新教材适用2023-2024学年高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定课件新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8．6空间直线、平面的垂直8．6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向

1．借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明．2．会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直．

在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.必备知识•探新知

直线与平面垂直的定义与判定定理

知识点

11．直线与平面垂直的定义定义一般地，如果直线l与平面α内的___________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法_________有关概念直线l叫做平面α的_______，平面α叫做直线l的_______，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_______画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边_______任意一条l⊥α垂线垂面垂足垂直图示性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条垂线段与点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与_______间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的_______叫做这个点到该平面的距离垂足长度2.直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的_______________垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，_________＝P⇒l⊥α图形语言两条相交直线a∩b[拓展]

1.对直线与平面垂直的几点说明(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义词，与“无数条直线”不是同义词．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形．(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．这是判断两条直线垂直的一种重要方法．2．理解直线与平面垂直的判定定理不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”．实际上，由基本事实4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直．3．判定定理所体现的数学思想直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直．练一练：1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(

)A．平行 B．相交C．异面 D．垂直[解析]

因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又m⊂α，所以l⊥m，所以直线l与m不可能平行．2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(

)A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC[解析]

由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC，故选C.AC3．(多选题)下列说法中，正确的是(

)A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB．若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥αC．若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥αD．若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α[解析]

对于A、B，不能判定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．C、D是正确的，故选C、D.CD直线与平面所成的角

知识点

2有关概念对应图形斜线一条直线l与平面α_______，但不与这个平面_______，这条直线叫做这个平面的斜线斜足斜线和平面的_______叫做斜足射影过斜线上斜足以外的一点P向平面α引_______PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影相交垂直交点垂线有关概念对应图形直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的_______所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是_________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是_______.直线与平面所成的角θ的取值范围是___________________射影90°0°[0°，90°][拓展]

直线与平面所成的角的理解和判断(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．(2)判断方法首先，判断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解．练一练：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于_________；AB1与平面ADD1A1所成的角等于_________；AB1与平面DCC1D1所成的角等于_______.[解析]

∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.45°45°0°关键能力•攻重难

下列说法正确的有_____(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．题|型|探|究题型一直线与平面垂直的定义及判定定理的理解典例1②[解析]

因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．由线面垂直的定义可得，②正确．因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确．[归纳提升]

(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．(多选题)下列命题中，不正确的是(

)A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可平行C．若直线l不垂直于平面α

，则α内也可以有无数条直线与l垂直D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α[解析]

当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α垂直时，l可能与α内的直线垂直异面，但不可能平行，所以B不正确；若l在α内，l可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.对点练习❶ABD题型二直线与平面垂直的判定(1)如图，已知P是菱形ABCD所在平面外的一点，且PA＝PC，求证：AC⊥平面PBD.(2)如图，已知PA⊥平面ABC，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的任一点．求证：PC⊥BC.典例2[分析]

(1)要证AC垂直平面PBD，则需让AC与平面PBD内的两条相交直线垂直，由已知可知，AC⊥BD，再由PA＝PC，可证AC与PO垂直．(O为AC中点)(2)要证BC⊥PC，可通过先证BC⊥平面PAC来实现．[证明]

(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD；设AC∩BD＝O，∵PA＝PC，∴△PAC为等腰三角形，且O为AC中点，∴AC⊥PO；又∵BD∩PO＝O，BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.[归纳提升]

(1)应用直线与平面垂直的判定定理是证明直线与平面垂直的主要方法．如果在一个问题的条件中，出现较多的线线垂直，或线面垂直，那么证线面垂直常会选择直线与平面垂直的判定定理．关键是找好平面内的两条相交直线与已知直线垂直．(2)①计算也是论证的一种方法；②勾股定理、余弦定理是常用的工具．(3)线线垂直⇒线面垂直⇒线线垂直，这是经常用到的转化方法．

如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，△PAD为正三角形，且E是AD的中点．求证：BC⊥平面PEB.对点练习❷[证明]

连接BD.因为E是正三角形PAD边AD的中点，则PE⊥AD.因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以正三角形BAD中，BE⊥AD，因为AD∥BC，所以BC⊥PE，BC⊥BE，又因为PE∩BE＝E，所以BC⊥平面PEB.题型三直线与平面所成的角

在正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[分析]

(1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．典例3[归纳提升]

求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．(2022·济南高一检测)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(

)对点练习❸D[解析]

过点C1作C1O⊥B1D1于点O，连接OB，由长方体的性质知，BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥C1O，因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，所以C1O⊥平面BB1D1D，所以∠C1BO即为直线BC1与平面BB1D1D所成角．在Rt△B1C1D1中，B1C1·C1D1＝B1D1·C1O，易|错|警|示逻辑推理不严密致误

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1.[错解]

∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1.又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1.典例4[错因分析]

错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．[正解]

∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1.又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1.[误区警示]

用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的．

直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(

)A．l和平面α相互平行

B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内

D．不能确定[解析]

如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.对点练习❹D课堂检测•固双基1．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于(

)A．150° B．135°C．90° D．60°C[解析]

依题意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，所以AD⊥平面α，所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°.故选C.2.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(

)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定B[解析]

∵A∈α，C∈α