四章节函数极限通论

第四章函数极限通论郇中丹2006-2007学年第一学期1基本内容§1数值函数极限的统一形式§2函数沿基极限的性质§3函数沿基极限存在的条件2§1.数值函数极限的统一形式一元函数极限的基本形式集合基函数沿基收敛函数沿基的无穷极限3一元函数极限的基本形式微积分研究的基本对象是.基本工具是极限.而一元数值函数(m=n=1)是其中的最简单和最基本情形.在微积分中,A一般是区间.一元函数的极限分成下面的六类:在一点的极限、在一点的左极限、在一点的右极限、在

处的极限、在+处的极限、在-处的极限.x0相对于A的空心邻域={xA|0<|x-x|<d}.4集合基集合基:设A是非空集合.A的子集族B叫作A的一个(集合)基,如果B满足如下两条性质:B包含无限多个A的非空子集,的元素叫作终端；

b1,b2

B,b3

B,b3b1b2.集合基的例子:1.A=N,B={b={nN|n>k}|kN};2.A=I,x0I,B={b={xA|0<|x-x0|<d}|d>0};3.A=I,x0I,B={b={xA|0<x-x0<d}|d>0};4.A=R,B={b=(c,+)|c>0}.5函数沿基收敛设:AR,B是A的一个基,lR.沿B收敛到极限l,如果

e>0,bB,xb,|(x)-l|<e.记做

(x)l(沿基B)或例子:1.数列极限,常用记号;数列基.2.函数在一点的极限,常用记号;双侧基.3.函数在一点的左极限,常用记号;左侧基.4.函数在一点的右极限,常用记号;右侧基.5.函数在+处的极限,常用记号;+侧基.6.函数在

处的极限,常用记号.基.6函数沿基的无穷极限设:AR,B是A的一个基,lR.沿基B有极限+,如果c>0,bB,xb,(x)>c.记做(x)

+(沿基B)或类似地可以给出极限为

,或-

的定义.在下面的讨论中,如果没有特殊申明,一般讨论所说的极限都是有限极限.7习题八(I)1.写出下列极限的定义和相应的基:2.验证下列极限8习题八(II)3.证明:数列基,双侧基,左侧基,右侧基,+侧基,-

侧基和基都具有如下性质:存在可数多个终端{bn}满足(1)若m<n,bnbm;(2)对于任何终端b,n,bnb.sn(x)AA

若bR9§2函数沿基极限的性质函数的有界性与无穷小量极限基本性质10函数的有界性与无穷小量函数的有界性:设:AR,DA.如果存在c>0,使得

xD,|(x)|c,就说在D上有界.类似地可以定义有上界和有下界.函数的终极有界性:设:AR,B是A的一个基.如果存在bB,使得

xb,|(x)|c,就说关于基B终极有界.类似地可以定义终极有上界和终极有下界.无穷小量:若a(x)0(沿基B),就称a是沿基B的无穷小函数或无穷小量.11极限基本性质(I)1.惟一性:若函数沿基B的极限存在,则极限是惟一的.2.极限的终极惟一性:设存在bB,使得

xb,(x)=g(x).如果

(x)l(沿基B),则g(x)l(沿基B).3.终极有界性:若

(x)l(沿基B),则关于基B终极有界.12极限基本性质(II)4.非零极限的终极保号性:设(x)l(沿基B).若l>0,则存在bB,使得xb,(x)>l/2.若l<0,则存在bB,使得xb,(x)<l/2.5.无穷小估计:设a是沿基B的无穷小量,沿基B终极有界.若bB,xb,|b(x)||a(x)(x)|,则b是沿基B的无穷小量.6.极限的算术性质:若

(x)l1(沿基B),g(x)l2(沿基B),则(x)+g(x)l1+l2(沿基B),(x)g(x)l1

l2(沿基B),(x)/g(x)l1/l2(沿基B)(若l20).13极限基本性质(III)7.保序性1:设

(x)l(沿基B).若bB,xb,(x)

c,则lc.类似地,若bB,xb,(x)c,则Lc.8.保序性2:设

(x)l1,g(x)l2(沿基B).若bB,xb,(x)g(x),则l1

l2.9.夹逼性质2:设

(x)l,h(x)l(沿基B).若bB,xb,(x)g(x)h(x),则g(x)l(沿基B).14习题九(I)1.设和g是定义在区间(a,b)上的函数.给出

中相应的基B和相应的极限定义.证明:如果g(x)l>0(沿基B),则(x)g(x)+(沿基B).2.计算下列极限:15习题九(II)3.计算下列极限:4.设

:(0,+)R且对于任何a>0,在(0,a)上有界.证明:如果,则16§3函数沿基极限存在的条件函数沿基存在极限的Cauchy准则Heine收敛性和常见基Cauchy收敛性和Heine收敛性复合函数的极限定理无穷小函数的阶大O与小o记号17函数沿基存在极限的Cauchy准则Cauchy准则:函数

沿基B有极限,当且仅当

e>0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|<e.证明:1.必要性:设

(x)l(沿基B).任取e>0,则

bB,使得xb,|(x)-l|<e/2.因此,x,yb,|(x)-(y)||(x)-l|+|l

-(y)|<e.2.充分性:设e>0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|<e.先构造构造出候选极限l,然后证明

(x)l.3.构造闭区间套{Dn}和终端列{b(n)}使其满足:(1)xb(n),(x)Dn;(2)若n<m,b(m)b(n);(3)|Dn|1/n.(先假定已经得到{Dn}和{b(n)})18Cauchy准则证明(续I)4.由闭区间定理,!l

Dn.下面证明

(x)l(沿基B).任取e>0,则存在n使得1/n<e.则xb(n),(x)Dn;由l

Dn,|(x)-l||Dn|1/n<e.5.递归构造所需闭区间套{Dn}和终端列{b(n)}:取e=1,则b(1)B,使得x,yb,|(x)-(y)|<1.取定yb(1),则xb(1),|(x)|1+|(y)|.记m(1)=inf{(x)|xb(1)};M(1)=sup{(x)|xb(1)}.取D1=[m(1),M(1)].则M(1)-m(1)supf(x)-inff(y)=supf(x)+sup-f(y)=sup(f(x)-f(y))sup|f(x)-f(y)|1.19Cauchy准则证明(续II)假设完成闭区间套{Dn}和终端列{b(n)}前k个闭区间和前k个终端的构造使得当n,m=1,..,k时,有(1)xb(n),(x)Dn;(2)若n<m,b(m)b(n);(3)|Dn|1/n.对于n=k+1,取e=1/(k+1),则bB,使得x,yb,|(x)-(y)|<1/(k+1).取b(k+1)=bb(k).m(1)=inf{(x)|xb(k+1)};M(1)=sup{(x)|xb(k+1)}.取Dk+1=[m(1),M(1)].则M(k+1)-m(k+1)1/(k+1).不难验证性质(1-3).#20Heine收敛性和常见基Heine收敛性:设

:AR.B是A的一个基.如果对于任何A中满足下列条件的序列{xn}:bB,n0,n>n0,

xnb,必有数列{(xn)}收敛,就说

沿基B在Heine意义下收敛.常见基:集合A的基B叫作常见的,如果B有一个可数子集C={cn},使得

bB,cC,cb.这里要求m,nN,m>n,cmcn.例子:数列基,双侧基,左侧基,右侧基,+基,-

基和

基都是常见基.21Cauchy收敛性和Heine收敛性(I)Cauchy收敛性保证Heine收敛性:如果

(x)l(沿基B),则

沿基B在Heine意义下收敛.证明:假设(x)l(沿基B).任取A中的{xn}满足:bB,n0,n>n0,

xnb.对于数列{(xn)},任取e>0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|<e.由{xn}的性质,则

n0,n>n0,

xnb.因而

m,n>n0,xm,

xnb,所以|(xm)-(xn)|<e.因此{(xn)}收敛.者就得到沿基B在Heine意义下收敛.#22Cauchy收敛性和Heine收敛性(II)关于常见基的Heine收敛性保证Cauchy收敛性:设

沿常见基B在Heine意义下收敛.则

沿基B是Cauchy收敛的.证明:1.反证.假设

沿基B不是Cauchy收敛的.则存在e>0,使得

bB,x,yb满足|(x)-(y)|e.特别

nN,xn,yncn满足|(xn)-(yn)|e.2.定义数列{zn}:当n为偶数时,zn=xn/2;当n为奇数时,zn=y(n+1)/2.则{(zn)}是发散的.这是由于

nN,|(z2n+2)-(z2n+1)|=|(xn+1)-(yn+1)|e.23Cauchy收敛性和Heine收敛性(III)3.数列{zn}满足bB,n0,n>n0,

znb.这是由于bB,cmb,这样km,ckcmb,因而n>2m时,znb.4.所以

沿常见基B在Heine意义下不收敛.矛盾.#24复合函数的极限性质(I)定理1.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若g(x)l(沿基B),(y)(l)(yl),则(g(x))(l)(沿基B).证明:任取e>0,由(y)(l)(yl),存在d>0,使得

yD,|y-l|<d,必有|(y)(l)|<e.在由g(x)l(沿基B),存在b

B,使得

xb,|g(x)-l|<d.注意g(x)D,则xb,|(g(x))-(l)|<e.所以(g(x))(l)(沿基B).#25复合函数的极限性质(II)定理2.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若g(x)l(沿基B),且

bB,g(b)D且xb,

g(x)l,(y)l(yl),则(g(x))l(沿基B).定理3.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若g(x)+(沿基B),(y)l

(y+),则(g(x))l(沿基B).定理2和定理3的证明留作习题。26无穷小函数的阶高阶无穷小:设a(x),b(x),g(x)是沿基B的无穷小函数,并且在基的某个终端上b(x)0.如果成立a(x)=b(x)g(x)

就说a(x)是比b(x)高阶的无穷小.等价无穷小:设a(x)和b(x)是沿基B的无穷小函数,如果a(x)-b(x)是比a(x)或b(x)高阶的无穷小,就说a(x)和b(x)是等价无穷小.记作a~b.命题:设a(x)和b(x)是沿基B的无穷小函数.当且仅当a(x)/b(x)1(沿基B),或b(x)/a(x)1(沿基B).27大O与小o记号设函数和g是A上的实值函数,B是A的一个基,并且g在基B的某个终端上不取零值.设h=/g.如果h终极有界(沿基B),就说是大Og(沿基B),记作

=O(g)或<<g;如果

<<g且g<<,就说和g有同样的阶(沿基B)