高考导数含详细解答

导数与其应用

导数的运算

1.几种常见的函数导数：

①、Cf=___(C为常数)；②、(Xn/=____(neR);③、(sinx)'二;④、(cosx)r-;

xrr

⑤、(a/=；⑥、；⑦、(logax)=；⑧、(lnx)=.

2.求导数的四则运算法则：

(M±V)，=M，±V/；(UVy=u'v+UV'.(-Y=111~1<V(v^O)注：①”/必需是可导函数.

VV

3.复合函数的求导法则：<'(9(幻)=广(〃)・“。)或义,=>“'・/

一、求曲线的切线(导数几何意义)

导数几何意义：/'(%)表示函数y=/(%)在点(/，/(%))处切线L的斜率；

z

函数y=/(无)在点(xQ,/(x0))处切线L方程为y-/(x0)=/(x0)(x-x0)

1.曲线।在点1」处的切线方程为()。

A:/<-'B:一，--"C:"D:，I""。

答案详解B正确率：69%,易错项：C

解析:本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以与直线方程的求解。

对“球导得’」打,代入，-।得「-即为切线的斜率，切点为10所以切线方程为

%&-JJ..&.唧，一故本题正确答案为B。

曲线"=/_1+3在点(1.3)处的切线方程为

2.

变式一：

3.设函数/(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(l,g⑴)处的切线方程为y=2x+l,则曲线y=/(x)在点

(1"⑴)处切线的斜率为()

A.4B.--C.2D.--

42

4.已知函数/(x)在R上满意/(x)=2/(2-x)-f+8x-8,则曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程是

()

A.y=2x—1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3

变式二：

5.在平面直角坐标系my中，点P在曲线C:y=/-10x+3上，且在其次象限内，已知曲线C在点P

处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.

6.设曲线丫=1用(〃€“)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x“，令a,=lgx“，贝I」

q+/++%g的值为•

7.已知点P在曲线上一上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是

e+1

A、［0,彳)B、弓,£)C、D、畔㈤

442244

变式三：

8.已知直线y+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为()

A.1B.2C.-1D.-2

9.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=/和y=/+-X-9都相切，则a等于

4

()

A.-1或-"B.-1或&C.或-"D.-Z或7

6444644

|(_£\

10.若曲线y=在点a,a%处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则。=

\7

A、64B、32C、16D、8

11.(本小题满分13分)设/(x)=ae*+」—+仇a>0).(I)求/(x)在［0,+00)上的最小值;

aex

()设曲线y=/(x)在点(2"(2))的切线方程为y=gx；求a,b的值.

12.若曲线=存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.

二、求单调性或单调区间

1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数y=/(x)在某个区间D内可导，

假如广(X)>0,则y=/(x)在区间D上为增函数;

假如广⑶<0,则y=f(x)在区间D上为减函数;

假如/'(x)=0恒成立，贝h，=/(x)在区间D上为常数.

2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式尸(幻>0的解集与函数y=/(x)定义域的交集，就是

y=/(x)的增区间；不等式((x)V0的解集与函数y=/(x)定义域的交集，就是y=/(x)的减区间.

1、函数/(x)=(x-3)e*的单调递增区间是()

A.(-oo,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+oo)

2.函数/(尤)=》3-15f—33X+6的单调减区间为.

3.已知函数蹲入吗：啰.加R,探讨1，的单调性。

.g,j出Wli

答案详解由题意，/一的定义域是“J,所以有行精⑺；嚏“之f，；二.‘。设%始・『，心”，

二次方程的......判别式、"■、。

1当我,』才七噌工即“丁二时，对一切，。都有/，。。此时，/「在力—、上是增函

数；

2当、-，.、-，时，/，.;“，此时/，在，-X上也是增函数；

M,*■:：，产£:'r十喉’#

⑧当4=。2-8＞。,。＞。，即…？Q时，方程也一有两个不同的实根，隗-'F一f

II八-：ZJo

.叫,1瓢3%令咽4.1

此时/，在&1，上单调递增，在“?.:、，上单调递减，在”!＞.”城:上单

调递增。

解析:本题主要考查导数在探讨函数中的应用。

本题的难点在于参数分类的探讨，如何做到不重不漏。

首先在定义域的状况下，对函数求导，在求极值的过程中，会涉与到二次方程的根个数问题，

要针对判别式△进行分类探讨，在极值为两个的状况下，探讨其与定义域的关系，并依据导数与函

数增减性的关系，列表求得函数增减性。

4.已知函数,点如_:山£普/%?粕三。(I)当“-」时，求曲线。=/，,在点「,，处的

2

切线的斜率；(II)当"一:时，求函数/2的单调区间与极值。

答案详解(I)当“，时，，，-「，0凝#,故/।一。所以曲线，/“在点「1处

的切线的斜率为L。

(II)，过：，&“一&-出也"一心*。令/u=3解得，-或，"由一.知，■'■,-o

以下分两种状况探讨：

(1)若”1,则一“"-工当，•改变时，厂，L，的改变状况如下表：

所以/，在：工女如过。金内是增函数，在内是减函数；函数/(」在，处取得极大

值/,“，且£,/能产；函数八在，-”二处取得微小值…且在禽点，遇K。

(2)若“则二“”工当「改变时，1，的改变状况如下表：

所以…在：&aMS&4：4内是增函数，在--内是减函数；函数，I在，-处取得极大

值/「？，且注-哈侬-逐皆i；函数/，在」-处取得微小值/一，且产啮：心

解析:本题主要考查利用导数推断函数单调性。

(I)求出这种状况下，函数在，1处的导数，即为切线斜率。

(II)首先求解出极值，然后对参数进行分类探讨，运用列表法，对函数和导数列表，列出函数的

单调区间和极值。

三、求函数的极值与最值

1、极值的判别方法：当函数/(x)在点X。处连续时，

①假如在X。旁边的左侧尸(幻>0,右侧((幻<0,则/岛)是极大值；

②假如在X。旁边的左侧/(x)<0,右侧/(x)>0,则/(X。)是微小值.

也就是说X。是极值点的充分条件为X。点两侧导数异号，而不是尸(x)=o.

2、最值的求法：求f(X)在［a,6］上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求f(%)在区间(a,6)内的极值(极大值或微小值)；

(2)将y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(6)比较，其中最大的一个为最大值，

最小的一个最小值.

注：极值与最值的区分：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行

比较.

1.设函数/(x)=xe*,贝I」()

A.x=I为/(x)的极大值点B.x=l为/(x)的微小值点

C.x=T为/(x)的极大值点D.x=T为/(x)的微小值点

答案详解D正确率：53%,易错项：B解析:本题主要考查函数极值的计算。

令导函数打去门由叶必？F求得，-.，且/「在八一h上小于零，在I八上大于零，则八在

-xT上单调递减，在(-L+Z上单调递增，，=T为的微小值点。

2.函数/。)=d—3d+1在*=处取得微小值.

3.(本小题满分13分，(I)小问6分，(II)小问7分.)

1Q

设/(x)=nlnx+—+-X+1,其中曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线垂直于y轴.

2x2

(I)求。的值；(H)求函数/(x)的极值.

4.(本小题满分13分)某商场销售某种商品的阅历表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)

与销售价格x(单位：元/千克)满意关系式y=，-+io(x-6)2,其中3〈底6,a为常数，已知销

x-3

售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

(I)求a的值.

()若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利

润最大.

5.请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为60博的正方形

去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折

个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形态的包装

被切去的一个等腰直角三角形斜

边的两个端点，设AE=F3=x(cm).

(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(M?)最大，试问x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V(c、m3)最大，试问x应取何值？并求出此

时包装盒的高与底面边长的比值.

答案详解(1)岁4六景:,登涵,入园&&巧工：，所以‘一1"

时侧面积最大。

(2)>=阿呼画一")=4、'所以铲"随觊趟•-乩当0<时，I递增,

当川•呻寸，।递减，所以，当，小时，I最大。此时，包装盒的高与底面边长的比值为

解析:本题主要考查函数和配方法求函数最值的方法。

(1)由图写出侧面积•、的函数表达式，再对表达式化简、配方，即可求得、取最大值对应的，值。

(2)由图写出容积的函数表达式，再通过对函数求导，推断函数的单调性，从而求得',取最大值

对应的，值，再求解高与底面边长的比值即可。

四、推断函数的零点

1.函数f(x)=2'+3x的零点所在的一个区间是

A.(-2,-1)；B.(-1,0)；C.(0,1)；D.(1,2)

答案详解B正确率：64%,易错项：C解析:本题主要考查连续函数的性质。

由于连::一夕.祕是连续函数，且在XX上单调递增，依据零点旁边函数值符号相反，可采纳代

入解除的方法求解。

A项月,电k3”军用工'•工故A项错误；

B项，\冰干知胃:口之，则零点定理知小有零点在区间：1.上，故B项正确；

C项核X公"电2各二？"故C项错误；D项Q!，厩噬；，心.汾“，故D项错误。综上所述：符合

题意的是B项。故本题正确答案为B。

2.设函数f(x)=gx-lnx(x>0),则y=/(x)()

A.在区间d,1),(1,e)内均有零点；B.在区间e)内均无零点；

ee

C.在区间(1,1)内有零点，在区间(l,e)内无零点；D.在区间(1,1)内无零点，在区间(l,e)内有零点.

ee

答案详解D正确率：33%,易错项：C

解析:本题主要考查导数的应用。

/一定义域为“先对/(」求导，f~解得/"在单调递减，「、单调递增。探讨

‘上，在其上单调，转Akf/T故八在''上无零点；探讨1”上，八)在

其上单调，“一I；r故/"在人，上有零点。

故本题正确答案为Do

易错项分析：零点存在定理不熟识导致易错；零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的零点问

题，局限于推断在给定区间是否有零点，而对于在给定的区间有多少个零点却无法处理。

3.已知函数y=x—3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c=

A.-2或2；B.-9或3；C.-1或1；D.-3或1

答案详解A正确率：53%,易错项：C解析:本题主要考查导数在函数中应用。

对函数.，；，求导，得到函数的增减性和极值，作出函数图象。由图可知，当函数取极大值和

微小值时，有两个横坐标与之对应。极大值为2,微小值为一2。可知■二二，工土工

故本题正确答案为A。

4.16分)若函数y=/(x)在x=x0处取得极大值或微小值，则称与为函数y=/(x)的极值点.已

知a,。是实数，1和-1是函数/。)=第,+加+法的两个极值点.

(1)求〃和。的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)=/(x)+2,求g(x)的极值点;

(3)设〃(x)=/(f(x))-c,其中ce|-2,2],求函数y=/z(x)的零点个数.

答案详解(1)由题设知$品红：&且兴百之，必和W,您：：.4.短”解得，

(2)由(1)知跄3，产区,因为推：：：％&i炉*所以」,的根为，

于是函数R，的极值点只可能是1或-二

当，一时，<>,

当一Lr1时，…I3故2是小的极值点，

当2'1或，I时，3故1不是心的极值点，所以小的极值点为工

(3)由(1)知/£：•：+'*逐，其函数图象如下图所示，

先探讨-,(”-"-2.2])的零点，即.-/，与，-〃的交点的个数：

J=?时，由图象得”‘-一■的零点为一味吟

时，由图象得;'一/,「1’的零点为「二和I

时，由图象得*"•的零点为、二，。，v3.

■邙寸，由图象得」，的零点分别在\'-L,I-1三个区间内；

-？”“时，由图象得=-'的零点分别在一「；，"■»>,】•、、三个区间内。

令；'「，现在考虑八处,奴f一口)的零点：

当时，川)，有两个根1和?，而川I有三个不同的根，分别在，一，"-1,二、；；三个

区间内，八，一」有两个不同的根-1和2,故，=，」有一，个零点。

当一一时，””「有两个根一和I,而1有三个不同的根，分别在v工-1,-1','彳」I三个

区间内，八-［有两个不同的根印11,故.，厂有1个零点。

当，•时，/")・c有三个不同的根力，吟包满意乩|<2,，・】，2,3,而加)(i-1,2,3)有

三个不同的根，故，"有9个零点。

综上可知，当『-」时，函数一，有;个零点；当。」时，函数,有9个零点。

解析:本题主要考查导数在探讨函数中的应用。

(1)对函数求导，代入极值点使该点处导数值为“，得到关于“/的方程组，解出“5的值。

(2)由(1)问所得的片::,盾'•迄，求出”「的表达式，令其等于。求极值点。验证极值点真假后

列出结果。

(3)先结合图象分类探讨-，「一口-一二)的零点，再令/，一，,分类探讨玄，添3(-")

的零点。

五、导数与图像

1.函数〃%)=依"'(1一%)”在区间［0,1］上的图象如图所示，则人〃的值可能是

A.m—\,n=\B.m=\,n=2C.m——\D.m—3,n—\

2.若函数y=/(x)的号用契在区间团向上是增函数，则函数y=/(x)在区间团向上的图象可能是

()

A.B.C.D.

3.【2010江西理数】如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时

刻五角星露出水面部分的图形面积为S⑺(S(0)=0),则导函数y=S«)的图像大致为

六、导数与不等式

利用导数求解(证明)不等式主要方法是：将不等式f(x)2g(x)左右两边的多项式移到一边，构

造出一个新的函数/(x)=f(x)-g(x),通过对/(x)求导，依据尸(x)的大小和导数的性质，结合已知条

件进行求解或证明.

1.若〃力=》2-2x-41nx,则/<x)>0的解集为

A.(O,4W)B.(-1,O)U(2,4W)C.(2,4W)D.(-1,0)

答案详解C正确率：50%,易错项：B解析:本题主要考查导数的运算和不等式的解法。

本题的易错点是简洁忽视函数的定义域。

/，的定义域为{r1,:曲心4，r,/，：0即

it?."-4。

2

*'-JrJr\\rUn[]IIJ2}J”,结合'㈠解得'-o

故本题正确答案为c。易错项分析：本题的易错点是简洁忽视函数的定义域，忽视在对数函数中真

数要大于。的隐含条件，从而在解不等式时出现负数，使函数没有意义，这是解对数不等式以与对

数函数有关的问题时常见的错误。

2.函数f(x)的定义域为R,/'(—1)=2,对随意xWR,f'(x)>2,

则f(x)>2x+4的解集为

A.(—1,1)B.(—1,+oo)C.(—00,11)D.(—00,+00)

3.本小题满分12分)设函数f(x)=《(D求函数/(x)的单调区间；

X

(2)若上〉0,求不等式/'(x)+Z(l-幻/(幻〉0的解集.

4.设函数*…必就处的有两个极值点，,、且，!.<»,l-'o

(1)求以「满意的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满意这些条件的点”和区域；

(2)证明：施3却区32

答案(1)宠心Q.的.方,依题意知，方程/，有两个根，、且工”头孙…八岗等价于

f1I,f'“1,rm*,/"o由此得〃，•满意的约束条件为

满意这些条件的点，一的区域为图中阴影部分。

(2)由题设知：

池小湿门脸故也…‘豁门，于是函2说.姆二皿二’;哀•的，

1rlV1

由于小ii，而由(I)知，",故"叫通出Ft虱

■■■II

又由(1)知2，，所以&不书近弓'工

解析本题主要考查导数、线性规划以与方程根的综合运用。

(1)本题应当依据先求出八一的导函数，然后再利用二分法得到关于，”三个参量的不等式，进而

便可得出入的取值范围，进而便可作出满意这些约束条件的平面区域。

(2)该题主要利用已知条件，将〃」表示为，与其他参量的等式，并利用，,13,便可得到八，的

大致范围，再将其他参量的取值范围代入该式，便可得到欲证结论。

5.(本题满分12分)设函数/(xbf+a/Ml+x)有两个极值点玉、马,且不</

(I)求“的取值范围，并探讨了(x)的单调性；()证明：〃w)>匕券

解：(I)r(x)=2x+-*+2x+"(x>-l),令g(x)=2/+2x+a,其对称轴为x=—,.

1+x\+x2

由题意知和々是方程g(x)=。的两个均大于T的不相等的实根，其充要条件为,=4-8。>0,

[g(-1)=。>0

得0<a<g⑴当xe(-l,xj时，/(力>0,,/。)在(-1,王)内为增函数；

(2)当xe(X|,X2)时，/'(x)<0,:J(x)在(王,々)内为减函数；

(3)当xw(2+8)时，r(x)>0,；./(x)在(2+8)内为增函数；

2

()由(I)^(0)=a>0,/.-1<x2<0,a=~(2X2+2X2)

设〃(x)=%2~(2x2+2x)/n(l+x)(x>—,

则Ar(x)=2x-2(2x+1)加(1+%)—2x=—2(2x+l)Zn(l+x)

(1)当xe(-；,0)时，〃(司>0,；/0)在[-；,0)单调递增；

(2)当时，/(x)<0,力⑴在(0,+oo)单调递减.

.,.当xw(-\,0)时,〃(x)>/z(-g)=।：n2,故/伍)=人⑺>1j〃2.

6.(本小题满分12分)已知函数f(x)L2—+(a—l)inx,a>l.

2

(1)探讨函数/(x)的单调性；(2)证明：若。<5,则对随意占，/€(0，+8)，产2,有

------------>—1.

X,-x2

解析：⑴/(X)的定义域为(0,+00)./,(力X-4+吧=-一'+"l=(x—g+”“)2分

XXX

(i)若=即a=2,则/'(力=三上，故/(x)在(0,+8)单调增加.

()若。一1<1,而a>l,故1<"2,则当xe(a-1,1)时，/(x)<0；

当XG(0,4-1)与XG(1,+8)时，f(X)>0

故/(X)在(0-1,1)单调削减,在(0,。-1),(1,+00)单调增加.

0若即a>2,同理可得/(x)在(1,a-1)单调削减，在(0,1),(a-1,+oo)单调增加.

(2)考虑函数g(x)=/(x)+x=gx?-ar+(a-l)lnx+x

则g'(x)=x-(a—l)-i----->2^xg———(«—1)=1—(Ja-1-1)-

由于l<a<5,故g[x)>0,即g(x)在(4,+8)单调增加，

从而当司>々〉0时有g(X|)_g(M)>0，即/(Xi)_/(x,)+%—再>0，故"、)—,当0<X]<x,

x,-x2

时，有f-f(&)_f-f(%)>一]........12分

x,-x2x2-x,

7.(本小题满分12分)已知函数/(x)=(d+3x2+ax+b)er

(1)如a=Z?=-3,求f(x)的单调区间;

(2)若/a)在(-8,a),(2,尸)单调增加，在(a,2),(△用)单调削减，证明力—a<6.

(1)/(x)在(-co,-3),(0,3)单调增加，在(-3,0),(3,+8)单调减.

(2)f'(x)=-(x3+3x2+ax+h)e~x+(3x2+6x+d)e~x=-e~x[x3+(a-6)x+b-a].

由条件得：/(2)=0,即23+2(a—6)+6—a=0,故b=4—a,

从而尸(x)=-e-[1+s-6)x+4-2a].因为/(a)=/3)=0,

将右边绽开，与左边比较系数得，a+/?=-2,矽=a-2.故9—a=J(£+a)2—4a#=J12—4a.

又(4一2)(a—2)<0,即必一2(a+尸)+4<0.由此可得a<—6.于是夕—a>6.

8.(本小题满分100分)已知函数/，满意；射―琮辂**岁%*演。(I)求/1的解析式与单

n

调区间；(II)若悔怨沙‘二必求”的最大值。

答案详解(I)欣〜产清’■熟:演李翼号烈旷7黑十鸳

令•»•一1得：”「=1。

得：般…"12』心,#-"噬,

康,田：嘏泥r-gm在rtR上单调递增，

rl

得：/，的解析式为:国…才£」声，且单调递增区间为山、,单调递减区间为、”。

V|

(n)檎白浮，二如-'玄，卡-的一:%:蝌嘤7-之：也

①当〃,‘“时，’".」在…R上单调递增，1•-时，hr•x与儿/。冲突;

1111

②当U.1H时，'''，.JI"•1,''I'•，IL•1,

得：当丁，Lm-11时，？；弱Ha%：:心&*1注康:4：•?油,

令?凡n必¥」：；则依晟：「&*世,’14,

搏a%•近泡：々如融*,■然蓝HieU＞，品，当，-、时，浮为：»3，；

当岩展一/F寸，3的最大值为，。

解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性，利用函数单调性求极值。

(I)先对函数求导得/'o当/'»，时，/,单调递增，求得的，的取值范围即为单调增区间；当

f'"时，/…单调递减，求得的，的取值范围即为单调减区间。

(II)构造函数率*6.：%:，求导得沙发厂产•之；式。探讨在不同〃取值的状况下函数1.的

单调性，通过求得函数/-的极值，求得关于“」，表达式的取值范围，再构造函数/」求导取极值,

得出'3的最大值。

9设连::一二心：电：也,显w为常数匕曲线—，，与直线厂‘在点相切。

(1)求”,，的值；(2)证明：当。附，‘支‘土^二,。

答案详解(1)由，=/•的图象过S。点，代入得--1。

*Ji•।...学，

由，-/.•在，，…处的切线斜率为"又％Z；%J二氯，曲：：:2.:得，-。。

(2)由均值不等式，当，。时,眼:石匹而而打仆，电:岂故'

记姆二刚;力，则

令匕励r装,即,-5选：则当02时,口£：必「小”•图三市二。

因此，,，在心内是减函数，又由JL•，得W3所以'",

因止匕一在，U内是减函数，又由‘，，，得，，1”，

于是，当0＜「二时，声W言。

解析:本题主要考查导数的应用与不等式的证明。

（1）由，,/，与直线"=I在点””相切得”过点也川，且'"一I,解方程即可求出“，包

（2）令防出一三烫留意到’一「，可考虑证明"单调递减。对。求导数，通过推断，的

正负探讨；，的单调性。

解读其次问欲证的不等式为：52mr%藻,一般来说，我们的思路是证明（记

，父tN—#；・扁心）।，必，一，，然而对本题来说可能比较困难，函数式掺杂了

对数和根式，求导计算会比较麻烦，于是我们想到放缩。则如何放缩呢？对数求导明显比根式求导

后的式子简洁，于是我们考虑放缩根式，且放缩到求导后形式简洁的式子，一次函数是个志向的函

数，这时，想到切线正好是一次的，且不会放缩的过大，于是我们取根式在，।处的切线方程

一（切线方程是个有力的放缩武器），接下来的证明就非常自然了。假如不用放缩法，也可

麟,声一・旅

以化简该不等式，用换元法。我们取、-1，，则1/，不等式化为愀嘀…

即.”,・眸1前1年k八，求导得,窑’力.坐滑，留意到一I时该式子为零，故有，】这个因

式，通分后对分子因式分解得33%如匕往或:，有

小.啦♦二%蛇134点一窘•券姓寓可得导数小于零，从而不等式获证。

-卜匕•（“a

10.（本题满分100分）已知函数妇障J'W（上为常数，，-'1-＞是自然对数的底数），曲线

.，一在点L川处的切线与•「轴平行。（I）求r的值；（H）求小的单调区间；

（III）®MFg第曾，其中为为/，的导函数，证明：对随意，"，一-；

答案详解（I）由&您I•心，得.团，一一、，由于曲线-/，在I/」处的

切线与，轴平行，所以/1「，因此：1。

（II）由（I）得¥6尸3,…八，

令晨3匹nU,.出，.，当，，3.1时，',；

当,,，i.八，时，，,一又，，",所以…时，/-It；，nn时，fn'＞；

因此/…的单调递增区间为“」，单调递减区间为1-工。

(III)因为盘信此广沪&：,所以*沁7%♦，玄有，—一、％

因此对随意，，，・，：一等价于‘一47出心*司亦心,二

由(n)室j”士:他，1所以上逑1•1二3凯.却心尸i,。

因此，当，，一•时，「一1，”单调递增；当「一，一、时，",川，单调递减。

所以'1的最大值为，•r-！-，，，故1-，-，51+'o

设侬/乩.蛇因为湍装-科小，所以，-八时，，-3一单调递增。

血法鼠法定，故，「、时，卷心，*后』和工即，.1

所以J1L,E.M*飞与沁广，因此对随意，＞0,

解析:本题主要考查函数的求导和求解函数单调区间。

(I)先对函数求导，得导函数八，，代入切点的横坐标值，即/'1一，可求得〈-I。

(II)由少晟i厘，一―一这时不能干脆推断J，的正负性，先令治必不山外，一一、，

通过求导推断该函数的单调性，然后可推断得当，一匕1时，""；当，」时，一一从

而推断出的正负性，即/(/的单调递增区间为"1,单调递减区间为」-一J。

(III)由题途沁.「初£蚊，--、，可先将所证等价转化为证明

分析函数密疝中山外，人，求导推断其单调性求得「」-小」""，而」,,则

—A加旭37“法*'7；故得证对随意，",1-。

七、求参数范围

1.(本小题共13分)设函数/(x)=x*(攵。0)(I)求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；(II)

求函数/(X)的单调区间；(III)若函数/(x)在区间内单调递增，求&的取值范围.

(I)y=x；(II)由/'(%)=(1+Ax)e"=0,得x=-■L(-rO),

k

若左＞0,贝I」当xe18,-：)时，f(x)＜0,函数/(X)单调递减，

5+ooJ时，/(x)＞0,函数〃x)单调递增,

当xe

若女<0,则当》4-00,-£)时，/(x)>0,函数单调递增，

当xe,J+8,)时，/'(x)<0,函数/(x)单调递减，

(III)由(H)知，若％>0,则当且仅当--1,即心1时，函数/(x)(—l,l)内单调递增，若女<0,

则当且仅当-即左NT时，函数〃x)(-l,l)内单调递增，

综上可知，函数/(x)(-1,1)内单调递增时，k的取值范围是[-1,0)30』.

2.()设/(x)=—J,其中a为正实数(I)当a=3时，求的极值点；

\+ax3

(II)若/(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.

(I)当a=g时，令/。)=0,贝Ij4f—8x+3=0.解得玉=看々=3,

列表得

/1、2_2

X(-8,5)

24》2

f'(x)+0—0+

f(x)/极大值微小值/

，X1=3是微小值点，X,=1是极大值点.

2-2

(H)若/(x)为R上的单调函数，则/(X)在R上不变号，结合/'(x)=e'与竺:竺与条件a〉0,

(1+ax)

知I以2一2办+120在R上，恒成立，因此△=4/—4a=4a(a—1)40.由此并结合a〉0,知0<a4l.

£制f『崎收

3.已知函数&'轨1，7二，曲线在点―I处的切线方程为，

(I)求“、力的值；(H)假如当，",且，1时，好《热12

求，•的取值范围。

4fti帖闻<■|fIAIA-.U

[)出花”中，由于直线J，幼•；”的斜率为，且过点11,故'峭演：即

1一1.

■乙」Y,解得“1,-u

所以八,一后(上一1)(/一1)

(n)由(I)知熟制\.T

考虑函数/""@一号"％・仁，财侬RT臂心的

4i卡i」卡

(i)设，",由;,日I通知，当,h1时，，」,,O而，I-",故当/一L1时！

JI

可得当，I.八时，，「3可得L；：,<1；从而当，1,且，附，

「,.：'ix公.b*/'j

皿%即.:「k

()设IA1。由于当'」\,时，BT如叶；；•%¥%故I'”，而/I-、故当1；.

I

时，，”可得一丁，，“。，与题设冲突。

1

()设、1。此时厂”「，而'llL故当」—.7时，-1。，可得1一而一；(，与题

设冲突。综合得，，的取值范围为-X(%

解析:本题主要考查函数求导和函数的单调性，以与分类探讨思想。

(I)先对函数/「求导，将点1/1代入到导函数,得出斜率，又h在直线上，从而得到

两个方程，联立解得，/的值。

(H)本问为不等式与函数的问题，要进行分类探讨，探讨时应留意不要漏状况。首先将不等式转

....n二;9Xi.门,27豺77

化为求函数极值。即将不等式右边式子左移，得/‘4♦%小"正•”1-探讨函

•<•忘Ki』'；♦

数？:总印『.」"一二.诵狄、，这里应留意，的取值范围。通过分类探讨可得〃取值范围为।x.Ho

解读

本题(2)中，若干脆对作差后所得的函数求导，形式繁杂，且不易得出导数零点。由于只是推断

函数的正负号，可以提出I'一，这样，余下的部分的求导变得简洁可行，且二1一的正负简洁推断。

4.本小题满分100分)已知函数强CcL-M•季。(1)求/，的单调区间；

(2)若对于随意的，一”.+、，都有小；,求'的取值范围。

答案详解

VI・

(1)/戡b.蹿3空以。令/(]-(),得，山。当；，叩寸，小与/।的状况如下：

所以，的单调递增区间是。，和单调递减区间是kJ

当AU时，与/'，的状况如下：

X(一8,k)k(k,-k)-k(一k,+oo)

f(x)—0.0—

f(x)极小值/极大值

所以，的单调递减区间是江和5单调递增区间是，,。

*■w*j

(2)当人।时，因为咚•士牛飞曲表士,所以不会有宝£工.对i,'',0当八，时，由(1)知"

上覆,1)3萨1I

在，.D上的最大值是*味。，所以次为心淞;%等价于如斗力嗔笠；解得，入二

解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性问题。

(1)先对函数求导得川，当/，(时，”单调递增，求得的「的取值范围即为单调增区间；当

/''时，/「单调递减，求得的「的取值范围即为单调减区间。

(2)利用函数的单调性，求得人「的最大值，代入不等式，即可求得公的取值范围。

5.本小题满分12分)已知函数睾'13证心•；.；；，“，其中，“，

(1)若八「在，一处取得极值，求“的值；(2)求/一的单调区间；

(3)若/(，•的最小值为1,求।的取值范围。

・rr.*-I，目炉'%％_工一1一・口二必?

答案详解(1)因为母「吟曲："：斗麻,所以:翁I淑痴「'石处工厂加，・语,又〃在

■：知》的Lj

，-I处取得极值，所以你个九-,丁金1—1。

(2)令晟虢*5,,通；心产屿扇二'；％・心为机:然如唱一”

2-A

当，“，即“」时，。在定义域内恒成立，所以函数在E+J内单调递增；

2-a•:«.行,一曲.

当，“，即，？时，在区间、山并飞7；内/，",函数递减；在区间E小：•二以内/，

函数递增。

■盛，一,

综上所述，当“时,函数在区间」、内单调递增；当”“［时，函数在区间3内单调递

减，在区间:精”;;工式内单调递增。

(3)当，，？时，函数在区间”•+＞内单调递增，此时势金温.•手Eel所以“」满意条件;

4，第一物■Rd,一曲.

当口“」时，函数在区间、与营=；内单调递减，在区间、£zr；不用内单调递增,此时

/(0)-1,所以““」不满意题意，所以“的取值范围为，，工

解析:本题主要考查函数与导数的单调性、函数的极值。

(1)对函数求导，在函数极值点处导数有意义时导数为零，然后计算求解;

(2)导数大于零时函数递增，导数小于零时函数递减，然后分类探讨的取值范围进行求解;

(3)分两种状况探讨函数的最小值，满意函数最小值为1的।的取值范围即为解。

6.设函数连1,当£巴》，濡。(1)若「「为」/的极值点，求实数“；

(2)求实数“的取值范围，使得对随意的，」“，恒有/「一成立。

注：，为自然对数的底数。

J

答案详解(1)求导得/"=2i.r..?nz+'r''=,"心1”。

因为，一是/(」•的极值点，所以第一、喈令%Y

解得一，或，匕经检验，符合题意，所以“喊”>。

(2)①当。1时，对于随意的实数“，恒有,卷您唱讨成立。

_*2e

②当I“时，由题意，首先有空打,如广优解得V*,「I，，，

由⑴知，游i部韩山外：：，

令不I心3Y,则累：1,少礴法闺km,

叱)=2g)+l吱

3c+——

22g)+1——

=2(lu