高中数学讲义-复数的乘、除运算

高中数学讲义一复数的乘、除运算

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点I复数的乘法与除法.................................................1

3.知识点2复数的乘除运算公式是什么？.......................................2

4.练习........................................................................3

5.探究点一复数的乘法运算...................................................3

6.探究点二复数的除法运算...................................................4

7.课堂作业....................................................................8

8.课时作业（十七）复数的乘、除运算...........................................9

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.结合多项式的乘法了解复数的理解复数代数形式的乘除运算法则.（逻辑推

水平一

乘法法则.理）

2.能进行复数的除法以及分母实

水平二会进行复数代数形式的乘除运算.（数学运算）

数化.

2.知识点1复数的乘法与除法

1.复数的乘法法则

设zi=a+/?i,Z2=c+di(〃，b,c,dWR),

贝ljzi•Z2=(a+〃i)(c+di)=(〃c-=^)+(。6/++。)1・

2.复数乘法的运算律

对任意复数Zl,Z2,Z36C,有

交换律Z1Z2—Z2Z1

结合律(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3)

分配律Z]⑶+Z3)=Z1Z2+ZIZ3

3.复数代数形式的除法法则

,,a+biac+bd,be-ad

…)-i尸'=壬士"i(a,b,c,d£R,且c+di#O).

f点拨］对复数除法的两点说明

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(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共辄复数C-di,化简后即得结果，这

个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；

(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.

3.知识点2复数的乘除运算公式是什么？

1、加法法则

复数的加法按照以下规定的法则进行：设zl=a+bi,z2=c+di是任意两个复

数，

则它们的和是

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i0

两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部

是原来两个虚部的和。

2、减法法则

复数的减法按照以下规定的法则进行：设zl=a+bi,z2=c+di是任意两个复

数，

则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)io

两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部

是原来两个虚部的差。

3、乘法法则

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设zl=a+bi,z2=c+di(a、b、c、deR)是任意两个复数，那么它们的积

(a+bi)(c+di]=(ac・bd]+(bc+ad]i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得：

ac+adi+bci+bdi2,因为i2=-l,所以结果是(ac—bd)+(bc+ad)i。两个复数的积

仍然是一个复数。

4、除法法则

复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,yeR；)叫复数a+bi除

以复数c+di的商。

运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轨

所谓共朝你可以理解为加减号的变换，互为共貌的两个复数相乘是个实常数。

相关内容说明:

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复数的加法就是自变量对应的平面整体平移，复数的乘法就是平面整体旋

转和伸缩，旋转量和放大缩小量恰好是这个复数对应向量的夹角和长度。

二维平移和缩放是一维左右平移伸缩的扩展，旋转是一个至少要二维才能

明显的特征，限制在一维上，只剩下旋转0度或者旋转180度，对应于一维导

数正负值(小线段是否反向)。

4.练习

1.判断正误(正确的打“，错误的打“义”)

(1)两个复数的积与商一定是虚数.()

(2)两个共规复数的和与积都是实数.()

(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减.()

(4)若Zl,Z2GC,且Z：+Z2=0,则Zl=Z2=0.()

答案：(l)x(2)V(3)V(4)X

2.复数(l+i)2(2+3i)的值为()

A.6-4iB.-6-4i

C.6+4iD.-6+4i

D](l+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.故选D.]

3.在复平面内，复数z=W(i为虚数单位)的共枕复数对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

..__2i______2i(1—i)2i(1-i)_

D1*z=7+l=(1+i)(1-i)=2=1+n

..7=i-i,A7对应的点(i,一i)位于第四象限.]

4.已知复数z满足(l+3i)z=10,则z=.

解析：因为复数z满足(l+3i)z=10,则2=^4=1—3i.

答案：l-3i

5.探究点一复数的乘法运算

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(1)(2019・全国卷H)设z=i(2+i),则z=()

A.1+2iB.-1+2i

C.1—2iD.—■1—2i

(2)若复数(l—i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范

围是()

A.(―0°,1)B.(—8,—1)

C.(1,+°°)D.(-1,+8)

解析：(1),.*z=i(2+i)=—1+2i,z=-1—2i.

(2)(1—i)(a+i)=3+l)+(l-a)i,因为对应的点在第二象限，所以

«+1<0,

L、，、解得。〈一1.

\~a>0,

答案：(1)D(2)B

方法技巧

两个复数代数形式的乘法运算步骤

(1)首先按多项式的乘法展开；

(2)再将i2换成一1；

(3)然后再进行复数的加、减运算，并将其化简为复数的代数形式.

[对点训练]

1.计算：(1—i)2—(2—3i)(2+3i)=()

A.2-13iB.13+2i

C.13—13iD.113—2i

D[(1一讲一(2—3。(2+3。=1-21+12—(4-912)=—13—21故选D.]

2.复数zi=3+i,Z2=l—i,则z=zi•Z2在复平面内的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

D[由题设知z=(3+i)(l—i)=4—2i,在复平面内对应的点为(4,-2),位

于第四象限.故选D.]

6.探究点二复数的除法运算

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(1)(2019・全国卷I)设2=*^,则|z|=()

A.2B.小

C.巾D.1

(2)如图，在复平面内，复数zi,Z2对应的向量分别是为，OB，则复数孑

对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3—i(3-i)(l-2i)l-7i

解析：所以|z|=

(l)'z—l+2i一(l+2i)(l-2i)5

71-----Z------1

(2)由复数的几何意义知，zi=-2—i,Z2=i,所以==一-—=—l+2i,

所以对应的点在第二象限.

答案：(1)C(2)B

方法技巧

两个复数代数形式的除法运算步骤

(1)首先将除式写为分式；

⑵再将分子、分母同乘以分母的共姬复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.

［对点训练］

2阳+i

1.复数z=17(^eR,i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为()

-O

AC.Ba.

1

-1

4

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2m+i(1—2i)(2m+i)2m+2+(1—4/T?)i

「.•复数Z=,=(l—2i)(l+2i)=------------5------------为纯

55

虚数，・.<».m=-1.

〃

H1-—W4?。，

2.已知i是虚数单位，7是复数Z的共舸复数，若(z.z)i+2=2z,则口

在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

A[设z=a+历(a,bSR),则z=a一机由(z・z)i+2=2z,得(/+02)i+

2=2a,a=1,z+12+i

2=2。+2历，解得，z=l+i,：

[a2+b2=2b,力=1，1-i1-i

言-MI44i,•.・言在复平面内对应的点的坐标为&1)，位

于第一象限.]

探究点三复数范围内方程根的问题

在复数范围内解下列方程.

⑴*+5=0；

(24+4x+6=0.

解析：(1)因为f+5=0,所以fn—S,

又因为(小i)2=(一小i)2=-5,

所以x=±\/5i,

所以方程F+5=0的根为i.

(2)方法一：因为£+4%+6=0,

所以(X+2)2=-2.

因为(啦i)2=(—A/2i)2=-2,

所以％+2=6i或X+2=—i,

即x=-2+啦i或x=-2一啦i,

所以方程f+4尤+6=0的根为x=—2±^/2i.

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方法二：由f+4x+6=0知J—42—4X6=—8<0,

所以方程f+4x+6=0无实数根.

在复数范围内，设方程X2+4X+6=0的根为+历（a,且0W0）,

则（。+历）2+4（。+历）+6=0,

所以屋+2〃万一居+4〃+4加［+6=0,

整理得（/一及+4a+6）+（2M+4/?）i=0,

［a2—b2+4a+6=0

所以12H+4b=0,9

又因为0W0,

a2―/?2+4a+6=0,

所以c」

12a+4=0n,

解得a=-2,b=±\［2,

所以x=—2/i,

即方程/+4无+6=0的根为x=—i.

方法技巧

复数范围内实系数一元二次方程的解法

(1)求根公式法

①当心。时，尸土烂逅；

②当/(0时，尸二困一；尸山.

(2)利用复数相等的定义求解

设方程的根为x=〃?+〃i("z,〃eR),将此式代入方程以2+/?x+c=0(aW0),

化简后利用复数相等的定义求解.

［对点训练］

已知x=i—1是方程x2+ax+b=0的一个根.

(1)求实数a,的值；

(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.

解析：(1)把x=i-1代入％2+以+8=0,得(一a+Z?)+(a—2)i=0,.,.a=

2,b=2.

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(2)设另一个根为X2,由根与系数的关系，得i—l+x2=-2,

/•X2=-1—i.

把X2=—1—i代入方程，得(一1—讲+2(—1—i)+2=2i—2—2i+2=0,

故X2=—1—i是方程的另一个根.

7.课堂作业

1.若复数zi=l+i,Z2=3—i,则ziz2等于()

A.4+2iB.24-i

C.2+2iD.3+i

A[ZIZ2=(1+i)(3—i)=lX3-iXi+(3-l)i=4+2i.]

2.在复数范围内，方程21—3彳+2=0的解是()

3+由i3—诉

A・44

4u-4

D[由求根公式，得X=里1.]

3.已知复数zo=3+2i,其中i是虚数单位，复数z满足z-zo=3z+zo,则复

数z的模等于

解析：方法一：由题意可设z=o+bi(a,b£R),则由z・zo=3z+zo,得(3

+2i)(a+bi)=3(。+bi)+3+2i,整理，得(3a—2b)+(2a+3b)i=(3+3a)+(2+

a=1,

3。-2力=3+3。,3

33i,所以解得3故复数z=l—力，它的模|z|=

2a+3b=2+3h,〃=一52

方法二：由z-zo=3z+zo,得z-(zo—3)=zo,所以z=—=丁，则Iz=

2萼=1-|i,所以复数Z的模|才=[12+(一|)=芈或团=|警|=

|3+2i|V13

|2i|-2

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答案:

4.计算:

(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).

2+2i/回20202+2i,(2}1010

解析：⑴TRIP+11+1J=F+W

m1010

=i(l+i)+^J

=-l+i+(-i)1010=-l+i+i=-l+2i.

(2)原式=(4—i)(6—2i)+(7—i)(4—3i)

=22-14i+25-25i=47-39i.

8.课时作业(十七)复数的乘、除运算

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

[A级基础达标]

1.设zi=3—4i,Z2=2—3i,则zi•Z2在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

C[zi•Z2=(3—4i)(2—3i)=6—9i—8i+12i2=16—17i,zi・z2在复平面内

对应的点为(-6,-17),所以zi・Z2在复平面内对应的点位于第三象限，故选

C.]

2,复数(l—i)(l+2i)=()

A.-1B.-i

4.D.|-i

C.51

l-3i

[根据复数的运算法贝可得(

l-i)(1+2+3+i

(l-3i)(3~i)

歹=­i.故选B.]

(3+i)(3—i)

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3.已知a>0,i为虚数单位，ai(a+i)的实部与虚部互为相反数，则a=()

A.4B.3

C.2D.1

D[因为ai(a+i)=a2i+ai2=—a+a2i,又ai(a+i)的实部与虚部互为相反

数且a>0,所以-a+a2=o,所以。=1.]

4.已知复数2=广十门.、2，Z是Z的共趣复数，则Z的虚部等

1—1(1—1)

于()

A.2B.2i

C.-2D.-2i

c「上日卉*,曰2,2212(1+i),.

C[由正思何，Z一口+(1_02一口―：-(j-i)(1+i)+1

=(1+i)+i=1+2i,/.z=1—2i,z的虚部等于-2.]

5.若复数Z=Ry(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数

。的取值范围是()

A.(―0°,—1)B.(1,+°0)

C.(-1,1)D.(—8,-1)U(1,4-oo)

.hh»后a+i(a+i)(1-i)<z+1,1-a.1e.

C[由就思付，z=]+j=(]+j)(]_j)=2--2-L因为z在复

a+l>0,

平面内对应的点在第一象限，所以彳,所以一

1一。>0,

z

6.已知币=2+i,则复数z=

解析：因为许=2+i,所以z=(l+i)(2+i)=l+3i,所以z=l—3i.

答案：l-3i

7.已知i是虚数单位，复数z的共加复数z,(l+2i)z=4+3i,则z=

e山,.-，•一、，-4+3i(4+3i)(1-2D

解析:因为(1+21)z=4+31’所以z=i+2i=(l+2i)—(1—2i)

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10-5i

=5

所以z=2+i.

答案：2+i

8.在复数范围内，方程》2+6尤+10=0的根为x=

解析：因为左一4ac=62—4X1X10=—4<0,

-6±\/-(62—40)i2-6±^i-6±2i

所以X=cxz1=C=o=-3±i

答案：一3±i

9.计算：

(l)(4-i5)(6+2i7)+(7+i,l)(4-3i)；

⑵2++一%:

解析：(1)原式=(4—i)(6—2i)+(7—i)(4—3i)

=24-8i-6i+2i2+28-21i-4i+3i2

=47-39i.

22

(2)原式=2+上(1+i)

一(羊)22

(2i)11

=2+i一_211-

=2+i+i

=2+2i.

10.已知1+i是关于x的方程f+bx+c=0的一个根S，c为实数).

⑴求江c的值；

(2)试说明l-i也是该方程的一个根.

解析：(1)因为1+i是关于x