概率为(1−β)，

所以采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1−β)2，故选项B正确；

对于C，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“1，1，0”、“1，0，1”、“0，1，1”、“1，1，1”，

因为输入1收到0的概率为β，输入1收到1的概率为(1−β)，

所以采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为3β(1−β)2+(1−β)3，故选项C错误；

对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“0，0，0”、“0，0，1”、“0，1，0”、“1，0，0”，

所以其概率为(1−α)3+3α(1−α)2；

若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为(1−α)，

由(1−α)3+3α(1−α)2−(1−α)=α(1−α)(1−2α)，且13.【答案】0.9

【解析】【解答】

本题考查互斥事件有一个发生的概率求法，考查运算能力，属于基础题．

由对立事件的概率可得P(B)，再由互斥事件有一个发生的概率可得所求．

【分析】

解：三个事件A，B，C两两互斥，

P(B−)=0.6，可得P(B)=1−0.6=0.4，

则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.4+0.2=0.9．

14.【答案】(−1,−3)

【解析】解：设Q(a,b)是点P(2,0)关于直线l：x+y+1=0的对称点，

由题意得，a+22+b2+1=0ba−2=1，解得a=−1，b=−3，

所以Q(−1,−3)．

故答案为：(−1,−3)．

设Q的坐标为15.【答案】3

【解析】【分析】

本题考查空间向量共面定理，属于基础题．

由于向量a，b,c共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数m，n使得c=ma+nb，解出即可．

【解答】

解：∵向量a，b,c共面，

∴存在唯一一对实数m，n使得c=ma16.【答案】①②③

【解析】解：根据题意，依次分析3个命题：

对于①，对任意三点A、B、C，若它们共线，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，C(x3,y3)，

如图，结合三角形的相似可得d(C,A)，d(C,B)，d(A,B)为AN，CM，AK，或CN，BM，BK，

则d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；

若B，C或A，C对调，可得d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；

若A，B，C不共线，且三角形中C为锐角或钝角，如图，

由矩形CMNK或矩形BMNK，d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；

则对任意的三点A，B，C，都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)，

故①正确；

对于②，设点Q是直线y=2x−1上一点，且Q(x,2x−1)，则d(P,Q)=max{|x−3|，|2−2x|}．

由|x−3|≥|2−2x|，解得−1≤x≤53，即有d(P,Q)=|x−3|，

当x=53时，取得最小值43；由|x−3|<|2−2x|，解得x>53或x<−1，即有d(P,Q)=|2x−2|，

此时d(P,Q)的范围是(43,+∞)，无最值，

故P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为43，②正确；

对于③，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为max{|x|,|y|}=1，若|y|≥|x|，则|y|=1；

若|y|<|x|，则|x|=1，故所求轨迹是正方形，故③正确．

综上，①②③正确．

根据题意，依次分析3个命题：①讨论17.【答案】解：(1)若l1//l2，则(a−3)×5a+(a−2)(a+4)=0，

整理得6a2−13a−8=(2a+1)(3a−8)=0，

解得a=−12或a=83．

当a=−12时，l1：−52x−72y+1=0，l2：−52x−72y+20=0，直线l1：(a−2)x+(a−3)y+1=0，直线l2：5ax−(a+4)y+20=0.垂直，符合题意；

当a=83时，l1：23x−1【解析】(1)直接利用直线平行的充要条件求出a的值；

(2)利用直线垂直的充要条件求出a的值．

本题考查的知识要点：直线平行和垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，

由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，

∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．

(Ⅱ)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：

{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}，{B,C}，{B,D}，

{B,E}，{B,F}，{B,G}，{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}，{D,E}，

{D,F}，{D,G}，{E,F}，{E,G}，{F,G}，共21个．

(i)设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，

来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，

M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，

则事件M包含的基本事件有：

{A,B}，{A,C}，{B,C}，{D,E}，{F,G}，共5个基本事件，

∴事件M发生的概率P(M)=521【解析】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．

(Ⅰ)利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．

(Ⅱ)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果．

(ii)设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M发生的概率．19.【答案】解：(1)∵在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，

且侧棱AA′的长度为b，∠A′AB=∠A′AD=120°，

∴AC′=AB+BC+CC′=AB+AD+AA′，

∴AC′2=(AB+AD+AA′)2

=AB2+AD2+AA′2+2AB⋅AD+2AB⋅AA′+2AD【解析】(1)根据向量线性运算，向量数量积的性质及定义，即可求解；

(2)根据向量线性运算，向量数量积的性质及定义，向量夹角公式，即可求解．

本题考查向量法求解空间中两点间距离，向量法求解线线角，属中档题．20.【答案】(1)证明：因为直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0，即a(x−1)+x+y+2=0，

联立x−1=0x+y+2=0，解得x=1，y=−3，

故直线l过定点M(1,−3)；

(2)解：因为l在两坐标轴上的截距相等，

当直线l过原点时，可得a=2，此时直线l的方程为3x+y=0；

当直线l不过原点时，可得a−2=a−2a+1，解得a=0，此时直线l的方程为x+y−2=0，

故直线l的方程为3x+y=0或x+y−2=0；

(3)令y=0，可得x=a−2a+1>0，

令x=0，可得y=a−2<0，

则a<−1，

此时S=12|OA||OB|=12×a−2a+1×(2−a)=−12×(a−2)2a+1，

令t=a+1【解析】(1)把已知直线方程进行变形，联立方程可求M；

(2)先对截距是否为0进行分类讨论，然后结合截距式方程可求；

(3)先求出直线与x，y轴的交点坐标，然后结合三角形的面积公式表示S，进行变形后结合基本不等式可求．

本题主要考查了直线恒过定点的应用，还考查了直线方程的截距式，基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为AB边上的高所在的直线方程为x+3y−26=0，

所以直线AB的斜率为k=3，又因为△ABC的顶点B(−2,0)，

所以直线AB的方程为：y=3(x+2)，即3x−y+6=0；

(2)若选①，角A的平分线所在直线方程为x+y−2=0，

由x+y−2=0y=3x+6，解得x=−1，y=3，所以点A坐标为A(−1,3)，

设点B关于x+y−2=0的对称点为B′(x0,y0)，

则y0−0x0+2=1x0−22+y02−2=0，解得x0=2，y0=4，即B′坐标为(2,4)，

又点B′(4,2)在直线AC上，所以kAC=4−32+1=13，

所以直线AC的方程为y−4=13(x−2)，即x−3y+10=0．

若选②：BC边上的中线所在的直线方程为y=3，

由y=3y=3x+6，解得x=−1，y=3，所以点【解析】(1)由已知结合直线垂直的斜率关系先求出直线AB的斜率，进而可求；

(2)若选①，由已知结合直线垂直的斜率关系先求出AB边上的高所在的直线方程，然后联立角A的平分线方程即可求出A的坐标，再求出点B关于x+y−2=0的对称点为B′的坐标，进而可求；

若选②：BC边上的中线所在的直线方程为y=3，先求出A的坐标，结合中点坐标公式求出C的坐标，进而可求．

本题