新教材适用2023-2024学年高中数学第6章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第2课时正弦定理课件新人教A版必修第二册

第六章

平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题．通过对任意三角形边角关系的探索，证明正弦定理并运用正弦定理解三角形，提升逻辑推理素养及数学运算素养.必备知识•探新知

正弦定理的表示

知识点

1正弦想一想：在△ABC中，已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数？提示：已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：根据三角函数的性质来判断．[提醒]

利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．练一练：在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sinB＝(

)A正弦定理的常见变形

知识点

2(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)．(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(5)asinB＝bsinA，asinC＝csinA，bsinC＝csin B．提示：(1)如图，△ABC为锐角三角形，圆O为△ABC的外接圆，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD．(2)如图，△ABC为钝角三角形，圆O为△ABC的外接圆，连接AO并延长交圆O于点B′，连接CB′，则∠B＝180°－∠B．练一练：在△ABC中，一定成立的式子是(

)A．asinA＝bsinB B．asinA＝bcosBC．asinB＝bsinA D．acosB＝bcosA[解析]

由正弦定理，asinB＝bsinA⇒sinAsinB＝sinBsinA．故选C．C关键能力•攻重难

在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，a＝2，解此三角形．[分析]

已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边．题|型|探|究题型一已知两角及一边解三角形典例1[解析]

由三角形内角和定理得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.[归纳提升]

已知任意两角和一边，解三角形的步骤：(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角．(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．对点练习❶题型二已知两边及一边的对角解三角形

在△ABC中，解三角形．(1)b＝4，c＝8，B＝30°；[分析]

在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．典例2[归纳提升]

已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值，判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度．A．30° B．45°C．30°或150° D．45°或135°(2)(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数判断正确的是(

)A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解对点练习❷ABC题型三判断三角形的形状

在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状．典例3[分析]

[解析]

解法一：(角化边)因为(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，整理得：b2(a2－c2＋b2)＝a2(b2－c2＋a2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.所以a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．解法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)·sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA．因为sinC≠0，所以sinBcosB＝sinAcosA．所以sin2B＝sin2A．所以2B＝2A或2B＋2A＝π，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．[归纳提升]

在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合；另一个方向是角，走的是三角变换途径．由于高考重点考查的是三角变换，故解决此类问题时，可先考虑把边转化成角，若用此种方法不好解决问题，再考虑把角转化成边，但计算量常较大．

(1)在△ABC中，已知acosB＝bcosA，则△ABC一定是(

)A．等腰三角形

B．等边三角形C．直角三角形

D．等腰直角三角形对点练习❸A[解析]

(1)由正弦定理得：acosB＝bcosA⇒sinAcosB＝sinBcosA⇒sin(A－B)＝0，由于－π<A－B<π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形.所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B．所以2A＝2B或2A＋2B＝π，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.题型四正、余弦定理的简单综合(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．[分析]

(1)对条件用正弦定理可转化统一成角的关系，进而求出B．(2)由正弦定理可知c＝2a，再用余弦定理列方程可求得a，c.典例4对点练习❹DB即cosB＝cosC，所以B＝C，故△ABC是等边三角形，故选D．易|错|警|示利用正弦定理解三角形典例5BA．30° B．45°C．135° D．45°或135°又B为三角形的内角，所以角B为45°或135°(忽略了对角大小的判断)．[错因分析]

本题最易犯的错误就是：(2)在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．又BC>AC，所以A>B，所以角B为45°.A．135° B．90°C．45° D．30°对点练习❺C课堂检测•固双基AB[解析]

在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝60°，2[解析]

因为A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，所以B＝60°，由正弦定理得5．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△AB