正余弦定理复习课件

正弦定理、余弦定理1．正弦定理、余弦定理及相关知识定理正弦定理余弦定理内容

a2＝

，b2＝

，c2＝

．b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosC变形形式①a＝

，b＝

，c＝

；②sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；(其中R是△ABC外接圆的半径)③a∶b∶c＝

；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.cosA＝

；cosB＝

；cosC＝

.2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC解决解斜三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.△ABC中的常用结论①A+B+C=②A、B、C成等差数列的充要条件是B＝60°；③S△=④a>b⇔A>B⇔sinA>sinB；【知识拓展】(5)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，cos＝sin.(6)三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(7)等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边．【例1】已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝

，求最大角． 思路点拨：由三个角的正弦比，得出三边比，再判断哪个角最大， 然后运用余弦定理求解． 解：由正弦定理，知 ＝2R，

∴a∶b∶c＝

不妨设a＝＋1，b＝－1，c＝，由在三角形中大边对大角知，

∠C最大．由余弦定理，知cosC＝ ，∴∠C＝120°.变式1：已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶＋1)， 求△ABC中的各角的大小． 解：设a＝2k，b＝

k，c＝(＋1)k(k>0)， 利用余弦定理，有cosA＝

∴A＝45°.同理可得cosB＝，B＝60°. ∴C＝180°－(A＋B)＝75°.这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、角关系式转化为角或者边的简单关系式，进而进行判断．【例2】在△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状． 思路点拨：先进行对数的运算，再将边化角即可．解：由lga－lgc＝lgsinB＝lg，得sinB＝，又B为锐角，∴B＝45°.同时，∴

.∴sinC＝2sinA＝2sin(135°－C)，即sinC＝sinC＋cosC，∴cosC＝0，所以C＝90°.故此三角形为等腰直角三角形．变式2：在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)·cosB，那么△ABC的形状是________． 解析：由sinC＝2sin(B＋C)cosB，得sinC＝2sinAcosB.

再结合正、余弦定理得： 整理得a2＝b2，所以△ABC一定是等腰三角形．也可由sinC＝2sinAcosB， 可得sin(A＋B)＝2sinAcosB，sin(A－B)＝0，从而A＝B.

答案：等腰三角形1．这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也有着不同之处，如涉及到的关系式中除角外还可能涉及到边，因而转化方式有角的转化和边的转化．2．三角形中三角函数的证明问题主要是围绕三角形的边和角的三角函数展开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题．【例3】在△ABC中，证明： 思路点拨：等式左边有边也有角，右边只有边，故考虑把等式左边的角转化为边． 证明：左边＝ ＝ ＝右边．故原命题得证．【例4】 在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长．已知a、b、c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求A的大小及的值． 思路点拨：把已知条件a2－c2＝ac－bc变形，构造余弦定理结构求出∠A的值，然后再利用正弦定理变形求出的值．解：(1)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，又∵a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝，∴∠A＝60°.(2)在△ABC中，由正弦定理sinB＝，∵b2＝ac，∠A＝60°，∴

变式3：(2010·北京海淀区高考模拟题)在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边．如果(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，且A≠B， 求证：△ABC是直角三角形．证明：由已知得：a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)]．利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB.由正弦定理得asinB＝bsinA，∴acosA＝bcosB.又由正弦定理得2RsinA＝a,2RsinB＝b，∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B.∵A≠B，∴2A＝π－2B，∴A＋B＝.∴△ABC是直角三角形．1．(苏州市高三教学调研考试)在△ABC中，A，B，C对应的三边长为a，b，c，若a2＝(b＋c)2－bc，则A的大小等于________．解析：根据余弦定理得cosA＝ ，

∴A＝答案：2．(2010·东台中学高三诊断)若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，若m⊥n，则∠C等于________．答案：60°3．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝2， 则此三角形有________个解． 解析：∵A＝60°，c＝4，a＝2，

∴由正弦定理得：，即

∴sinC＝1.又∵0°<C<180°，∴C＝90°，B＝30°.

因此三角形只有一个解． 答案：一在△ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC的形状为________．解析：由已知acosA＝bcosB得，又由正弦定理，得所以，整理得：sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.因为A、B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝，即△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形4．5．(江苏省高考命题研究专家原创卷)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则该三角形的形状是________．解析：由a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，由sinA，sinB，sinC成等比数列得sin2B＝sinAsinC，所以由正弦定理得b2＝ac.⇒a＝c，所以