2024届浙江省慈溪市三山高级中学等六校数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届浙江省慈溪市三山高级中学等六校数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知是的共轭复数，若复数，则在复平面内对应的点是（）A． B． C． D．2．若实数，满足约束条件，则的最大值为（）A．－3 B．1 C．9 D．103．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α∥β,mα,nβ，则m∥n B．若α⊥β，mα,则m⊥βC．若α⊥β,mα,nβ,则m⊥n D．若α∥β，mα，则m∥β4．若且，则下列不等式成立的是()A． B． C． D．5．已知点满足条件则的最小值为（）A．9 B．-6 C．-9 D．66．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为4和2，则输出的值为（）A．32 B．64 C．65 D．1307．已知直线l过点且与直线垂直，则l的方程是（）A． B．C． D．8．若，，且，则与的夹角是（）A． B． C． D．9．若角的终边过点，则()A． B． C． D．10．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为.12．函数的反函数的图象经过点，那么实数的值等于____________.13．已知实数满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是__________.14．函数，的递增区间为______.15．设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．16．___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求A；已知，的面积为的周长．18．已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．19．己知数列的前项和，求数列的通项.20．某校团委会组织某班以小组为单位利用周末时间进行一次社会实践活动，每个小组有5名同学，在活动结束后，学校团委会对该班的所有同学进行了测试，该班的A，B两个小组所有同学得分（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组同学的平均分高一分．（1）若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过86分的概率；（2）现从A、B两组学生中分别随机抽取1名同学，设其分数分别为m、n，求的概率．21．等差数列，等比数列，，，如果，（1）求的通项公式（2），求的最大项的值（3）将化简，表示为关于的函数解析式

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】由，得，所以在复平面内对应的点为，故选A.2、C【解题分析】

画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【题目详解】画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线到的位置，此时目标函数取得最大值为.故选C.【题目点拨】本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.3、D【解题分析】

在中，与平行或异面；在中，与相交、平行或；在中，与相交、平行或异面；在中，由线面平行的性质定理得．【题目详解】由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，，则与平行或异面，故错误；在中，若，，则与相交、平行或，故错误；在中，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；在中，若，，则由线面平行的性质定理得，故正确．故选．【题目点拨】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．4、D【解题分析】

利用不等式的性质对四个选项逐一判断.【题目详解】选项A:，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立，故本选项是错误的；选项C:当时，不成立，故本选项是错误的；选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.【题目点拨】本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.5、B【解题分析】试题分析：满足约束条件的点的可行域，如图所示由图可知，目标函数在点处取得最小值，故选B.考点：线性规划问题.6、C【解题分析】程序运行循环时变量值为：；；；，退出循环，输出，故选C．7、A【解题分析】

直线2x–3y+1=0的斜率为则直线l的斜率为所以直线l的方程为故选A8、B【解题分析】

根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.【题目详解】由题有，即，故，因为，所以.故选：B.【题目点拨】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.9、D【解题分析】

解法一：利用三角函数的定义求出、的值，再利用二倍角公式可得出的值；解法二：利用三角函数的定义求出，再利用二倍角公式以及弦化切的思想求出的值．【题目详解】解法一：由三角函数的定义可得，，，故选D．解法二：由三角函数定义可得，所以，，故选D．【题目点拨】本题考查三角函数的定义与二倍角公式，考查同角三角函数的定义，利用三角函数的定义求值是解本题的关键，同时考查了同角三角函数基本思想的应用，考查计算能力，属于基础题．10、C【解题分析】

根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．【题目详解】甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．故选C．【题目点拨】本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、70【解题分析】设高一、高二抽取的人数分别为，则，解得.【考点】分层抽样.12、【解题分析】

根据原函数与其反函数的图象关于直线对称，可得函数的图象经过点，由此列等式可得结果.【题目详解】因为函数的反函数的图象经过点，所以函数的图象经过点，所以，即，解得.故答案为：【题目点拨】本题考查了原函数与其反函数的图象的对称性，属于基础题.13、【解题分析】

利用数形结合，讨论的范围，比较斜率大小，可得结果.【题目详解】如图，当时，，则在点处取最小值，符合当时，令，要在点处取最小值，则当时，要在点处取最小值，则综上所述：故答案为：【题目点拨】本题考查目标函数中含参数的线性规划问题，难点在于寻找斜率之间的关系，属中档题.14、[0，](开区间也行)【解题分析】

根据正弦函数的单调递增区间，以及题中条件，即可求出结果.【题目详解】由得：，又，所以函数，的递增区间为.故答案为【题目点拨】本题主要考查正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的单调区间即可，属于常考题型.15、【解题分析】

利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．【题目详解】由题意，因为，当时，，又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，由此可得，所以，所以．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．16、【解题分析】

先将写成的形式，再根据诱导公式进行求解.【题目详解】由题意得：.故答案为：.【题目点拨】考查三角函数的诱导公式.，，,,.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）在中，由正弦定理及题设条件，化简得，即可求解．（2）由题意，根据题设条件，列出方程，求的，得到，即可求解周长．【题目详解】（1）在中，由正弦定理及已知得，化简得，，所以.（2）因为，所以，又的面积为，则，则，所以的周长为.【题目点拨】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18、（1），，；（2）线段的长度分别为；（3）不垂直，理由见解析【解题分析】

（1）由已知条件，利用长方体的结构特征，能求出点的坐标．

（2）直接利用两点间距离公式公式求解．（3）求出，，计算数量积即可判断是否垂直.【题目详解】解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，由得：，因为点N是AB的中点，点M是的中点，，；（2）由两点距离公式得：，；（3）直线与直线不垂直，理由：由（1）中各点坐标得：，，与不垂直，所以直线与直线不垂直.【题目点拨】本题考查空间中点的坐标的求法，考查线段长的求法，以及利用向量的坐标运算判断垂直，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19、【解题分析】

根据通项前项和的关系求解即可.【题目详解】解：当时,.当时,.当时,上式也成立.【题目点拨】本题主要考查了根据前项公式求解通项公式的方法.属于基础题.20、（1）（2）【解题分析】

（1）求出A组学生的平均分可得B组学生的平均分，设被污损的分数为X，列方程得X，从而得到B组学生的分数，其中有3人分数超过86分，由此能求出B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率．（2）利用列举法写出在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．【题目详解】（1）A组学生的平均分为，所以B组学生的平均分为86分设被污损的分数为，则，解得所以B组学生的分数为91、93、83、88、75，其中有3人分数超过86分在B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率为.（2）A组学生的分数分别是94、80、86、88、77,B组学生的分数为91、93、83、88、75，在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的基本事件（m，n），有（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），（86,91），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25个随机各抽取1名同学的分数满足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10个∴的概率为.【题目点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、茎叶图等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．21