高思奥数导引小学五年级含详解答案第06讲：和差倍分问题

第6讲和差倍分问题

内容概述

在和差倍问题中引入“分数倍”的概念，并理解其含义。解题中应合理选取单位“I”，题

目中隐藏的不变量或公共量往往是关键。

典型问题

兴趣篇

1.运输连要将450枚弹药送到前线，其中炮弹占了之,其余都是手榴弹。由于遇上敌军

9

伏击，炮弹损失了2,而手榴弹只剩下3。送到时还剩多少枚弹药？

58

2.学校举行新年自助餐会，一共准备了1000瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果

汁。一个小时后，果汁已减少了1,但可乐的数量却没有改变。如果此时饮料还剩下

5

872瓶，那么可乐的数量是多少瓶？

3.口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球。其中红球占总球数的1,黄球占总球数的

34

绿球比黄球多50个。口袋里一共有几个球？

4.游戏公司计划生产一批限量版的游戏机。现在已完成计划的工，如果再生产340台,

12

总产量就超过计划的原计划生产多少台？

8

5.一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的第二天完成了剩下部分的

53

前两天一共完成了56个。请问：这批零件共有几个？

6.红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数的士，第二车间的人数

2

是第一、三车间人数和的工，第三车间有105人。求该厂工人的总数。

3

7.甲桶中的水比乙桶中的多1,丙桶中的水比甲桶中的少请问：乙、丙两桶哪桶水

55

多？如果把三桶水倒入一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？

8.下图是某市的园林规划图，其中草地占正方形的3,竹林占圆形的2,正方形和圆形

47

的公共部分是水池。已知竹林的面积比草地的面积少450平方米。问：水池的面积是多

少平方米？

9.阿奇和小悦都有很多科普书，阿奇的科普书数量是小悦的-。后来小悦送给阿奇11本

8

书后，阿奇的科普书数量就变成了小悦的士。原来阿奇比小悦少多少本书？

7

10.课间同学们都在操场上活动，其中女生占总人数的2。后来又来了12个女生，使得女

9

生人数达到男生人数的3。操场上现在有多少名同学？

7

拓展篇

1.等候公共汽车的人整齐地排成一列，阿奇也在其中。他数了一下人数，发现排在他前面

的人数占总人数的排在他后面的人数占总人数的-O从前往后数，阿奇排在第几个？

34

2.五年级原来有学生325人，新学期男生增加25人，女生减少了，，结果总人数增加了

20

16人。请问：现在有男生多少人？

3.冬冬、阿奇两人玩电子游戏，通过第一关后，冬冬得了120分，阿奇得了200分。接下

来，他们俩在第二关得到了相同的分数。累加两关总得分，冬冬的得分是阿奇的3。两

4

人在第二关各得了多少分？

4.有一堆砖，搬走总数的L后又运来306块。这时这堆砖比最开始还多了L这堆砖原来

45

有多少块？

5.用一批纸装订一种练习本。第一天装订了120本，还剩全部纸张的2;第二天又装订了

5

65本，还剩下1350张纸。这批纸原来一共有多少张？

6.刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝。他第一口就喝了整瓶水的一

半，第二口又喝了剩下的1,第三口则喝了剩下的上，第四口再喝剩下的,，第五口喝

345

了剩下的此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？

6

7.现有苹果、桔子、梨、菠萝四种水果若干个，苹果的数目是其他三种水果总数的桔

6

子的数目是其他三种水果总数的-，梨的数目是其他三种水果总数的菠萝有56个。

165

这些水果一共有多少个？

8.2008年5月，某爱心慈善组织向四川大地震中受灾严重的汶川地区捐赠帐篷。他们第

一次向汶川运来了全部帐篷的3,第二次运了50顶帐篷。这时，已运来的帐篷数恰好

8

是没运来的°。请问：还有多少顶帐篷没有运来？

7

9.如图，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是360厘米。甲木棒有之露在

4

水面上，乙木棒有士露在水面上外，丙木棒有二露在水面上。请问：水深是多少厘米？

75

10.阿奇和冬冬一起玩游戏牌。开始时阿奇手里的牌数是冬冬手里牌数的-;玩了若干局后,

5

阿奇赢了冬冬的20张牌，此时阿奇手里的牌数反而是冬冬手里牌数的工。请问：阿奇

5

此时一共有多少张牌？

11.口袋里有若干个球，其中红球占了总球数的上。后来又放了8个红球，这时红球占了

12

总球数的L现在口袋里有多少个球？

2

12.水池中立着长短两根木桩。长木桩露出水面部分比短木桩露出部分长2。当水面升高

5

口厘米后，短木机械论者露出水面的部分比长木桩露出部分短3。如果水面再升高

5

多少厘米，短木桩露出水面长度将是长木桩露出水面长度的L?

12

超越篇

1.装订车间的工人要将一批书打包后磁送往邮局，每包中装的书一样多。第一次，他们领

来这批书的工，结果打了14个包还多35本。第二次他们把剩下的书全部取走，连同

12

第一次多出的零头一起，刚好又打了11包。请问：这批书共有多少本？

2.劳动小学五年级选出女生总人数的工和22名男生参加数学竞赛，剩下的女生数是剩下

11

男生人数的2倍。如果女生的总人数比男生的总人数多2人，那么劳动小学五年级共有

多少人？

3.有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子。已知第一堆里的黑子和

第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的2。把这三堆棋子集中在一起,

5

白子占全部棋子的几分之几？

4.某工厂有A、B、C、£＞、E五个车间，人数各不相等。由于工作需要，把8车间工人的！

2

调入4车间，C车间工人的上调入B车间，D车间工人的，调入C车间，车间工人的L

346

调入。车间。现在五个车间都是30人。原来每个车间各有多少人？

5.从飞机的窗口向外望去，阿奇看见部分海岛、部分白云以及不大的一片海域。其中白云

占去了窗口面画的一半，它遮住了全部海岛的1,因此海岛只占窗口画面的请问：

44

被白云遮住的那部分海洋占窗口画面的几分之几？

6.有4B、C、。四根材料相同的蜡烛，其中A和8一样粗，C和。一样粗，A和C一样

长，B和。一样长。把四根蜡烛同时点燃，过了6小时，。首先烧完，此时B所剩长

度是C的2倍；再过1小时40分钟，C正好烧完。请问：A、8还可以再燃烧多久？

7.如图所示，两根粗细相同、材质量长度不同的蜡烛竖直地漂在水面上。一开始，长蜡烛露

出水面的部分是短蜡烛总长度的一半；将两根蜡烛同时点燃1小时后，长蜡烛露出水面的

部分与短蜡烛总长度相等。已知蜡烛漂在水面上时，露出水面的长度始终等于蜡烛在水下

长度的那么短蜡烛还可再烧多久，长蜡烛还可再烧多久？

9

8.甲、乙、丙三个好朋友去超市买了100元的商品。如果甲付钱，那么甲剩下的钱将是乙、

丙剩下钱的工；如果乙付钱，那么乙剩下的钱将是甲、丙剩下钱的2；如果丙付钱，丙用

1316

他的会员卡就可以享受9折优惠，只需付90元，那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的

3

问：甲、乙、丙开始时一共带了多少钱？

第6讲和差倍分问题

内容概述

在和差倍问题中引入“分数倍”的概念，并理解其含义。解题中应合理选取单位“1”,题

目中隐藏的不变量或公共量往往是关键。

典型问题

兴趣篇

13.运输连要将450枚弹药送到前线，其中炮弹占了3,其余都是手榴弹。由于遇上敌军

9

伏击，炮弹损失了2,而手榴弹只剩下3。送到时还剩多少枚弹药？

58

【分析】由于炮弹损失士，因而炮弹剩下士，炮弹总共剩下450x2x9=150（枚）。由于手

5595

榴弹只剩下3,因而手榴弹总共剩下450x（l-*]x3=75（枚）。综上所述，还剩下

8I9）8

150+75=225（枚）弹药。

14.学校举行新年自助餐会，一共准备了1000瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果

汁。一个小时后，果汁已减少了1,但可乐的数量却没有改变。如果此时饮料还剩下

5

872瓶，那么可乐的数量是多少瓶？

【分析】由于饮料还剩872瓶，说明喝了1000-872=128（瓶），而可乐的数量没有变，则

这128瓶都是果汁，果汁总数量为128+（=640（瓶），可乐的数量为1000-640=360（瓶）。

15.口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球。其中红球占总球数的1,黄球占总球数的

34

绿球比黄球多50个。口袋里一共有几个球？

【分析】由已知，绿球占总数的=所以绿球比黄球多总数的二一1=!。那么

34121246

总数有50+』=300（个）。

6

16.游戏公司计划生产一批限量版的游戏机。现在已完成计划的工，如果再生产340台，

12

总产量就超过计划的原计划生产多少台？

8

【分析】超过计划的相当于完成计划的2,则原计划有340+[2-9]=480（台）。

88（812J

17.一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的1,第二天完成了剩下部分的

53

前两天一共完成了56个。请问：这批零件共有几个？

【分析】第一天完成任务的L第二天完成任务的11-!卜」=巴。两天总共完成白+&=工，

5I5J31551515

7

这批零件共有56——=120（个工

15

18.红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数的1,第二车间的人数

2

是第一、三车间人数和的1,第三车间有105人。求该厂工人的总数。

3

【分析】第一车间：（第二车间+第三车间）=1:2,可得第一车间：工人总数=1:3=4:12;

第二车间：（第一车间+第三车间）=1:3,可得第二车间：总人总数=1:4=3:12。则工人总

数为12份，第三车间为12-3-4=5份，则工人总数为105+5x12=252。

19.甲桶中的水比乙桶中的多1,丙桶中的水比甲桶中的少请问：乙、丙两桶哪桶水

55

多？如果把三桶水倒入一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？

【分析】假设法，假设乙桶水有水100吨，则甲桶有水100x（+100=120（吨），丙桶有水

120-120x1=96（吨）。很明显，乙桶水多。如果把三桶水倒入一个大缸里，共有水

100+120+96=316（吨）。甲桶水占120+316=＞。

79

20.下图是某市的园林规划图，其中草地占正方形的3,竹林占圆形的2,正方形和圆形

47

的公共部分是水池。已知竹林的面积比草地的面积少450平方米。问：水池的面积是多

少平方米?

相差4-1=1倍，差450平方米，则水池=450+,=900平方米.

222

21.阿奇和小悦都有很多科普书，阿奇的科普书数量是小悦的3。后来小悦送给阿奇11本

8

书后，阿奇的科普书数量就变成了小悦的士。原来阿奇比小悦少多少本书？

7

【分析】科普书数量比，阿奇：小悦=3:8,后来阿奇：小悦=4:7。正好小悦送给阿奇1份，

阿奇收到小悦的1份。则1份为11本。原来阿奇比小悦少5份，少5x11=55本。

22.课间同学们都在操场上活动，其中女生占总人数的2。后来又来了12个女生，使得女

9

生人数达到男生人数的二。操场上现在有多少名同学？

7

【分析】差不变，原来女生人数：总人数=2:9,差为7份。后来了12个女生，现在女生

人数：总人数=3:(3+7)=3:10,差为7份，女生多了1份，所以总人数为12x10=120。

拓展篇

11.等候公共汽车的人整齐地排成一列，阿奇也在其中。他数了一下人数，发现排在他前面

的人数占总人数的排在他后面的人数占总人数的从前往后数，阿奇排在第几个？

34

0111

【分析】由题意，阿奇一个人占总人数的1-±-上=‘。所以总人数为1+上=12人。排在

341212

阿奇前面的人数为12x*=8人。所以阿奇排在第9个。

3

12.五年级原来有学生325人，新学期男生增加25人，女生减少了工，结果总人数增加了

20

16人。请问：现在有男生多少人？

【分析】女生减少25-16=9人。所以女生共有9+工=180人。现有男生325-180+25=170

20

人。

13.冬冬、阿奇两人玩电子游戏，通过第一关后，冬冬得了120分，阿奇得了200分。接下

来，他们俩在第二关得到了相同的分数。累加两关总得分，冬冬的得分是阿奇的3。两

4

人在第二关各得了多少分？

【分析】后来，阿奇和冬冬的得分之比为3:4,差是1份，可是分数差为200-120=80分，

所以（3:4）x80=240:320。所以两人在第二关各得了240-120=120分。

14.有一堆砖，搬走总数的，后又运来306块。这时这堆砖比最开始还多了L这堆砖原来

45

有多少块？

【分析】由已知，运来的砖不仅补上了原来搬走的部分，而且还比最开始的总数多出了g,

因此这306块砖石原来砖块总数的1+'=2。所以原来这堆砖有306+2=680块。

452020

15.用一批纸装订一种练习本。第一天装订了120本，还剩全部纸张的2:第二天又装订了

5

65本，还剩下1350张纸。这批纸原来一共有多少张？

【分析】第一天还剩上的纸，那么装订用了总数的三，这部分对应的是120本练习本，因此

55

所有的纸一共可以装订的练习本数量为120+9=200（本）。第二天又装订了65本练习本，

5

这样剩下的纸还能装订200-120-65=15（本），因此每本练习本需要使用1350+15=90（张）

纸。因此这批纸一共有90x200=18000（张）。

16.刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝。他第一口就喝了整瓶水的一

半，第二口又喝了剩下的1,第三口则喝了剩下的1,第四口再喝剩下的第五口喝

345

了剩下的此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？

6

【分析】喝完第一口之后，这瓶水还剩下1-工=1,喝完第二口之后，剩下的水占整瓶水的

22

=l;喝完第三口之后，剩下的水占整瓶水的，=,；喝完第四口之后，

2I3J33I4

剩下的水占整瓶水的;=/：最后喝完第五口之后，剩下的水占整瓶水的

Ixfl-lk-!-.,由已知这部分为0.5升。因此原来这瓶水有0.5+2=3（升）。

5I6；66

17.现有苹果、桔子、梨、菠萝四种水果若干个，苹果的数目是其他三种水果总数的L,桔

6

子的数目是其他三种水果总数的-，梨的数目是其他三种水果总数的2,菠萝有56个。

165

这些水果一共有多少个？

【分析】们把四种水果的总数看作单位“1”，每种水果所占的分率为：苹果占其他三种总数

的那么苹果占所有水果总数的」L=_L,类似地，桔子占所有水果总数的二—二9,

61+675+1621

7?1591

梨占所有水果总数的」=之。那么菠萝占所有水果总数的1-'-2-±=±,也就是56

2+5772173

个。所以，所有水果一共有56+1=168（个）。

3

18.2008年5月，某爱心慈善组织向四川大地震中受灾严重的汶川地区捐赠帐篷。他们第

一次向汶川运来了全部帐篷的3，第二次运了50顶帐篷。这时，已运来的帐篷数恰好

8

是没运来的°。请问：还有多少顶帐篷没有运来？

7

【分析】第二次运来后，已经运来的是没运来的3,即为已经运来的是全部帐篷的二_=9

75+712

所以50顶帐篷对应所以全部帐篷为50+」-=1200（顶）。那么没有运来的帐

1282424

篷有1200x（1-意=70（）（顶）。

19.如图，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是360厘米。甲木棒有白露在

4

水面上，乙木棒有2露在水面上外，丙木棒有2露在水面上。请问：水深是多少厘米？

75

【分析】三根木棒浸在水中的长度是相等的，所以我们以浸在水里面的长度为“1”份。甲

木棒有3露在水面外，因此甲有1一3=1浸入水中，于是甲的长度为=份。类似

4444

44237

地，乙木棒有二露在水面外，有1-？二三浸在水里，所以乙的长度为“12三=份：丙木

77773

棒有上露在水面外，有1-*=三浸在水里，所以乙的长度为三廿己”份。三根木棒的总

55553

长度为360厘米，因此“1”份的长度为360+（4+g+g[=45（厘米），即水深为45厘米。

20.阿奇和冬冬一起玩游戏牌。开始时阿奇手里的牌数是冬冬手里牌数的-;玩了若干局后,

5

阿奇赢了冬冬的20张牌，此时阿奇手里的牌数反而是冬冬手里牌数的2。请问：阿奇

5

此时一共有多少张牌？

【分析】玩牌的过程中两人牌的总数是不变的，所以我们可以把牌的总数作为单位“1”。开

4aas

始的时候，阿奇手里的牌是总数的—2_=三，冬冬手里的牌是总数的1-±=2。赢了20张

3+5888

牌后，阿奇手里的牌变成了总数的二_二工，比原来多了_1一3=_1,这部分正是阿奇赢

7+51212824

57

的20张牌，因此牌的总数为20+2=96（张）。所以现在阿奇手里的牌有96x'=56（张）。

2412

23.口袋里有若干个球，其中红球占了总球数的后来又放了8个红球，这时红球占了

12

总球数的L现在口袋里有多少个球？

2

【分析】差不变，原来红球数量：总球数=5:12,差为7份，后来红球数量：总球数=1:2,

差为1份，所以我们要把第二个比扩大7倍，变为7:14,那么8个红球对应2份，4个球就

是1份，现在口袋里有14份，共有14x4=56（个）球。

24.水池中立着长短两根木桩。长木桩露出水面部分比短木桩露出部分长2。当水面升高

5

11厘米后，短木机械论者露出水面的部分比长木桩露出部分短3。如果水面再升高

5

多少厘米，短木桩露出水面长度将是长木桩露出水面长度的,？

12

【分析】假设升高了11厘米后，长木棍露出部分为5x厘米，那么短木棍露出部分为

5xx（l-|）=2r厘米。则升高之前长木棍露出部分为（5x+ll）厘米，短木棍露出部分为

（2x+ll）厘米，它们的差为（5x+ll）-（2x+ll）=3x厘米。由已知可列方程=*,解

2x+115

得x=2。所以升高了11厘米后，长木棍露出部分为5x2=10厘米，短木棍露出部分为

2x2=4厘米。设水面再升高），厘米，短木桩露出长度将是长木桩露出长度的卷。可列方程

解得广臬即沙米。

超越篇

7.装订车间的工人要将一批书打包后磁送往邮局，每包中装的书一样多。第一次，他们领

来这批书的工，结果打了14个包还多35本。第二次他们把剩下的书全部取走，连同

12

第一次多出的零头一起，刚好又打了11包。请问：这批书共有多少本？

7

—x=14y+35

12■,把两

【分析】设这批书一共有x本，每包有书y本。根据题意可列方程:

5

—x+35=lly

12

（isoO

个式子加起来可以得到x=25y,带入其中一个式子可以得到《x=，那么这批书共有

[y=60

1500本。

8.劳动小学五年级选出女生总人数的,和22名男生参加数学竞赛，剩下的女生数是剩下

11

男生人数的2倍。如果女生的总人数比男生的总人数多2人，那么劳动小学五年级共有

多少人？

【分析】设男生一共有x人，则女生一共有（x+2）人。根据题意可列方程

9=(x-2)3<,解得x=42。总人数为2x+2=2x42+2=86人。

9.有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子。已知第一堆里的黑子和

第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的2。把这三堆棋子集中在一起,

5

白子占全部棋子的几分之几？

【分析】设第一堆有黑色棋子x枚，白色棋子y枚。则第二堆中有黑色棋子），枚，白色棋子

x枚，随即可得下表：

黑色棋子白色棋子

第一堆Xy

第二堆yX

第三堆|(f)

总的白色棋子数为g（x+y）,总棋子数为3（x+y）,这样的话，白子占全部棋子的

3（x+y）9°

10.某工厂有A、B、C、D、E五个车间，人数各不相等。由于工作需要，把8车间工人的,

2

调入4车间，C车间工人的［调入8车间，。车间工人的!调入C车间，车间工人的1

346

调入。车间。现在五个车间都是30人。原来每个车间各有多少人？

【分析】先看E车间，由于调走还剩2,还剩30人，那么E车间原来有30+2=36人；

666

13

再看D车间，如果没有E车间的6个人调入，D车间现有24人，由于调走上，还剩二，那

44

么D车间原来有24+3=32人；再看C车间，如果没有D车间的32x」=8个人调入，C车间

44

1?9

现有22人，由于调走上，还剩上，那么C车间原来有22+*=33人；再看B车间，如果没

333

有C车间的33x1=11个人调入，B车间现有19人，由于调走上,还剩上,那么B车间原来

322

有19+'=38人；再看A车间，如果没有B车间的38x』=19个人调入，A车间现有11人，

22

由于A车间没有调走的工人，那么A车间原来有14人。综上所述，五个车间各有

II,38,33,32,36人。

11.从飞机的窗口向外望去，阿奇看见部分海岛、部分白云以及不大的一片海域。其中白云

占去了窗口面画的一半，它遮住了全部海岛的1,因此海岛只占窗口画面的请问：

44

被白云遮住的那部分海洋占窗口画面的几分之几？

1a

【分析】假设整个画面是4份，白云占2份，露出的海岛占1份，露出的占整个海岛的=

44

3441

所以整个海岛占1+三=2份，白云遮住的海岛就是？-1=上份，而白云遮住的部分只有两部

4333

分，不是海岛就是海域，所以，白云遮住的海域是2-!=2份，占整个画面的9+4=工。

33312

12.有人B、C、。四根材料相同的蜡烛，其中A和B一样粗，。和。一样粗，A和°