宁夏银川市2023-2024学年高三上学期期中数学（理科）模拟试题（含解析）

宁夏银川市2023-2024学年高三上学期期中数学（理科）模拟试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（

）A． B．与相交C． D．以上三种情况都有可能3．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．4．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是A．B．C．D．5．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．6．已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为．A．1 B．6 C．7 D．6或77．四棱锥的底面为正方形，底面，，，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．8．设圆的圆心为，点是圆内一定点，点为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．9．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．10．已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．11．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为A． B． C． D．12．已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为A． B． C． D．二､填空题：本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上13．已知，则的值为．14．已知向量，，则在方向上的投影为．15．双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为．16．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第棵树种植在点处，其中，，当时，表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案第棵树种植点的坐标应为．三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算过程.17．如图，在平面四边形，已知，.（1）若平分，且，求的长；（2）若，求的长.18．在等差数列{an}中，，其前n项和为，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）求的取值范围．19．已知，，．（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．20．如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．21．已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆上存在一点，满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值.22．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：且1．D【分析】化简集合A，B，再利用交集的定义直接计算作答.【详解】解不等式得：，则，由得，于是得，所以.故选：D2．D【分析】根据线线，线面的位置关系可判断结果.【详解】在长方体中，平面视为平面，直线为直线a，点E，F分别为棱的中点，如图，显然有平面，当直线b为直线时，直线是异面直线，此时；因，平面，平面，则，当直线b为直线时，直线是异面直线，此时；当直线b为直线时，直线是异面直线，此时与相交，所以直线b与平面可能平行，可能相交，也可能在平面内.故选：D.3．D根据全称命题的否定形式，直接求解.【详解】全称命题“”的否定形式需要改量词，以及结论否定，即否定是.故选：D4．A两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.【详解】由得两条直线交点坐标为：又所求直线与垂直

直线斜率为：所求直线为：，即：本题正确选项：本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标.5．B【分析】在长方体中，连接，可得,得即为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理即可求解.【详解】在长方体中，连接，可得,所以异面直线与所成的角，即为直线与直线所成的角，即为异面直线与所成的角，在长方体中，设，则，在中，由余弦定理得，故选B.本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到为异面直线与所成的角，在中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.6．B【详解】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．考点：等差数列的性质.7．B【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径，故该球的表面积为.故选：B.本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.8．D由垂直平分线的性质可知，从而得到，可知轨迹满足椭圆定义，可得，进而求得，从而得到所求轨迹方程.【详解】为垂直平分线上的一点

点的轨迹是以为焦点的椭圆

，

的轨迹方程为故选：本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够通过垂直平分线的性质得到所求动点轨迹满足椭圆定义.9．A【分析】先根据函数解析式得到还是的定义域，再求出导函数，从而根据条件得到关于的不等式组，进而求解即可．【详解】由，则函数的定义域是，又函数在区间上单调递减，则，得，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选：A．10．B【分析】求出圆的标准方程，根据三条公切线，推出两个圆外切，求出，利用基本不等式求解.【详解】根据题意可得，两圆的标准方程为和，圆心为和，半径分别为2，1，若两圆恰有三条公切线，则等价为两圆外切，则满足圆心距，即则，则,当且仅当，即，取等号.故选：B11．B【详解】∵kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.12．C【分析】画出函数f（x）的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x22，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．【详解】函数f（x）的图象如下图所示：

当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x22，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k恒成立，由[（x1+x2）﹣48]≤2故k≥2，故实数k的最小值为2，故选C．本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．13．【详解】，故答案为14．.【分析】根据向量的投影计算公式，代值即可求得结果.【详解】在方向上的投影为.故答案为.本题考查向量投影的计算公式，属基础题.15．.【分析】由直线平行则斜率相等，求得之间的等量关系，再求离心率即可.【详解】因为渐近线与直线平行，故可得，根据双曲线离心率的计算公式可得：.故答案为.本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.16．.【分析】根据题意，结合累加法，求得与，再代值计算即可.【详解】由题意知，，，，，故可得解得，当时，；，当时，.故第棵树种植点的坐标应为.故答案为.本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.17．（1）（2）【分析】（1）由平分，得出，进而得出，再由余弦定理，即可得出的长；（2）根据三角恒等变换的公式，求得，再由正弦定理得出的长.【详解】（1）若平分，则由余弦定理得解得或（舍）（2）又在中，由正弦定理可得即本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比，等差数列的公差，即可求解；（Ⅱ）利用裂项法求和，即可得到结论．【详解】（Ⅰ）设的公差为，∵，∴，解得或(舍)，.故．（Ⅱ）∴∴∵,∴，∴，即.本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.19．（1）最小正周期为，单调减区间为；（2）最大值为3，最小值为0．【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.（2）根据（1）的结果及的范围求出的范围，从而计算出函数的最值.【详解】解：，，由，的最小正周期，由，得：，的单调递减区间为，；由可得：当时，函数取得最小值为当时，函数取得最大值为故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0．20．（1）证明见详解；（2）.【分析】（1）取中点为，通过证明//，进而证明线面平行；（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【详解】（1）证明：取的中点，连结，，如下图所示：在中，因为为的中点，，且，又为的中点，，，且，，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面，即证.（2）取中点，连结，，则，平面，以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则，，，，，，，，设平面的一个法向量，则，则，令．则，同理得平面的一个法向量为，则，故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.21．（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a，再根据b2＝a2﹣c2＝3，可得椭圆的方程;（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，表示出△F1AB的周长与面积，设直线l的方程为x＝my+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令t，利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解△F1AB内切圆半径的最大值为．【详解】（1）设，则内，由余弦定理得，化简得，解得故，得所以椭圆的标准方程为（2）设，设得内切圆半径为的周长为所以根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为由得由韦达定理得令，则令，则时，单调递增，即当时，的最大值为，此时.故当直线的方程为时，内圆半径的最大值为.本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．22．（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）求函数定义域，再求导，根据导数的正负，判断函数的单调性即可；（2）对参数进行分类讨论，求得不同情况下函数的单调