甘肃省酒泉市瓜州县重点中学2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题(含答案)

瓜州县重点中学2023-2024学年度第一学期期末考试试卷高三数学2024.1注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本试卷命题范围：高考范围.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数，则（）A.B.C.D.3.已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为（）A.B.C.D.4.下列可能是函数的图象的是（）A.B.C.D.5.已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（）A.B.C.D.6.记函数的最小正周期为，若，且的图象关于点中心对称，则（）A.B.C.1D.37.甲､乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，则在这个问题已被正确解答的条件下，甲､乙两位同学都能正确解答该问题的概率为（）A.B.C.D.8.已知直线与是曲线的两条切线，则（）A.B.C.4D.无法确定二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量，下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.当时，与的夹角为锐角D.若，则与的夹角的余弦值为10.若一组不完全相同的数据的平均数为，极差为，中位数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，极差为，中位数为，方差为，则下列判断一定正确的是（）A.B.C.D.11.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（）A.B.C.以为直径的圆与相切D.为等腰三角形12.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线，悬链线的相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中是非零常数，无理数2.），对于函数，以下结论正确的是（）A.是函数为偶函数的充分不必要条件B.是函数为奇函数的充要条件C.如果，那么为单调函数D.如果，那么函数存在极值点三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.某班有48名学生，一次考试的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上（不含90分）的学生人数为__________.14.与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是__________.15.“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有__________个.（用数字作答）16.正方体的棱长为3，点分别在线段和线段上，且，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点的轨迹在正方形内的长度为__________.四､解答题：本大题共6小题､共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.（10分）已知数列是由正数组成的等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.18.（12分）记的内角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）若点在边上，且，求.19.（12分）某中学对50名学生的“学习兴趣”和“主动预习”情况进行长期调查，得到统计数据如下表所示：主动预习不太主动预习合计学习兴趣高18725学习兴趣一般61925合计242650（1）现从“学习兴趣一般”的25名学生中，任取2人，用表示其中“会主动预习”的学生的人数，求的分布列与数学期望；（2）依据小概率值的独立性检验，分析“学习兴趣”是否与“主动预习”有关.参考数据､附表及公式：.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12分）如图，在五面体中，已知平面，且.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.21.（12分）已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点（与点不重合），直线的斜率之和为4，作于.是否存在定点，使得为定值.若存在，求出定点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.瓜州县重点中学2023—2024学年度第一学期期末考试试卷·高三数学参考答案､提示及评分细则1.B因为全集，集合，则.2.D因为，所以.3.B双曲线的焦距为，点在的渐近线上，解得1，所以双曲线方程为：.4.C函数定义域为，排除选项，当时，，排除选项.5.A根据题意，设圆锥的高为，半径为，母线长为，若其侧面展开图是面积为的半圆，则有解得：，则该圆锥的高，故该圆锥的体积，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥，将圆锥的体积分为的两部分，则下部分圆台体积占原来圆锥体积的，故所得的圆台体积为.6.C函数的最小正周期为，则，由，得的图象关于点中心对称，，且，则，取，可得，则.7.D设事件表示“甲能解答该问题”，事件表示“乙能解答该问题”，事件表示“这个问题被解答”，则，故，所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确解答该问题的概率为：.8.A曲线的切线过时，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，则，切线，切线过，则.同理取，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，切线过，，则.9.ABD对于A：若，因为，则，解得，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：当时，，此时，所以与共线同向，故C错误；对于：若时，，则，所以，即与的夹角的余弦值为，故D正确.10.AB，因此平均数不变，故A正确；中最大值和最小值不变，极差不变，故B正确；如果原来是偶数个数，中位数是中间两个数的均值，现在变成奇数个数，中位是中间的一个数，两个中位数可能不相等，中位数可能改变，而方差为，故CD错误.11.AC直线过抛物线的焦点，可得，所以，所以正确；抛物线方程为：，与交于两点，直线方程代入抛物线方程可得：，所以，所以不正确；的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为，所以以为直径的圆与相切，所以正确；，不妨可得，所以不是等腰三角形，所以不正确.12.BCD对于选项，当时，函数定义域为关于原点对称，，故函数为偶函数；当函数为偶函数时，，故，即，又，故，所以是函数为偶函数的充要条件，故A选项错误；对于选项，当时，函数定义域为关于原点对称，，故函数为奇函数，当函数为奇函数时，，因为，故.所以是函数为奇函数的充要条件，故B选项正确；对于选项，因为0，若，则恒成立，则为单调递增函数，若，则恒成立，则为单调递减函数，故时，函数为单调函数，故C选项正确；对于选项，，令得，又，若，当，，函数单调递减.当，函数单调递增.函数存在唯一的极小值.若，当，函数为单调递增.当，函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值，所以函数存在极值点，故D选项正确.13.8由（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分以上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.14.或由圆心在直线上，可设圆心为，由圆与两坐标轴都相切，可得，解得，或.若，则圆心为，半径为6，圆的方程为；若，则圆心为，半径为2，圆的方程为.15.225依题意，只要确定万､千､百位上的数字，该回文数即可确定，又有且仅有两位数字是奇数，则①万位上是奇数，千位､百位上是偶数，有种；②万位上是不为0的偶数，千位上是奇数､百位上是偶数，有种，故在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.16.如图，在上取点，使得，在上取点，使得，连接.根据正方体的性质可知，，.由已知可得，，又，所以.又，所以四边形为平行四边形，所以，且.同理可得，，且.根据正方体的性质可知，，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.因为平面平面，所以平面.同理可得，面.因为平面平面，所以平面平面.又平面平面，所以根据面面平行的性质定理可知，只有在线段上运动时，满足条件.过点作，垂足为，易知，且，所以.17.解：（1）设等比数列的公比为，由，得，是由正数组成的等比数列，则，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以.（2），所以.18.解：（1）因为，所以.（2）因为点在边上，且，所以，又因为.所以在中，由余弦定理，可得.19.解：（1）依题意，随机变量，随机变量的分布列为：012所以的数学期望是.（2）提出零假设：假设“学习兴趣”与“主动预习”无关.，因此在犯错率小于0.001的条件下，认为“学习兴趣”与“主动预习”有关.20.（1）证明：分别取的中点，连接，分别是的中点，，且，又，且，且，可得四边形是平行四边形，可知，，平面平面，平面，平面，结合，得平面，又平面平面平面.（2）解：由（1）知平面即，以所在直线为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得.所以，设是平面的法向量，可得得，取，得是平面的一个法向量，.若与平面的所成角为，则，可得.直线与平面的余弦值为.21.解：（1）由题意可得解得椭圆的方程为.