高中 矩阵 知识点+例题 全面分类

辅导讲义一一矩阵

教学内容

知识模块1矩阵的乘法及变换

1.乘法规则

⑴行矩阵M.与列矩阵["的乘法法则：如

〃G1J21与列向量「UX)]的乘法规则:~a\\m2]|~M)]aiixo+ai2jo

(2)二阶矩阵

-Q2I-〃21LyoJ|_。21孙+422%_

(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下:

6711m2][b\\b\2a\\b\\-\-anbixm仍12+02622

_«21。22」\-bl\bll]|_a21b1]+〃22岳1〃2协12+〃22。22」

(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(4砌C=A(8C).

(5)屋4'=取+‘，(/)/=[M其中左，/WN*).

2.常见的平面变换

(1)恒等变换：因为:；][[=[：]，该变换把点(X，>)变成(X,y),故矩阵;；表示恒等变换.

一]f1][一1o

(2)反射变换：因为100]1表示关于〉轴的反射变换;

=，该变换把点(x,y)变成(一X,y),故矩阵

1[:

-10一0,10,-1

类似地，分别表示关于x轴、直线y=x和直线y=-x的反射变换.

_()0.-10

-1o-XX

(3)伸缩变换：因为to该变换把点(x,y)变成点(x,ky),在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成

k--y-.k,yj

1,0一「s0]

原来的A倍，故矩阵if信示;乂轴方;类似地，矩阵八,可以用来表示水平伸缩变换.

.0Lo1J----

(4)旋转变换：把点AQ,>)绕着坐标原点逆时针旋转a角的变换，对应的矩阵是.

.sinacosa.

risim「x+s/|rion

(5)切变变换：[0J[J=[y]表示的是沿比轴的切变变换.沿y轴的切变变换对应的矩阵是[,1.

(6)投影变换：F[[1[=[：】，该变换把所有横坐标为X的点都映射到了点a,o)上，因此矩阵]、R表示的是x轴

LO0JLy」LOJL00」

「001

上的投影变换.类似地，]J表示的是)，轴上的投影变换.

精典例题透析

「11

101

【1-1](2014•扬州模拟)已知矩阵4=,B=2,若矩阵AB对应的变换把直线/：x+y-2=0变为直线九

L02」|_0L

求直线7的方程.

一24]1201p0"

[1-2]【徐州2014届高考模拟考试】求使等式L5」=|_0iMo_]成立的矩阵M

-1

[1-3][2014•扬州调研考试】已知矩阵4=12向量求向量使得42a=/.

[1-4]【苏州2014届高三第一次联考】在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0),B(2,0),C(2,l),求AABC

「20]「0—1]

在矩阵M.N作用下变换所得到的图形AA'B'C的面积，其中M=[oQ.

[1-5]在直角坐标系中，已知椭圆f+4)2=l,矩阵M=；；，；j，求椭圆『+4y2=l,在矩阵MN作用

下变换所得到的图形的面积.

【新题变式探究】

*「1。］假ol,

【变式一】(2014•江苏横山桥中学模拟)已知M=02，N=，设曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下

Lo1J

得到曲线F,求尸的方程.

【变式二】(2014•苏州模拟)将曲线到=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45。，求所得曲线的方程.

知识模块2矩阵与逆矩阵

1.逆矩阵

(1)逆.矩阵：设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵5,使得A4=A8=E2,则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可

逆矩阵，并且称8是A的逆矩阵.通常记A的逆矩阵为41A'^B.

(2)逆矩阵的性质

性质①：设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的.

性质②：设A，8是二阶矩阵，如果A,B都可逆，则48也可逆，且(AB)r=5%」

d-b

⑶定理：二阶矩阵4=［1a:bl可逆'当且仅当detA-dic'。,ad—head-be

A-,=

-ca

_ad-bead-bc_

2.逆矩阵与二元一次方程组

cvc+by=ef的系数矩阵加逆，那么该方程组有

定理：如果关于变量x,y的二元一次方程组(线性方程组了

cx-\-dy=f

唯一解才修

3.特征值和特征向量

「〃口

(1)概念：设矩阵A=7,如果存在数2以及非零向量酊使得则称2是矩阵A的一个特征值，。是矩

\_cd」

阵A的属于特征值7的一个特征向量.

(2)特征多项式与特征方程

设力是二阶矩阵A=：:的一个特征值，它的一个特征向量为<=［：］,则A［；］=T；］，

=

「x］\cix+by=kxi((2,—a)x—by0「2-a—力丁工［「0］

即满足二元一次方程组「3故“=no3J=小(*)

Lyd［cx+dy=Ayf［―cr+(2—6?)y=0\_~c2—dJLy」LOJ

则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式

A~a~b2—a~b力的特征多项式；方程-b

,,=0.记yu)=为矩阵A=IJ=0,即/u)=0称为矩阵

X-dA,-a

「〃口

A=的特征方程.

Lca7」

(3)特征值与特征向量的计算

X-a-b

如果人是二阶矩阵A的特征值，则2是特征方程式2)=.=乃一(a+t/M+ad—儿=0的一个根.

-cA-a;

解这个关于2的二元一次方程，得7=九、石，将义=九、彩分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解

仁：仁"弋］出

a£的特征值，酊=［；］，&=［:］为矩阵A的分别属于特征值不、

则力&=2商、4。2=丸2&，因此2］、丸2是矩阵A=

d.

%2的一个特征向量.

精典例题透析

-2

0

0-3

［2-1］［2014.盐城模拟】若矩阵M=N=］,求矩阵MN的逆矩阵.

2.

0

2_

。2】（如皋2。14届高三模拟）已知矩阵M=「1[12]的一个特征值为3,求其另一个特征值.

。3】【2。14无锡模拟】给定矩阵A=[_：：],B=Q求AV.

[2-4]已知矩阵A=11,若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为©=[1,属于特征值一1的一个特征向量为

LcdAL1J

。2=,，求矩阵A.

一1

「—I。[「12]_

【2-5]（2013•江苏高考）已知矩阵4=[。21B=[oJ,求矩阵

【新题变式探究】

■2r

【变式一】(2014•宿迁模■拟)已知矩阵A=,。将直线/：x+y—1=0变换成直线.

(1)求直线/'的方程；

(2)判断矩阵A是否可逆？若可逆，求出矩阵A的逆矩阵4?若不可逆，请说明理由.

'4一3、，向量a=]].

【变式二】(2014•苏州质检)己知矩阵朋=

2-1

(1)求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量;

(2)求M3a.

知识模块3经典题型

考向一矩阵与变换

「2a\

【例1】(2012•苏州市自主学习调查)已知a,b是实数，如果矩阵J所对应的变换将直线x—y=l变换成

x+2y=l,求a,6的值.

【训练1】(2013.南京金陵中学月考)求曲线2f—2xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中

-10-

_-1

考向二考查二阶逆矩阵与二元一次方程组

-2—3-

【例2】己知矩阵所对应的线性变换把点A(x,y)变成点4'(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标.

L1—1J

【训练2】己知矩阵1，

(1)求矩阵A的逆矩阵；

f2x+3y-l=0,

(2)利用逆矩阵知识解方程组,-

[x十2厂3=0,

考向三求矩阵的特征值与特征向量

【例3】（2012•常州市期末考试）求矩阵M=「2：I4］1的特征值及对应的特征向量.

【训练3】已知“GR,矩阵4=［3对应的线性变换把点尸（1,1）变成点P（3,3）,求矩阵A的特征值以及每个特征

值的一个特征向量.

历届真题演练

1.（2011・江苏卷）已知矩阵A=［；］，向量“=［；］.求向量a,使得A%=/?.

2.（2010•江苏卷）在平面直角坐标系xO），中，4（0,0）,仇一2,0）,。（一2,1）,设ZWO,kGR,M=［N=［；",

点4、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点Ai、Bi、Ci，△48iG的面积是aABC面积的2倍，求实数k的值.

夯实基础训练

1.（2009・江苏卷）求矩阵A=［；］的逆矩阵.

2.（2008・江苏卷）在平面直角坐标系xO），中，设椭圆41+尸=1在矩阵A=［j］对应的变换作用下得到曲线F,求F

的方程.

3.已知矩阵A/=［;N=［；4，且MN=-2o-

（1）求实数a、b、c、4的值；

（2）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程.

4.（2012•苏北四市调研一）若点4（2,2）在矩阵M=二2.对应变换的作用下得到的点为8（—2,2）,求矩阵M的

.dillCAwV/tJvA*一

逆矩阵.

%b'-r

5.（2013・南通调研）已知二阶矩阵A=,矩阵A属于特征值3=-1的一个特征向量为。1=,属于特征值

.cd.

石=