现代控制理论-2

第二章线性系统的状态空间描述

和可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量例：如下图所示电路，为输入量，为输出量。建立方程：初始条件：§2.1根据系统机理建立状态空间描述前面电路的微分方程组改写如下矩阵形式：设：则可以写成状态空间表达式：由以上定义和例子归纳出下列特点：1、独立性：状态变量之间线性独立；2、多样性：状态变量的选择不是唯一的；3、等价性：状态向量之间存在非奇异线性变换；4、现实性：状态变量可以选为涵义明确的物理量；5、抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义，以凸显系统某一性质；6、状态变量的数目等于且仅仅等于系统中包含独立贮能元件的数目；7、状态变量的数目的可以是有限个，也可以是无限多个，本课程仅研究有限个数的情况。设

n

阶微分方程为：严真有理分式由系统输入输出描述导出状态空间描述的问题称为实现问题。§2.2由系统输入输出描述导出状态空间描述写成矩阵形式2）只含单实极点的情况选取状态变量系统动态方程为选取状态变量系统动态方程为3）含重实极点的情况选取状态变量系统动态方程为选取状态变量取拉氏反变化系统动态方程为系统的状态空间表达式为例

已知描述系统的微分方程为试求系统的状态空间表达式。3、由方块图描述导出状态空间描述例设系统方块图如下，试列写其状态空间描述

解

上图等效为

指定状态变量组后，列写变量间的关系方程：写成矩阵形式

例

设画出结构图

动态方程为

§2.3线性时不变系统的特征结构1、特征多项式

连续时间线性时不变系统

(1)特征多项式均为实常数

(2)特征方程(3)凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理

这一定理揭示了线性时不变系统一特性：对系统矩阵A，有且仅有为线性无关，所有都可表示为它们的线性组合。

(4)最小多项式

的各个元多项式之间互质

定义Φ（s）为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式Φ（s）也满足凯莱-哈密尔顿定理，即Φ（A）=0(5)系统矩阵的循环性

如果系统矩阵A的特征多项式α(s)和最小多项式Φ（s）之间只存在常数类型的公因子k，即则称系统矩阵A是循环的。

2、特征值(1)特征值的代数属性

系统特征值就是使特征矩阵(sI－A)降秩的所有s值

(2)特征值集

对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。

(3)特征值的形态

特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数。

(4)特征值类型

系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型。(5)特征值的代数重数

代数重数σi代表特征值集Λ中值为λi的特征值个数(6)特征值的几何重数

(7)特征值重数和类型的关系

对n维线性时不变系统，若λi∈A为单特征值，则其代数重数σi和几何重数αi之间必有3、特征向量(1)特征向量的几何特性

(2)特征向量的不唯一性

(3)单特征值所属特征向量的属性

对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值{λ1、λ2、…λn}的相应一组特征向量{v1、v2、…vn}为线性无关，当且仅当特征值{λ1、λ2、…λn}为两两互异。特征值为两两互异的情形2.4状态方程的约当规范形对n个特征值{λ1、λ2、…λn}两两互异的n维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵p=[v1、v2、…vn]，则状态方程可通过线性非奇异变换

而化为约当规范形

例

将矩阵化为对角阵解解出变换矩阵如果矩阵

A

具有友形式变换矩阵为范德蒙特矩阵特征值包含重值的情形对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令可将系统状态方程化为约当规范形：

其中，Ji为相应于特征值λi的约当块：1、重特征值情形约当规范形的特点；2、重特征值情形约当规范形的最简耦合性；3、约当块为对角矩阵的条件：一、传递函数矩阵多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：称G(s)为系统的传递函数矩阵。其中§2.4由状态空间描述导出传递函数矩阵(1)G(s)的函数属性

传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的q×p有理分式矩阵。(2)G(s)的真性和严真性当且仅当G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的(3)G(s)的特征多项式和最小多项式(4)G(s)的极点G(s)的极点定义为方程式的根状态空间表达式为进行拉普拉斯变换如果存在，则如，则状态变量对输入向量(输入到状态)的传递函数矩阵：G(s)基于(A,B,C,D)的表达式而输出对输入向量(输入到输出)的传递函数矩阵：设G(s)的首一化特征多项式为αG(s)，A的特征多项式为α(s)，若必有若系统能控能观测，则G(s)的极点集合ΛG，A的特征值集合Λ，若ΛG≠Λ，则ΛG⊂Λ；若系统能控能观测，则ΛG=Λ

。例

线性定常系统状态空间表达式为求系统的传递函数矩阵。解状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，则得到的状态空间表达式也不相同。由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。线性变换的几何意义既坐标变换实质是把系统在一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，突出了系统的某些结构特征，或简化系统分析和综合过程、或便于求解状态方程。§2.5线性系统在坐标变换下的特性1、坐标变换下的几何含义和代数表征状态空间描述的坐标变换坐标变换：系统坐标变换的几何含义就是换基，即把状态空间的坐标系由一个基底换为另一个基底。坐标变换代数表征：对系统的坐标变换代数上等同于对其状态空间的基矩阵的一个线性非奇异变换。对系统的坐标变换代数上等同于对系统状态的一个线性非奇异变换。线性定常系统

为

维状态向量；为

维输入向量；为

维输出向量；、、、为相应维数的矩阵。引入非奇异变换矩阵或者其中于是，系统状态方程变为2、线性时不变系统在坐标变换下的特性状态空间描述的坐标变换线性定常系统引入非奇异变换矩阵或者其中传递函数矩阵的坐标变换线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。§2.6

组合系统的状态空间描述及传递函数矩阵1、子系统的并联例：求如下串联系统的状态空间描述

解：例：求如下串联系统的状态空间描述

其中，S1：

S2：解：S2：组合系统：2、子系统的串联例：求如下串联系统的状态空间描述其中，S1：S2：解：e(t)R+-Cuci3、子系统的反馈联接或例：求如下反馈系统的状态空间描述S1：S2：解：第三章线性系统的运动分析2、矩阵指数函数的性质

（4）设A和F为两个同维可交换方阵，即AF=FA则有

3、状态转移矩阵的求法方法1

定义法（级数求和）

方法2

预解矩阵法（应用拉普拉斯变换法）对上式求拉普拉斯变换，得LLL例

线性定常系统的齐次状态方程为求其状态转移矩阵解于是L方法3

特征值法（线性变换）因为而因为对角阵的特殊性质，有：1）矩阵A

特征值互异，可以经过线性变换成为对角阵因此，状态转移矩阵为例

线性定常系统的齐次状态方程为用特征值法，计算其状态转移矩阵解2）矩阵A有n个重特征值可以经过线性变换成为约当形阵状态转移矩阵为应用凯-哈定理，和都满足的特征方程。因此，满足上式。其中，，为待定系数，的计算方法为：1）A的特征值互异方法4

有限项展开法（应用凯莱-哈密顿定理）（其中，）写成矩阵形式于是例

线性定常系统的齐次状态方程为用有限项展开法计算其状态转移矩阵解即2）A的特征值相同，均为3）A的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数可以分别求得。然后求出状态转移矩阵求系统状态转移矩阵。例

线性定常系统齐次状态方程为解用有限项展开法计算其状态转移矩阵A的特征值为状态转移矩阵线性定常系统非齐次状态方程为改写为

式两边同乘得或写成对上式在0

到t

时间段上积分，有4、非齐次状态方程的解1）积分法两边同乘，并且移项更一般情况，当由式上式可知，系统的运动包括两个部分。一部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输入向量，使的形态满足期望的要求。例

线性定常系统的状态方程为解前面已经求得2）拉氏变换法对上式求拉普拉斯变换，得如果为非奇异LL由拉氏变换的卷积定理：L例

线性定常系统的状态方程为解系统的输出方程为则或可见，系统的输出由三部分组成。当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出。

第四章线性系统的能控性和能观测性状态能控：如果对给定得初始时刻的一个非零初始状态，存在一个时刻，，和一个无约束容许控制，，使状态由转移到时的，则称此是在时刻可控的。系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻可控的，则称系统在时刻是完全可控或一致可控的，简称系统在时刻可控。二、能控性的定义线性时变系统的状态方程为§4.1能控性和能观测性的定义容许控制：无约束：输入的每个分量在幅值上无限制。线性定常系统可控性与可达性等价。线性定常系统可控性与可达性与的选取无关。在工程上，系统不完全可控/可达属于“奇异”情况。一个实际系统能控/能达的概率几乎等于1。系统不完全能控：如果对给定得初始时刻，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不可控的，则称系统在时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。状态与系统的可达：如果存在能将状态转移到的控制作用，则称状态是时刻可达的。若对所有时刻都是可达的，则称为完全可达或一致可达。若系统对状态空间中的每一个状态都是时刻可达的，则称该系统是时刻状态完全可达的，或简称该系统是时刻可达的。注：系统状态方程解线性时变系统的状态方程及输出方程为上式表明能观测性即是可由完全估计的能力。可把输入的等价状态看待，从而在状态方程和输出方程中去掉的相关项。因此相应的状态空间描述为三、能观测性定义系统完全能观测：如果对给定得初始时刻，存在一个有限时刻，，对所有通过观测能够惟一地确定系统的初始状态，称系统状态在是能观测的。如果对一切系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的。系统不能观测：如果对给定得初始时刻，存在一个有限时刻，，对所有通过观测，不能够惟一地确定系统的初始状态，即至少有一个状态的初值不能被确定，则称系统状态在区间是不能观测的，简称系统不可观测。在工程上，系统不完全可观也属于“奇异”情况。一个实际系统为状态能观测的概率几乎等于1。注：§4.2线性定常连续系统能控性判据能控性秩判据：

线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的n×nr

维能控性矩阵满秩。二、秩判据例

线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。系统不能控。例

线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。系统可控。解：能控性PBH秩判据：

线性定常连续系统为状态能控的充分必要条件是，对A

的所有特征值，都有或等价表示为：

三、PBH判据系统的特征值：例

线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。当时：当时：当时：由PBH判据线性定常系统为状态能控。则系统能控的充分必要条件是矩阵中不包含元素全为零的行。线性定常系统的矩阵A的特征值互异。

将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵能控性约当规范型判据

四、约当规范型判据

系统（1）、（2）是对角标准型；系统（1）的中包含全为零的行，所以系统不能控；系统（2）的中不包含全为零的行，故系统能控。例

有如下两个线性定常系统，判断其能控性。（1）（2）解线性定常系统A具有重特征值，分别为。且，，经过非奇异线性变换，得到约当阵则系统能控的充分必要条件是矩阵中与每一个约当子块最下面一行对应行的元素不全为零。系统（1）、（2）是约当标准型且各个约当块的值互异

，系统（1）的约当块最下面一行不全为零，故能控；系统（2）的约当块最下面一行全为零故不能控。例

有如下两个线性定常系统，判断其能控性。（1）（2）解经过非奇异线性变换，得到约当规范型由最后一行构成线性定常系统A具有重特征值，分别为。都是行线性无关，系统能控。矩阵、都是行线性无关，不全为零，故能控。例

有如下线性定常系统，判断其能控性。解定义：令

对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：μ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k。对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数μ＝n。结论：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足设

为矩阵A的最小多项式次数，则能控性判据：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：五、能控性指数

说明：

1.上面给出判断系统能控性的判据虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等价的。

2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此，能控性判据同样可以判断能达性。

3.对角规范型、约当规范型判据不仅可以判断系统能控性，而且对于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。能观性秩判据：

线性定常系统为状态可观测的充分必要条件是下面的可观测性矩阵满秩。或二、秩判据§4.3线性定常连续系统能观测性判据例

线性定常连续系统的状态方程如下，判断其可观测性。系统可观测。解：线性定常连续系统状态能观测的充分必要条件是，对A

的所有特征值，都有或等价表示为：

三、PBH秩判据

系统的特征值：例

线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能观测性。当时：解当时：当时：由PBH判据线性定常系统为状态可观。则系统可观测的充分必要条件是矩阵中不包含元素全为零的列。线性定常系统的矩阵A的特征值互异。

将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵四、约当规范形判据

系统（1）、（2）是对角标准型；系统（1）的中包含全为零的列，所以系统不能观测；系统（2）的中不包含全为零的列，故系统可观测。例

有如下两个线性定常系统，判断其能观测性。解（1）（2）且，，经过非奇异线性变换，得到约当阵则系统能观的充分必要条件是矩阵中与每一个约当子块第一列对应的列，其元素不全为零。线性定常系统A具有重特征值，分别为。系统是约当标准型且各个约当块的特征值互异，系统两个约当子块的首列在中对应的元素不全为零，故系统可观测。例

有如下两个线性定常系统，判断其可观测性。解且，，经过非奇异线性变换，得到约当阵线性定常系统A具有重特征值，分别为。由第一列所构成的矩阵对均为列线性无关。系统完全可观。显然它们都是列线性无关，不全为零，故系统完全可观。例

有如下线性定常系统，判断其能控性。解

说明：

1.上面给出判断系统能观性的判据虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能观测性时是等价的。

2.在线性连续定常系统中，由于能检测性和能观测性是等价的，因此，能观测性判据同样可以判断能检测性。

3.对角规范型、约当规范型判据不仅可以判断系统能观测性，而且对于不能观测的系统，可以知道哪个状态分量不能观测。定义：令

完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为υ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数。结论：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为υ＝n。结论：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rankC=m，则设

为矩阵A的最小多项式次数，则

能观测性判据：对多输出连续时间线性时不变系统，设rankC=m，则系统完全能观测的充分必要条件是：五、能控性指数1、搜索中n个线性无关列向量的“列向搜索方案”且能控性指数集系统的动态方程系统的动态方程系统和互为对偶系统。一、对偶系统§4.6对偶性1、线性属性和时变属性的等同性无论连续系统还是离散系统，线性原构系统的对偶系统也为线性系统，时变（或时不变）原构系统的对偶系统也为时变（或时不变）系统。原构系统的状态转移矩阵

与对偶系统的状态转移矩阵

之间满足如下关系

2、系数矩阵的对偶性原构系统的对偶系统系数矩阵之间具有如下对偶关系：3、状态转移矩阵的对偶性证明

按定义二、对偶性原理对偶性原理：证问题：基于连续系统特征值，通过对采样周期T

引入附加条件，使线性定常系统在时间离散化后保持能控性和能观测性。线性定常系统方程为离散化后的系统方程为其中T

是采样周期§4.7离散化线性系统保持能控性和能观测性条件一、问题的提法能控性和能观测性保持条件：对线性定常连续系统，时间离散化后的系统保持完全能控（能观测）的一个充分条件为，对满足的一切特征值，使采样周期T

的值满足关系式：二、能控性和能观测性保持条件A的特征值

如果线性定常系统不能控（不能观测），则离散化后的系统必是不能控（不能观测）。其逆定理一般不成立。如果线性离散化后系统能控（能观测），则离散化前的连续系统必是能控（能观测）。其逆定理一般不成立。例

线性定常连续系统方程为系统为可控标准型，故一定可控。因此，系统可观测。系统的状态转移矩阵离散化后的系统方程为当采样周期离散化后的系统既不能控又不能观测。离散化后的可控矩阵为离散化后的可观测矩阵为【线性非奇异变换属性】线性连续时不变系统及其变换系统能控性和能观测性判别矩阵满足关系：§4.8能控规范形和能观测规范形：SISO情形一、能控性能观测性在线性非奇异变换下的属性线性定常系统其中引入非奇异变换矩阵或者1、能控规范形：一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式

则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形

二、能控规范形单输入单输出线性定常系统设A的特征多项式系统能控结论：若系统能控，通过线性变换可以将其变成如下形式的能控标准形。2、能控特征变换阵变换矩阵

P的确定或证由得根据凯莱-哈密尔顿定理例

已知能控的线性定常系统判断系统能控性解系统能控A

的特征多项式计算变换矩阵

P能控标准形则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形

三、能观测规范形1、能观测范形：一个单输出系统，如果其A、C阵具有如下形式

结论：若系统能观测，通过线性变换可以将其变成如下形式的能观标准形。单输入单输出线性定常系统设A的特征多项式系统能观测2、能观测特征变换阵或例

已知能观的线性定常系统判断能观测性解系统能观测A

的特征多项式计算变换矩阵

Q一个不能控、不能观测的系统，从结构上来说，必定包括能控、不能控部分，或能观测、不能观测的部分，或能控、能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四部分。如何按照能控性或能观测性进行分解呢？线性变换不改变系统的能控性和能观测性。因此，可采用线性变换方法将其分解。这里必须解决三个问题：如何分解？分解后系统方程的形式为何？变换矩阵如何确定？§4.10线性连续是不变系统的结构分解系统能控性判别矩阵的秩为，可从可控性矩阵中选出个线性无关的列向量，另外再任意选取尽可能简单的个列向量，构成非奇异变换矩阵。不能控线性定常系统一、按能控性的系统结构分解结论：若系统不能控，且状态有个状态分量能控，则存在线性变换，使其变换成下面形式维可控子系统为维不可控子系统为系统的传递函数矩阵能控振型和不能控振型输入u（t）的作用只能改变能控振型的位置由于的秩为1。说明中线性独立的列向量只有一列。选择，再补充一个列向量，且与其线性无关，例

系统方程如下，要求按能控性进行结构分解。解系统不能控。经过线性变换后例

系统方程如下，要求按可控性进行结构分解。解从中任选两个线性无关的列向量，例如和再补充一个与之线性无关的列向量构成非奇异变换阵。线性变换后系统可观测性判别矩阵的秩为,则可从可观性矩阵中选出个线性无关的行向量,另外再任意选取尽可能简单的个行向量,构成非奇异变换矩阵。二、按能观测性的系统结构分解不能观测线性定常系统结论：若系统不能观测，且状态有个状态分量能观测，则存在线性变换，使其变换成下面形式并且维能观测子系统系统传递函数为维不能观测子系统特征值为能观测振型特征值为不能观测振型例

系统方程如下，要求按能观性进行结构分解。解从中任选两个行向量，例如，再补充一个与之线性无关的行向量。线性变换后结论：若系统不能控且不能观，存在线性变换，使其变换成下面形式系统传递函数矩阵三、系统结构的规范分解对于不可控和不可观测系统：综合可得总的变换关系：系统按可控性、可观测性的结构分解先对系统进行可控性分解：接着再对系统进行可观性分解：例

系统方程如下，按可控、可观、可控可观进行结构分解。解从中任选两个线性无关的列向量，例如和再补充一个与之线性无关的列向量构成非奇异变换阵。线性变换后可控子空间按能观性进行结构分解。从中任选两个行向量，例如，再补充一个与之线性无关的行向量。线性变换后可观子空间按可控、可观性进行结构分解。可控子空间是不完全可观的，按可观测性分解，其变换阵为系统按可控性分解的规范型中，可控子空间的可观测性为一维不可控子空间显然是可观的，令其变换阵为线性变换后1、实现的定义：对真或严真线性连续是不变系统，如果满足即状态空间描述与传递函数矩阵外部等价，则称此状态空间描述是其传递函数矩阵的一个实现。四、实现和最小实现线性连续是不变系统2、最小实现：传递函数矩阵的所有实现中维数最小的一类实现。3、最小实现判据：设为严真传递函数矩阵的一个实现，则其为最小实现的充分必要条件是考察SISO线性定常系统其传递函数为传递函数的分子、分母分别为可以看出，N(s)、D(s)互质即在没有零极点对消的情况下，传递函数的特征根和系统矩阵A

的特征值相同。4、标量传递函数的典型实现“能控规范形”、“能观测规范形”、“约当规范形”结论：

SISO系统存在最小实现（既能控又能观实现）的充分必要条件是分子、分母多项式互质即不存在零、极点对消。例

求系统传递函数的能控实现，此实现是否为最小实现。解：能控实现能控性能观测性系统传递函数有零、极点对消，能控但不能观测，非最小实现。上述结论对MIMO系统不适用。举例说明如下。例

求系统传递函数的能控实现，并分析实现的能观测性。解：能控实现能控性能观测性系统传递函数有零、极点对消，能控但不能观测，非最小实现。上述结论对MIMO系统不适用。举例说明如下。例

MIMO线性定常系统方程为传递函数矩阵能控性能观性结论：若系统的输出向量和状态向量之间的传递函数矩阵的各列线性无关，则系统能观。结论：若系统的状态向量和输入向量之间的传递函数矩阵的各行线性无关，则系统能控。MIMO线性定常系统

第五章系统运动的稳定性§5.1外部稳定性和内部稳定性一、外部稳定性外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),‖u(t)‖≤β1<∞的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，t∈[t0,+∞）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉冲响应矩阵H(t,τ)所有元均满足关系式结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。内部稳定性定义：称连续时间线性时变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：结论4：设n维连续时间线性时变自治系统

系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足：结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统

内部稳定的充分必要条件为

或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。

二、内部稳定性三、内部稳定性和外部稳定性的关系

结论6：对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定←→BIBO稳定。

的所有极点都是A的特征值，但A的特征值并不一定都是的极点。可能存在零极点对消。所以，处的渐近稳定就包含了BIBO稳定，而BIBO稳定却可能不是处的渐近稳定。对于线性定常系统平衡状态的渐近稳定性由A的特征值决定。而BIBO的稳定性是由传递函数的极点决定的。一、李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原系统的稳定性。李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研究系统稳定性的。§5.2李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念2、平衡状态：状态空间中满足的一个状态。1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统二、自治系统、平衡状态和受扰运动

如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使，因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。对线性定常系统：其平衡状态非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。奇异，存在无穷多个平衡状态。3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始状态扰动引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响应。几何上，受扰运动呈现为状态空间中从初始点出发的一条轨线。三、李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定：的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，如果对任给一个实数ε>0，都对应存在另一依赖于ε和t0的实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)都满足不等式：

称自治系统

则——表示求欧几里德范数。（即：表示空间距离）⑵李亚普诺夫意义下一致稳定：在李亚普诺夫意义下稳定的定义中，若对取自时间定义区间的任意时刻，对任给实数都存在与初始时刻无关的实数，使相应的受扰运动满足条件⑶时不变系统的稳定属性：时不变系统在平衡状态的李亚普诺夫意义下稳定，必为李亚普诺夫意义下一致稳定。⑴稳定的几何解释⑷李亚普诺夫意义下稳定的实质：李亚普诺夫意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐进性。则称平衡状态为李亚普诺夫意义下一致稳定。四、渐近稳定称自治系统

的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定，如果ⅰ)Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，ⅱ）对实数δ(ε,t0)>0和任给实数μ<0，都存在实数T(μ,δ,t0)>0使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t;x0,t0)-Xe‖≤μ，1、渐进稳定的几何解释3、一致渐进稳定：在渐进稳定定义中，若对取自时间定义区间的任意时刻，对任给实数都存在与初始时刻无关的实数，由实数和任给实数都存在与初始时刻无关的实数使得相应的受扰运动相对平衡状态有界且满足条件:‖Φ(t;x0,t0)-Xe‖≤μ，则称孤立平衡状态Xe=0为一致渐近稳定。2、渐进稳定的等价定义：自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定，如果ⅰ)任一初始状态

出发的受扰运动Φ(t;x0,t0)相对平衡状态Xe=0对所有均为有界。ⅱ）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐进性，即成立4、时不变系统的渐进稳定性：时不变系统在平衡状态Xe

的渐进稳定和一致渐近稳定为等价，既有5、小范围和大范围渐进稳定小范围渐进稳定又称局部渐进稳定，其直观含义为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制。大范围渐进稳定又称全局部渐进稳定，其直观含义为不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的7、线性系统的渐进稳定性对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定6、大范围渐近稳定的必要条件：大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。8、渐进稳定的工程含义五、不稳定

称自治系统

的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，§5.3李亚普诺夫第二方法的主要定理

称为二次型矩阵。设是维列向量，则称标量函数称为二次型函数，称正定。若标量函数的定号性称正半定。若若正半定，称负半定。若正定，称负定。若即可正也可负，则称负半定。对于为实对称矩阵的二次型函数的定号性，可用塞尔维斯特准则来判定。负定：二次型函数负定的充分必要条件是的各阶主子行列式满足正定：二次型函数正定的充分必要条件是的各阶主子行列式均大于零，即二次型函数的定号性判别准则正半定：二次型函数正半定的充分必要条件是的各阶主子行列式满足负半定：二次型函数负半定的充分必要条件是的各阶主子行列式满足例试判断是否正定。当正定，称是正定的；当负定，称是负定的；当正半定，称是正半定的；当正半定，称是正半定的；二次型矩阵的定号性二次型函数

与它的二次型矩阵是一一对应的。解：正定，正定。X=0为系统平衡状态，若可构造对x具有连续一阶偏倒数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：ⅰ）V(x)为正定ⅱ)为负定ⅲ)当‖x‖→∞，有V(x)→∞则系统原点的平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。2、李亚普诺夫主稳定性定理二对连续时间非线性时不变自治系统选取氏函数例

系统的状态方程如下，判别系统稳定性。解而将状态方程代入上式，化简后得可见，是负定的，即满足因此，是渐进稳定的。

当有，故系统是大范围渐进稳定的。显然是正定的，即满足X=0为系统平衡状态，若可构造对x具有连续一阶偏倒数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：ⅰ）V(x)为正定；ⅱ)为负半定；ⅲ)对任意非零；Ⅳ)当‖x‖→∞，有V(x)→∞则系统原点的平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。3、李亚普诺夫主稳定性定理三对连续时间非线性时不变自治系统可见，当和任意的时，有而

和任意时，。又因为，只要变化就不为零，因此在整条状态轨线上不会有。例

系统的状态方程为其中，为大于零的实数。判别系统的稳定性。解

系统的平衡状态为

选取李氏函数：显然它是正定的，即满足而将状态方程代入上式，化简后得因此，是渐进稳定的。

当有，故系统是大范围渐进稳定的。若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω和所有t∈[t0,∞)满足如下条件：（1）V(x,t)为正定且有界；

为负定且有界；则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为一致渐近稳定。二、小范围渐进稳定的判别定理1、小范围渐进稳定性定理一对连续时间非线性时不变自治系统（2）若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω满足如下条件：2、小范围渐进稳定性定理二对连续时间非线性时不变自治系统（1）V(x,t)为正定；

为负定；则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为渐近稳定。（2）若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω满足如下条件：3、小范围渐进稳定性定理三对连续时间非线性时不变自治系统（1）V(x,t)为正定；

为负半定；则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为渐近稳定。（2）（3）对任意非零三、李亚普诺夫意义下稳定的判别定理若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω和所有t∈[t0,∞)满足如下条件：（1）V(x,t)为正定且有界；

为负半定且有界；则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为李亚普诺夫意义下一致稳定。对连续时间非线性时不变自治系统（2）1、李亚普诺夫意义下稳定性定理一若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω满足如下条件：2、李亚普诺夫意义下稳定性定理二对连续时间非线性时不变自治系统（1）V(x,t)为正定；

为负半定；则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为李亚普诺夫意义下稳定。（2）例

系统的状态方程为其中，k

为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。解

系统的平衡状态为

选取李氏函数：显然它是正定的，即满足而由此可知，为李雅普诺夫意义下一致稳定。若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω和所有t∈[t0,∞)满足如下条件：（1）V(x,t)为正定且有界；

为正定且有界；则系统原点平衡状态x=0为不稳定。对连续时间非线性时不变自治系统（2）1、不稳定性定理一四、不稳定判别定理若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω满足如下条件：2、不稳定性定理二对连续时间非线性时不变自治系统（1）V(x,t)为正定；

为正定；则系统原点平衡状态x=0为不稳定。（2）例

系统的状态方程为分析系统平衡状态的稳定性。解

系统的平衡状态为

选取李氏函数：显然它是正定的，即满足而所以系统不稳定的。

克拉索夫斯基定理：若即负定，则系统平衡状态x=0为域内渐近稳定，且为系统的一个李雅普诺夫函数。且，，则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。设连续时间非线性时不变系统Xe=0为系统孤立平衡状态，系统雅可比矩阵二、克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基定理：对连续时间线性时不变系统,矩阵A为非奇异，若A+AT为负定，则原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定。

§5.4构造李亚普诺夫函数的规则化方法例

确定平衡状态x=0的稳定性

解为对称负定阵，所以平衡状态x=0是渐近稳定的。平衡状态x=0是大范围渐近稳定的一、线性时不变系统的稳定性判据

[特征值判据二]对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x=0是渐近稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有负实部。§5.5连续时间线性系统的状态运动稳定性判据[特征值判据一]对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态即x=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有非正实部即实部为零或负，且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根。例：已知系统的状态空间描述如下，判断其内部稳定性。

系统的特征值为2，1，不是内部稳定（非渐进稳定）。解：

例：系统状态空间描述如下，判断是否渐进稳定，是否BIBO稳定？

系统的特征值为-4，1，系统非渐进稳定（不是内部稳定）。

解：1、2、系统的传递函数为：系统既约传递函数有负实根，系统BIBO稳定。例

系统的状态方程为其中，k

为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。解：零实部特征值只能为A的最小多项式的单根，系统平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定。[李亚普诺夫判据]对n维连续时间线性时不变系统，原点平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为，对任给一个n×n正定对称矩阵Q，李亚普诺夫方程ATP+PA=-Q有唯一n×n正定对称解阵P。（1）矩阵Q的选取。保证正定前提下可以任意选取，为简化计算通常取为单位阵。（2）李亚普诺夫判据的实质。给出了使矩阵A所有特征值均具有负实部的充分必要条件。（3）李亚普诺夫判据的意义。例

线性定常系统的状态方程为判别系统的稳定性。解

系统的平衡状态为

为简单起见，可以令Q

阵为单位矩阵I。解得有可见，P为正定的矩阵，故为大范围一致渐近稳定的。[李亚普诺夫判据推广形式]对n维连续时间线性时不变系统和任给实数σ≥0，令矩阵A特征值为λi(A),i=1,2,…,n，则系统所有特征值均位于s平面的直线-σ+jω左半开平面上，即成立Reλi(A)<-σ,i=1,2,…,n，的充分必要条件为，对任给一个n×n正定对称矩阵Q，推广李亚普诺夫方程2σP＋ATP+PA=-Q有唯一正定解阵P。第六章线性反馈系统的时间域综合§6.1引言一、综合问题的提法系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标。二、性能指标的类型

三、研究综合问题的思路

四、工程实现中的一些理论问题线性定常系统方程为：假定有n

个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。其中，K

为反馈增益矩阵；V

为p维输入向量。一、状态反馈则有传递矩阵§6.2状态反馈和输出反馈对系统可控性和可观测性的影响线性定常系统方程：引入状态反馈状态反馈后系统方程：三、反馈结构对系统性能的影响定理：线性定常系统引入状态反馈后，不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。证明系统的可控矩阵为：系统的可控矩阵为：令的列是列的线性组合。同理有的列是列的线性组合。以次类推，的每一列都可表示成列的线性组合。所以另一方面，又可看成的状态反馈系统，即同理可得所以系统状态反馈不改变系统的可控性。例

系统的动态方程如下，判断其状态反馈后的可观测性。解：系统状态可观。引入状态反馈，取则状态反馈系统为系统状态不能观测。定理：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。证明系统不完全可控，则一定可通过非奇异变换进行对任意的

对稳定性的影响结构分解，使得§6.3状态反馈极点配置：单输入情形一、问题的提法二、期望闭环极点组1、极点可配置条件2、极点配置算法控制工程中性能指标转化为期望闭环极点组利用状态反馈任意配置极点的充要条件是被控系统可控。证明：充分性：三、极点配置定理若系统可控，则通过非奇异线性变换可变换为可控标准型。定理：对单输入维连续时间线性定常系统其中引入状态反馈引入状态反馈后闭环系统的状态矩阵为若系统不可控，就说明系统的有些状态将不受的控制，则引入状态反馈时就不能通过控制来影响不可控的极点。显然，该阶特征方程中的个系数，可通过来独立设置，也就是说的特征值可以任意选择。引入状态反馈后系统的闭环特征方程必要性：第三步：计算由决定的期望特征多项式，即第二步：计算特征多项式，即四、极