有限元第三章 单元类型及单元刚度矩阵课件

第三章

单元类型及单元刚度矩阵

一、形状函数类型及其特征

1.Langrange型形状函数

2.Hermite型形状函数二、一维单元及其单元刚度阵

1.杆单元2.三次梁单元三、二维单元及其单元刚度阵

1.三角形单元2.矩形单元

四、三维单元及其单元刚度阵

1.六面体单元2.四面体单元

3.曲线等参元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵第三章

单元类型及单元刚度矩阵

有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单元内用较简单的函数描述单元位移，即

这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节点位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange和Hermite型。有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵1.Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之确定。2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点位移和节点位移导数。一、形状函数类型及其特征有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵

在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设适应满足的4项原则。●包含单元的刚体位移●包含单元的常应变状态●保证不偏惠各坐标轴●保证单元内位移连续体现位移函数完备性体现位移函数几何不变性体现位移函数协调性一、形状函数类型及其特征有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵

要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。二维单元的帕斯卡三角形一、形状函数类型及其特征有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三维的帕斯卡三角形一、形状函数类型及其特征有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵形状函数应该满足以下条件1.2.3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续4.保证所定义位移函数反映常应变状态一、形状函数类型及其特征

工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，但相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同，一维单元又可分为杆单元和梁单元。有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。●一次杆单元单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部坐标，记，并取i为x坐标的原点，则有i(1)j(2)lFFxξ有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵

根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算（二点一次拉氏插值），即

1.杆单元●一次杆单元二、一维单元及其单元刚度阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵代入，有

令得所以单元内点位移为单元应变1.杆单元●一次杆单元二、一维单元及其单元刚度阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵所以，几何矩阵为单元应力为弹性矩阵单元刚度矩阵通式为二、一维单元及其单元刚度阵代入，得这是一次杆单元的单刚阵，它对称、对角线元素大于零且奇异！

1.杆单元●一次杆单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵

当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时，其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：i(1)j(2)lMnxξMn二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●一次杆单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵●二次杆单元单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j,三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即i(1)j(2)lFFxξ(3)同样令

二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵

令二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵所以单元内点位移为单元应变二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元几何矩阵为有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵单元应力为单元刚度矩阵二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元元素的计算可以直接应用有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵元素的计算二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵元素的计算二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元其余元素利用对称性可求得有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.三次梁单元

梁单元如图所示，仅考虑节点在xoy平面内的位移为v、θ，这时一个单元有四个自由度，形状函数为三次多项式，即使用三次Hermite插值多项式。二、一维单元及其单元刚度阵12lMz1xMZ2yzQy2Qy1有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵Hermite位移插值多项式有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.三次梁单元

其中二、一维单元及其单元刚度阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.三次梁单元

根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）其中二、一维单元及其单元刚度阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.三次梁单元

二、一维单元及其单元刚度阵同样令

有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.三次梁单元单元应力为单元刚度矩阵引入二、一维单元及其单元刚度阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.三次梁单元单元刚度矩阵元素的计算二、一维单元及其单元刚度阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵元素的计算有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵元素的计算有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵元素的计算其余元素利用对称性可求的有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵

二维单元用于分析和解决平面问题和轴对称为题。在第二章中已详细介绍过，而且是在直角坐标中推导的。在下面这一节中，我们将介绍两种平面单元，即三角形单元和四边形单元，包括一次和二次三角形单元以及一次四边形单元。三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元。●一次三角形单元

第二章详细介绍过这种单元，其形状函数是坐标的一次多项式，推导采用直角坐标。对于高次三角形单元，这类坐标不方便，特此引入面积坐标。有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵1.三角形单元●一次三角形单元三、二维单元及其单元刚度阵●面积坐标

如图所示，在三角形单元A1A2A3中，有任意一点P(x,y)连接PA1、PA2、PA3,得到三个小三角形：ΔPA2A3、ΔPA3A1、ΔPA1A2,记面积比为：称λ1、λ2、λ3为P点的面积坐标xyA1A2A3P(x,y)o有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标

由于λ1+λ2+λ3=1，因此该三个坐标不独立。其负号的规定为：分子分母对应的三角形顶点编号转向相同时为正，反之为负，由于三角形A1A2A3的顶点编号一般规定为逆时针，因此，子三角形顶点编号为逆时针时面积坐标为正，反之为负。xyA1A2A3P(x,y)o有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标三角形中一些特殊点的面积坐标顶点边中点形心xyA1A2A3GA6A5A4o有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系

三角形三个顶点在直角坐标系中的坐标为（xi,yi）,则ΔA1A2A3的面积为类似地三个小三角形的面积依次为有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系其中有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系同理有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系其中令i=1,2,3;i、j、k按1,2,3轮转有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系则于是有有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系对于单元的三个角点，应有A1点A2点有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系A3点重写上述三式有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●面积坐标与直角坐标的关系所以有于是有有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●形状函数根据形状函数的定义i=1时，对于A1、A2、A3点

i=1,2,3所以有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●形状函数同理，i=2、3时，对于A1、A2、A3点

所以有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵于是●单元应变三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●位移函数有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元其中为几何矩阵●单元应变有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵利用复合函数求偏导数的公式三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●几何矩阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元可得平面应力问题的应力为单元刚度矩阵●几何矩阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●一次三角形单元●单元刚阵●二次三角形单元xy123645o

二次三角形单元，如图所示，单元共六个节点，12个自由度，三个角节点，三个边中点。有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单刚阵1.三角形单元●二次三角形单元●形状函数i=1,2，…，6●节点面积坐标xy123645o有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵对于A1、A2、A3、A4、A5、A6点

三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●二次三角形单元●形状函数形状函数分量有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●二次三角形单元●形状函数形状函数分量同样，对于A1、A2、A3、A4、A5、A6点

有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●二次三角形单元●形状函数形状函数分量同样，对于A1、A2、A3、A4、A5、A6点

有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●二次三角形单元●形状函数形状函数分量同样，对于A1、A2、A3、A4、A5、A6点

有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●二次三角形单元●形状函数形状函数分量同样，对于A1、A2、A3、A4、A5、A6点

有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●二次三角形单元●形状函数形状函数分量同样，对于A1、A2、A3、A4、A5、A6点

有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●二次三角形单元●位移函数其中为几何矩阵●单元应变有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵●几何矩阵1.三角形单元●二次三角形单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵●几何矩阵平面应力问题的应力为1.三角形单元●二次三角形单元j、k根据i=4、5、6依次按1,2,3轮转有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元●二次三角形单元注意使用积分公式单元刚度矩阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵

矩形单元如图所示，共四个节点，每个节点两个自由度，单元共8个节点位移。为计算方便，引入新的变量：xy123o4令●一次矩形单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.矩形单元●一次矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵其中四个角点新坐标xy123o4有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵●形状函数利用形状函数的性质，可得验证2.矩形单元●一次矩形单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵●位移函数其中为几何矩阵●单元应变2.矩形单元●一次矩形单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵其中●几何矩阵2.矩形单元●一次矩形单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵●几何矩阵2.矩形单元●一次矩形单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵平面应力问题的应力为单元刚度矩阵2.矩形单元●一次矩形单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵其中对于平面应变问题2.矩形单元●一次矩形单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵2.矩形单元●一次矩形单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵2.矩形单元●二次矩形单元xy123o48765令有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵八个节点新坐标三、二维单元及其单元刚度阵2.矩形单元●二次矩形单元xy123o48765有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵●形状函数利用形状函数的性质，可得三、二维单元及其单元刚度阵2.矩形单元●二次矩形单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵2.矩形单元●二次矩形单元●位移函数其中为几何矩阵●单元应变有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵2.矩形单元●二次矩形单元●几何矩阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵●平面应力问题的应力为●单元刚度矩阵三、二维单元及其单元刚度阵2.矩形单元●二次矩形单元有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵

工程中的一切问题都对应着空间三维问题，都可以用三维单元来构成其总体结构。本课程介绍三维单元及其单刚阵，包括六面体、四面体和曲线等参单元。四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元

单元如图所示，共8个节点，每个节点的位移参数是u、v、w，在进行单元分析时，同矩形单元一样，常用局部坐标表示，其原点位于六面体形心，坐标方向同x、y、z一致，其相互关系为：yz123o4x8567有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵yz123o4x8567四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元令有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元●形状函数yz123o4x8567八个角点新坐标有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元●位移函数验证有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元●单元应变其中为几何矩阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元●几何矩阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元●几何矩阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵三维问题的应力为四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元●弹性矩阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵●单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元

有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元●单元刚度矩阵为3x3的块方阵，i，j=1，2，…，8，且有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元●单元刚度矩阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元●单元刚度矩阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元●单元刚度矩阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵2.四面体单元

工程实际中的结构往往比较复杂，仅用形状规则的单元难于较好的近似结构的几何边界，下面介绍多用于过度单元的4面体4节点三维单元。1234P

采用体积坐标，单元内任意一点P的位置由4个比值来确定：

有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵2.四面体单元V是四面体的体积四、三维单元及其单元刚度阵有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵2.四面体单元

其中有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵2.四面体单元其中

有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵2.四面体单元●形状函数

从而可以推的位移函数、单元应变、几何矩阵、弹性矩阵、刚度矩阵。积分中用到有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵3.曲边等参单元

前面介绍的几种单元几何形状规则，便于进行运算，但难以适应工程实际的需要，工程实际中零部件的外形基本上都比较复杂。曲边等参单元可以解决这个矛盾，这种单元可以用曲边单元划分实际结构，而按直边单元进行计算，中间用坐标变换来转换之，把（x,y,z）转换成（）。●坐标变换

用平面单元来说明。子单元是任意四边形，母单元是正方形。有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵3.曲边等参单元●坐标变换xy123o41234有限元第三章单元类型及单元