高中数学高考真题

一.基本原理

1.加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2.乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二.排列：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为

n

1.公式：1.=〃(〃一1)(〃一2).......(〃-式+1)=/几、>l,w>MCN

—mJ.

2M=m=咒8-1)(力-2)・・・21规定：0!=1

(1)H!=71x(n—1)!,(n+1)xH!=(H+1)!(2)〃x〃！=[(〃+1)—1]x〃！=(〃+1)x拉!一〃！=(〃+1)!—〃！：

小n714-1-1n+l111

U/------=-------=---------------=-----------

(〃+1)!(〃+1)!(〃+1)!(/2+1)!n\(〃+1)!

三.组合：从n个不同元素中任取m(m^n)个元素并组成一组，叫做从n个不同的m元素中任取m个元素的组合数，记作Cn。

1.公式：C“'〃A：一n(n—1)....(n-m+1).n!♦之我，匕之1,朗之0,4weN规定：0。=]

11A：m!m!(n-m)!

2.组合数性质：C：=C：TC：+C：f=C；£,C；+C；+……+C：=2〃

①s+婚；③无球="索；④a+a+】+/+…+5=瑞

注：c;+c;+I+c；+2+…C"+C：=c;：；+c;+l+c；+2+…c：T+c=c;：；+c；+2+…C"+c：=c：：：

若C'J=则m1=m2或叫+in2=n

四.处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。

2.解排列、组合题的基本策略

(1)两种思路：①直接法；

②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

(2)分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所

有各类的并集为全集。

(3)分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类,

又要分步。其原则是先分类，后分步。

(4)两种途径：①元素分析法；②位置分析法。

3.排列应用题：

(1)穷举法(列举法)：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2),特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；

(3).相邻问题：捆邦法：

对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

(4)、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相

邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。

(5)、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插

解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

即先全排，再除以定序元素的全排列。

解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右

到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；

(6)“小团体”排列问题一一采用先整体后局部策略

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。

(7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。

(8).数字问题(组成无重复数字的整数)

①能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；

③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。

⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25,50,75。⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。

4.组合应用题：(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：(2).“含”与“不含”用间接排除法或分类法：

3.分组问题：

均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。

非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。

混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。

4.分配问题:

定额分配：(指定到具体位置)即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

随机分配：(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。

5.隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题

例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的

播放方式(结果用数值表示).

解：分二步：首尾必须播放公益广告的有AJ种；中间4个为不同的商业广告有A：种，从而应当填A：=48.从而应填48.

例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？

解一：间接法：即婕一W-6+A：=720—2x120+24=504

解二：(1)分类求解：按甲排与不排在最右端分类.

（1）甲排在最右端时，有A；种排法；⑵甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有种排法，乙有A：种排法，其他人有4：种排法，

共有A：A：A：种排法，分类相加得共有A；+A：A：A：=504种排法

例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？

分析一：先在7个位置上任取4个位置排另生，有A；种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有-1=840

种.

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有口一方一点=70种,选.。

解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有CjC\+=70台，选c.

2.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛・（1）如果4人中男生和女生各选2人，有一种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的

乙必须在内，有一种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有一种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有

种选法.

分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.

解：（1）先从男生中选2人，有种选法，再从女生中选2人，有种选法，所以共有C；C：=60（种）；

（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有C；C；=21（种）；

（3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：C；-C；=91（种）；

直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数++=《+C；+C；=91（种）.

（4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数-C：=120（利.

直接法：分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为C；C：+C；C：+C；C：=120（种）.

1.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）

A.40B.50C.60D.70

仁

［解析］先分组再排列，一组2人一组4人有CS=15种不同的分法；两组各3人共有/=10种不同的分法，所以乘车方法数为25X2=50,故选

n2

B.

2.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）

A.36种B.48种C.72种1）.96种

［解析］恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共吊后=72种排法，故选C.

3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）

A.6个B.9个C.18个D.36个

［解析］注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C；=3（种）选法，即1231,1232,1233,

而每种选择有A：X《=6（种）排法，所以共有3X6=18（种）情况，即这样的四位数有18个.

4.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）

A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人

［解析］设男生有〃人，则女生有（8—〃）人，由题意可得欧'=30,解得〃=5或〃=6,代入验证，可知女生为2人或3人.

5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上•级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（）

A.45种B.36种C.28种D.25种

［解析］因为10+8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有鬃=28种走法.

6.某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分

在同一个部门，则不同的分配方案共有（）

A.24种B.36种C.38种D.108种

［解析］本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组

1人另一组2人，共有C；种分法，然后再分到两部门去共有C据种方法，第三步只需将其他3人分成两组，--组1人另一组2人即可，由于是每个

部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C；种方法，由分步乘法计数原理共有2c捕C：=36（种）.

7.已知集合4={5},8={1,2},£{1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）

A.33B.34C.35D.36

［解析］①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有Ci•A；'=12个；

②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C［•A1+A；=18个；

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有Cl=3个.

故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个，故选A.

8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）

A.72B.96C.1081）.144

［解析］分两类：若1与3相邻，有AQCA舞=72（个），若1与3不相邻有AhA=36（个）

故共有72+36=108个.

9.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，

那么不同的安排方法有（）

A.50种B.60种C.120种D.210种

［解析］先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7）,甲任选一种为C；,然后

在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有解种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法以•用=120种，故选

C.

10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日利2日，不同的安排方法共有一

种.（用数字作答）

［解析］先安排甲、乙两人在后5天值班，有Al=20（种）排法，其余5人再进行排列，有盛=120（种）排法，所以共有20X120=2400（种）安排

方法.

11.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成-列有_____种不同的排法.(用数字作答)

［解析］由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C•点・点=1260(种)排法.

12.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种(用数字作答).

「2r2

［解析］先将6名志愿者分为4组，共有太种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A：种分法，故所有分配

方案有：080种.

As

13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有种不同的种法(用数

字作答).

［解析］5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法.若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法,

'.有4X3X2X(1X2+1XI)=72种.

14.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法

共有

(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种

ri&.=18

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有-石种方法，共有'-种，

故选B.

15.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不

排在10月7日，则不同的安排方案共有

A.504种B.960种C.1008种D.1108种

解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有2x种方法

甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有4A；(A：+种方法

故共有1008种不同的排法

L排列和组合的区别和联系:

名称排歹U组合

一个~从n个不同元素中取出m个元从n个不同元素中取出m个元

素，按一定的顺序排成一列素，把它并成一组

~~数

所有排列的的个数所有组合的个数

符号C：

„„_1)…5­，〃+1)

种数=〃伽一1)…(〃一，〃+D

公式4=仇_而！°!=1

关系

性质G"=c：f图产C'+C'T

全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所

有全排列的个数，即：=77X(/?-1)X(7!-2)•■-X2X1

排列组合二项式定理

1,分类计数原理完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法

(每一种都可以独立的完成这个事情)

分步计数原理完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法

2,排列

_排列定义：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素(被取出的元素各不相同)，按

照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列数定义；从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素的所有排列的个数人：

公式4H,=—规定0!=1

3,组合

组合定义从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素

中取出m个元素的一个组合

组合数从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素的所有组合个数

「，“一加

性质C",rC"~""m_+

CH+IV.xnn

排列组合题型总结

-.直接法

1.特殊元素法

例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

(1)数字1不排在个位和千位

(2)数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：(1)个位和千位有5个数字可供选择,其余2位有四个可供选择,由乘法原理：A；=240

2.特殊位置法

(2)当1在千位时余下三位有Aj=60,1不在千位时，千位有A：种选法，个位有A：种，余下的有A：,共有A：A：=192所以总

共有192+60=252

二间接法当直接法求解类别匕檄大时，应采用间接法。如上例中(2)可用间接法星-2A：+=252

Eg有五张卡片，它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在

一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数?

分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数c；X23X用个，其中0在百位的有X2?X8个，这是不

合题意的。故共可组成不同的三位数c；X23X用-C：X22X用=432

Eg三个女生和五个男生排成一排

(1)女生必须全排在一起有多少种排法(捆绑法)

(2)女生必须全分开(插空法须排的元素必须相邻)

(3)两端不能排女生

(4)两端不能全排女生

(5)如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法

二.插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有4xA；0=100中插入方法。

三.捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种()

,2,某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参

观一天，则植物园30天内不同的安排方法有(-A；；I注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有

其余的就是19所学校选28天进行排列)

四.阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例5某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人，名额分配方案共_种。

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插1去对应一种名额

的分配方式，故有种

五平均分推问题

eg6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？

(1)平均分成三堆,

（2）平均分给甲乙丙三人

（3）一堆一本，一堆两本，一对三本

（4）甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案）

（5）一人的一本，一人的两本，一人的三本

分析：1,分出三堆书（ai,a2）,（a3,a4）,（a5,a6）由顺序不同可以有A；=6种，而这6种分法只算一种分

堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有受注=15种

2,六本不同的书，平均分成三堆有x种，平均分给甲乙丙三人

就有X©种ddc；

3，c\c\c\5,A；CCc；

五.合并单元格解决染色问题

Eg如图1,一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有

种（以数字作答\

分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5.

下面分情况讨论：

4

（i）当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素①③⑤的全排列数A

<o>

（ii）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形（i）类似同理可得A：种着色法.

（iii）当2、4与3、5分别同色时，将2、4;3、5分别合并，这样仅有三个单元格

①④

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有仁■4种方法.

由加法原物口：不同着色方法共有2A+CA=48+24=72（种）

练习1（天津卷（文））将3种作物种植

|1|2|3|4§

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，

不同的种植方法共种（以数字作答）（72）

2.某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3）,现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色

的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）.（120）

图3图4

3.如图4,用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要

求的不同着色种数.(540)

4.如图5:四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相

邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种(84)

5.将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种

(420)

经典排列组合100题

一、填充题

1.(1)设4={3,8},B={8,3x+6},若A=5,则工=.

(2)设4=卜|/一3工+2=0},B={1,a},若A=8,则0=

8

2.⑴卜2--I展开式中1项的系数为

展开式中V项的系数为.

(3)[2/+二丫展开式中常数项为

3.(D(2x+y—z『展开式中项的系数为.

(2)(3x-y+2z)s展开式中，Yy3项的系数为.

4.四对夫妇围一圆桌而坐，夫妇相对而坐的方法有种•

5.{1,2}uAu{l,2,3,4,5},且A有4个元素，则这种集合A有个.

6.从2000到3000的所有自然数中，为3的倍数或5的倍数者共有个.

7.从1至10的十个正整数中任取3个相异数，其中均不相邻的整数取法有种•

8.某女生有上衣5件、裙子4件、外套2件，请问她外出时共有种上衣、裙子、外套的搭配法.(注意：

外套可穿也可不穿.)

9.已知数列(4)定义为["'=3.，"为正整数，求4。。=____________.

[4川=4+2"

10.设A、B.T均为集合，A={a,b,c,d],B={c,d,e,f,g},则满足TuA或TuB的集合T共有

________个.

11.李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌聊天，试求下列各情形之排列数：

(1)男女间隔而坐且夫妇相邻.

(2)每对夫妇相对而坐•

12.体育课后，阿珍将4个相同排球,5个相同篮球装入三个不同的箱子，每箱至少有1颗球，则方法有

种.

13.如图，由A沿棱到G取快捷方式(最短路径)，则有种不同走法•

：WHGc

14.0,LL2、2.2.2七个数字全取排成七位数，有种方法.

//-\10

15.---z展开式中，各实数项和为__________.

(22

16.有一数列㈤〉满足4=1且。用=1+也,〃为正整数，求£(3-*=__________.

3n=l

17.设4={2,4,0+1},B=[-A,a-2,a2-2«-3),已知4cB={2,5},则(4u3)-(AcB)=.

18.把1〜4四个自然数排成一行，若要求除最左边的位置外，每个位置的数字比其左边的所有数字都大或都小，则共

有种排法.(例如：2314及3421均为符合要求的排列)

19.从1到1000的自然数中,

(1)是5的倍数或7的倍数者共有个.

(2)不是5的倍数也不是7的倍数者共有个.

(3)是5的倍数但不是7的倍数者共有个.

20.如图，从A走到3走快捷方式，可以有种走法.

21.1到1000的正整数中，不能被2、3、4,5.6之一整除者有个.

22.将100元钞票换成50元、10元、5元、1元的硬币，则

(1)50元硬币至少要1个的换法有种.

(2)不含1元硬币的换法有种.

23.求(x—I?除/0+1的余式为•

24.在(x+y+zj的展开式中，同类项系数合并整理后，(1)共有个不同类项.(2)其中Fy2z3的系数为

25.小明与小美玩猜数字游戏，小明写一个五位数，由小美来猜;小美第一次猜75168,小明说五个数字都对,但只有

万位数字对，其他数字所在的位数全不对，则小美最多再猜次才能猜对.

26.若S={x[正整船正整敷14x410000},T={x|x=12A:,掇＞正整船1”410000},则

n(5-T)=.

27.小于10000之自然数中，6的倍数所成集合为A,9的倍数所成集合为3.12的倍数所成集合为C,则

(l)〃(Ac8)=.(2)〃(Ac8cC)=.(3)〃[(AcB)uC]=.

(4)〃[AC(3DC)]=

28.1到300的自然数中，是2或3的倍数但非5的倍数有个.

29.(f-2x+2『除以(x—l)3所得的余式为.

30.

如疆1,以五色堡人各癌，每显一色且相郝1S不得同色，刖有

____________槿不同的堡法.(11固定不得旋斡)

31.如图，则

（1）由A取捷^到e的走法有___________a.

（2）由A走到8,走向可以T、f或J,但不可以一,且不可重^走,

划走法有____________a.

32.求（1+/）+（1+/丫+……+（1+力”展开式中产项系数为.

10

33.2（1-％）展开式中/的系数为-

k=0

34.展开（0.99）">=0.a6c4..,则。+人+。=.

35.建中高二教室楼梯一层有II个阶梯，学生上楼时若限定每步只可跨一阶或二阶，则上楼的走法有种

36.利用二项式定理求C：+2S+3C!+……+nC'；,和为.

37.四对夫妇A。、Bb、Cc、加围一圆桌而坐，若Aa要相对且5b要相邻的坐法有种.

38.许多白色及黑色的磁砖，白色的磁砖为正方形，边长为1单位；黑色为长方形，其长为2单位，宽为1单位；则贴

满一个长7单位，宽1单位的长方形墙壁，共有种方法.

39.

如Ifil,有三用且平行每^各有三修直^，即感

（1）可决定____________三角形.法N

（2）可决定___________彳同梯形.（一遽平行，另一^遏不平行）.['

40.小功家住在一栋7楼的电梯公寓，今天小功回家时有5人同时和小功一起进入1楼电梯欲往上，假设每人按下自己

想要到的楼层（可相同或不同），请问电梯有种停靠方式•（假设这期间电梯只会由下而上依次停靠

这6人所按的楼层）

41.设5=。：°+2.仁。+3.6°+……+20.。崇则S为__________位数.（设log2=0.3010）

42.4面不同色的旗子，若任取一面或数面悬挂在旗杆上来表示讯号，如果考虑上下的次序，则可作成种

不同的讯号.

43.

如圈的棋篮式街道，甲走捷^彳您冬,即」

（1）走法有a.

（2）若不得^照且不^涉的走法有®.

45.有红、白、黄三种大小一样的正立方体积木各20个，从中取出7个积木，相同颜色堆在一起，一一重迭堆高，共

有种堆法.

46.2颗苹果，3颗番石榴，4颗菠萝，将9颗水果任意装入4个不同的箱子，水果全装完每个箱子至少装一颗水果有

种方法.（同种水果视为同物）

47.A、B、C、D、E五对夫妇围成一圆桌而坐（座位无编号），A夫妇相对且8夫妇相邻的情形有

种.

48.如图，取快捷方式而走，由A不经产、。至3有种方法.

B

PQ

/LJ____LJ

49.将pa〃，w〃的字母全取排成一列，相同字母不相邻的排法有种.

50.二个中国人、二个日本人、二个美国人排成一列，同国籍不相邻有种排法•

二、计算题

a

1.设数列〈%〉满足4=4且6句=《,+；,〃为自然数，试求⑴/，%，4，生.⑵推测见之值（以〃表示）.

40

⑶Z4•

k=\

2.某校从8名教师中选派4名教师分别去4个城市研习，每地一人.其中甲和乙不能同时被选派，甲和丙只能同时被

选派或同时不被选派，问共有几种选派方法？

3.试求（3x-2y）6的展开式•

4.试求（2x-的展开式.

5.从SENSE的5个字母中任取3个排成一列，问有几个排法？

6.下列各图形，自A到A的一笔划，方法各有多少种？

7.如图，至少包含A或8两点之一的矩形共有几个？

8.设(x+y)”展开式中依x降序排列的第6项为112,第7项为7,第8项为;，试求"y及〃之值.(但x、y都是

正数)

9.红、白、绿、黑四色大小相同的球各4颗共16颗球，任取四颗，则

(1)四球恰为红、白二色的情形有几种？

(2)四球恰具两种颜色的情形有几种？

10.一楼梯共10级，某人上楼每步可走一级或两级，要8步走完这10级楼梯，共有多少种走法?

11.设。={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}为一基集(宇集),则A={1,2,4,5,8),5={1,2,5,7,9),求⑴-5

⑵AcB(3)A-B(4)B—A⑸A(6)B'(7)(AuB)/⑻Ac9(9)(AnB)'(10)A'u5'.

.、［9

1

12.若=\+a}X+^X+..+%38,求4和%的值•

13.某一场舞会将4位男生与4位女生配成4对，每一对皆含一位男生与一位女生，试问总共有几种配对法？

(1)C；.(2)P：.(3)44.(4)”：.(5)4.

14.如图，AfA一笔划的方法数有几种？

(IMOOOQO⑵QO^QO

15.如图，由A至B走快捷方式，不能穿越斜线区，有多少种走法？

16.求(0.998)7之近似值.(至小数点后第6位)

17.设(l+X-f)""=l+or+"2.......+cr2O2,求〃、b、c之值.

18.(1)试证明下列等式成立：?+?+5-+……+%=・(2向-1).

⑵设”为自然数,且满足3与+号+……+急=修则”之值为何?

19.王老师改段考考卷，她希望成绩是0、4,5,6.7,8.9所组成的2位数，则

(1)不小于60分的数有几个？

(2)有几个3的倍数？

(3)改完考卷后发现由小到大排列的第12个数正是全班的平均成绩，请问班上的平均成绩是几分？

20.某日有七堂课，其中有两堂是数学，有两堂是国文，另外是英文、生物、体育各一堂.若数学要连两堂上课，国

文也要连两堂上课，但同科目的课程不跨上、下午(即第四五节课不算连堂)，若第四、五堂课也不排体育，则该

日之课程有儿种可能的排法？

21.(l+x-x2)'01=i+ax+bx2+cx3+..+X2®2,求a、b.c■

22.已知A={0,0,1,2,{1},{1,2}),下列何者为真？

(A)0GA(B)0uA(C)OeA(D)OuA(E){1,2}eA(F){1,2}uA(G){0}uA.

23.

言殳有4、B、C、D、E五彳固市金真，其通道如圈所示，

今某人自A地至W地，同一市金真不得^谩丽次或雨次以

上，且不必走谩每一市金真，求有黑槿不同路^可走？

24.设数列的首项q=5且满足递归关系式《用=a“+(2〃-3)，〃为正整数，试求⑴4，%，-a5•⑵一般项

an(以〃表示).(3)出。.

25.方程式x+y+z=10有多少组非负整数解?

26.用0、1、2、3、4.5作成大于230的三位数奇数，数字可重复使用

（1）可作成多少个？（2）其总和若干？

27.求++…++的值.

28.妈妈桌球俱乐部拟购买8把桌球拍以供忘记携带球拍的会员使用，若球拍分为刀板，直拍与大陆拍3类，试问俱乐

部有多少种不同的购买方式？

29.设直线方程式双+勿=0中的。力是取自集合｛-3,-2,-1,0,2,4,6｝中两个不同的元素，且该直线的斜率为正值，

试问共可表出几条相异的直线？

30.下列各图，由A到8的一笔划，方法各有多少种？

31.以五种不同的颜色，涂入下列各图（图形不能转动），同色不相邻，颜色可重复使用，则涂法各有多少种？

32.平面上有〃个圆，其中任三个圆均不共点，此"个圆最多可将平面分割成”“个区域，贝ij(l)求生,%,%%.⑵

写出S)的递归关系式.(3)求第八项a“(以〃表示)

33.于下列各图中，以五色涂入各区，每区一色但相邻不得同色，则各有几种不同的涂法？(各图固定，不得旋转)

34.车商将3辆不同的休旅车及3辆不同的跑车排成一列展示.求下列各种排列方法:

(1)休旅车及跑车相间排列.(2)休旅车及跑车各自排在一起.

35.从6本不同的英文书与5本不同的中文书中，选取2本英文书与3本中文书排在书架上，共有几种排法?

36.将9本不同的书依下列情形分配，方法各有几种？

(1)分给甲，乙，丙3人，每人各得3本.

(2)分装入3个相同的袋子，每袋装3本.

(3)分装入3个相同的袋子，其中一袋装5本，另两袋各装2本.

37.学校举办象棋及围棋比赛，已知某班级有42位同学参赛，其中有34位同学参加围棋比赛，而两种棋赛都参加的同

学有15人.试问此班有多少位同学参加象棋比赛？

38.求任+》+1丫的展开式中产的系数.

39.求(/-x+2)3的展开式中/的系数.

40.求240的正因子个数.

41.自甲地到乙地有电车路线1条，公交车路线3条，自乙地到丙地有电车路线2条，公交车路线2条.今小明自甲地

经乙地再到丙地，若甲地到乙地与乙地到丙地两次选择的路线中，电车与公交车路线各选一次，则有几种不同的

路线安排？

42.某班举行数学测验，测验题分A,3,C三题.结果答对A题者有15人，答对5题者有19人，答对C题者有20

人，其中A,3两题都答对者有10人，B,C两题都答对者有12人,C,A两题都答对者有8人，三题都答对者

有3人.试问A,B,C三题中至少答对一题者有多少人？

43.在1到600的正整数中，是4,5和6中某一个数的倍数者共有几个？

44.

用黑白雨不重颜色的正方形地碑依照如右的规律拼圈形：LJLJ

nMcn।□M□■u■■।

言殳。“是第”BI需用到的白色地碟现敷.Inn11门门门

(1)瘾下数列〈凡〉的遮退系式.第i圈第姻第胭

(2)求一般工国/,,•

⑶拼第95圜需用到黑境白色地碑.

45.欲将8位转学生分发到甲，乙，丙，丁四班•

(1)若平均每班安排2人，共有几种分法？

(2)若甲乙两班各安排3人，丙丁两班各安排1人，共有