2024届重庆市万州三中高一数学第二学期期末达标测试试题含解析

2024届重庆市万州三中高一数学第二学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，若，，，则（）A．， B．，C．， D．，2．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则取最大值时，的值为（）A． B． C． D．或3．如果直线a平行于平面，则（）A．平面内有且只有一直线与a平行B．平面内有无数条直线与a平行C．平面内不存在与a平行的直线D．平面内的任意直线与直线a都平行4．已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率满足()A．或 B．或 C． D．5．化成弧度制为（）A． B． C． D．6．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则()A． B． C． D．7．已知等比数列的前项和为，，，则（）A．31 B．15 C．8 D．78．一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（）A． B．3 C． D．129．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为()A． B． C． D．10．在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是（）A．15 B．16 C．17 D．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知角的终边上一点P落在直线上，则______.12．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数应为________.13．已知数列满足，若对任意都有，则实数的取值范围是_________.14．已知数列的通项公式，，前项和达到最大值时，的值为______.15．在直角坐标系中，直线与直线都经过点，若，则直线的一般方程是_____.16．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足：，，数列满足.（1）若数列的前项和为，求的值；（2）求的值.18．某校高一年级有学生480名，对他们进行政治面貌和性别的调查，其结果如下：性别团员群众男80女180（1）若随机抽取一人，是团员的概率为，求，；（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名团员中任选2人，求两人中至多有1个女生的概率．19．已知圆心为的圆过点，且与直线相切于点。（1）求圆的方程；（2）已知点，且对于圆上任一点，线段上存在异于点的一点，使得（为常数），试判断使的面积等于4的点有几个，并说明理由。20．在平面直角坐标系中，直线，.(1)直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;(2)已知点，若直线上存在点满足条件，求实数的取值范围.21．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到，两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

利用正弦定理列出关系式，把与代入得出与的关系式，再与已知等式联立求出即可.【题目详解】∵在中，，，，∴由正弦定理得：，即，联立解得：.故选：A.【题目点拨】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题.2、D【解题分析】

利用等比数列的性质求出、的值，可求出和的值，利用等比数列的通项公式可求出，由此得出，并求出数列的前项和，然后求出，利用二次函数的性质求出当取最大值时对应的值.【题目详解】由题意可知，由等比数列的性质可得，解得，所以，解得，，，则数列为等差数列，，，，因此，当或时，取最大值，故选：D.【题目点拨】本题考查等比数列的性质，同时也考查了等差数列求和以及等差数列前项和的最值，在求解时将问题转化为二次函数的最值求解，考查方程与函数思想的应用，属于中等题.3、B【解题分析】

根据线面平行的性质解答本题．【题目详解】根据线面平行的性质定理，已知直线平面.

对于A，根据线面平行的性质定理，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故A错误；

对于B，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故B正确；

对于C，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，所以C错误；

对于D，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，则在平面内与直线相交的直线与a不平行，所以D错误；

故选：B．【题目点拨】本题考查了线面平行的性质定理；如果直线与平面平行，那么过直线的平面与已知平面相交，直线与交线平行．4、A【解题分析】

画出三点的图像，根据的斜率，求得直线斜率的取值范围.【题目详解】如图所示，过点作直线轴交线段于点，作由直线①直线与线段的交点在线段(除去点)上时，直线的倾斜角为钝角，斜率的范围是.②直线与线段的交点在线段(除去点)上时，直线的倾斜角为锐角，斜率的范围是.因为，，所以直线的斜率满足或.故选:A.【题目点拨】本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.5、A【解题分析】

利用角度化弧度公式可将化为对应的弧度数.【题目详解】由题意可得，故选A.【题目点拨】本题考查角度化弧度，充分利用公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.6、C【解题分析】

根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出【题目详解】由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有，所以，所以，选C.【题目点拨】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题．7、B【解题分析】

利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得.【题目详解】由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.故选：B.【题目点拨】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前项和公式，属于基础题.8、A【解题分析】

根据侧视图的宽为求出正三角形的边长为4，再根据体积求出正三棱柱的高，再求侧视图的面积。【题目详解】侧视图的宽即为俯视图的高，即三角形的边长为4，又侧视图的面积为：【题目点拨】理解：侧视图的宽即为俯视图的高，即可求解本题。9、D【解题分析】

求出正四棱锥的高后可求其体积.【题目详解】正四棱锥底面的对角线的长度为，故正四棱锥的高为，所以体积为，故选D.【题目点拨】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.10、C【解题分析】

由题意可得，，且，由等差数列的性质和求和公式可得结论．【题目详解】∵等差数列的前项和有最大值，∴等差数列为递减数列，又，∴，，∴，又，，∴成立的正整数的最大值是17，故选C．【题目点拨】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由于角的终边上一点P落在直线上，可得，根据二倍角公式以及三角函数基本关系，可得，代入，可求得结果.【题目详解】因为角的终边上一点P落在直线上，所以，.故答案为：【题目点拨】本题考查同角三角函数的基本关系，巧用“1”是解决本题的关键.12、3【解题分析】

先由频率之和等于1得出的值，计算身高在，，的频率之比，根据比例得出身高在内的学生中抽取的人数.【题目详解】身高在，，的频率之比为所以从身高在内的学生中抽取的人数应为故答案为：【题目点拨】本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题.13、【解题分析】

由题若对于任意的都有，可得解出即可得出．【题目详解】∵，若对任意都有，

∴．

∴，

解得．

故答案为．【题目点拨】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14、或【解题分析】

令，求出的取值范围，即可得出达到最大值时对应的值.【题目详解】令，解得，因此，当或时，前项和达到最大值.故答案为：或.【题目点拨】本题考查等差数列前项和最值的求解，可以利用关于的二次函数，由二次函数的基本性质求得，也可以利用等差数列所有非正项或非负项相加即得，考查计算能力，属于基础题.15、【解题分析】

点代入的方程求出k，再由求出直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程.【题目详解】将点代入直线得，，解得，又，，于是的方程为，整理得.故答案为：【题目点拨】本题考查直线的方程，属于基础题.16、【解题分析】

过棱锥顶点作,平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，设正四棱锥的底面长为，根据已知求出a=2,SO=1,再求该正四棱锥的体积.【题目详解】过棱锥顶点作,平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，则为侧面与底面所成角的平面角，即，设正四棱锥的底面长为，则，所以，在中，∵∴，解得，∴∴棱锥的体积.故答案为【题目点拨】本题主要考查空间线面角的计算，考查棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2).【解题分析】

(1)构造数列等差数列求得的通项公式,再进行求和,再利用裂项相消求得；

(2)由题出现,故考虑用分为偶数和奇数两种情况进行计算.【题目详解】(1)由得,即,所以是以为首项,1为公差的等差数列,故,故.所以,故.

(2)当为偶数时,，当为奇数时,为偶数,

综上所述,当为偶数时,,当为奇数时,即.【题目点拨】本题主要考查了等差数列定义的应用，考查构造法求数列的通项公式与裂项求和及奇偶并项求和的方法，考查了分析问题的能力及逻辑推理能力，属于中档题.18、（1），；（2）．【解题分析】

（1）随机抽取一人，是团员的概率为，得，再由总人数为480得的另一个关系式，联立求解，即可得出结论；（2）根据团员男女生人数的比例，可求出抽取一个样本容量为5的样本，男生为2人，女生为3人，将5人编号，列出从5人中抽取2人的所有基本事件，求出至多有1个女生的基本事件的个数，按古典概型求概率，即可求解.【题目详解】解：（1）由题意得：，解得，．（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，抽中男生：人，抽中女生：人，2名男生记为，3名女生记为，在这5名团员中任选2人，基本事件有：共有10个基本事件，两人中至多有1个女生包含的基本事件个数有7个，∴两人中至多有1个女生的概率．【题目点拨】本题考查分层抽样抽取元素个数的分配，考查古典概型的概率，属于基础题.19、（1）（2）使的面积等于4的点有2个【解题分析】

（1）利用条件设圆的标准方程，由圆过点求t，确定圆方程.（2）设，由确定阿波罗尼斯圆方程，与圆C为同一圆，可得，求出N点的坐标，建立ON方程，,再利用面积求点P到直线的距离，判断与ON平行且距离为的两条直线与圆C的位置关系可得结论.【题目详解】（1）依题意可设圆心坐标为，则半径为，圆的方程可写成，因为圆过点，∴，∴，则圆的方程为。（2）由题知，直线的方程为，设满足题意，设，则，所以，则，因为上式对任意恒成立，所以，且，解得或（舍去，与重合）。所以点，则，直线方程为，点到直线的距离，若存在点使的面积等于4，则，∴。①当点在直线的上方时，点到直线的距离的取值范围为，∵，∴当点在直线的上方时，使的面积等于4的点有2个；②当点在直线的下方时，点到直线的距离的取值范围为，∵，∴当点在直线的下方时，使的面积等于4的点有0个，综上可知，使的面积等于4的点有2个。【题目点拨】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，圆的第二定义，考查运算能力，分析问题解决问题的能力，属于难题.20、（1）过定点，定点坐标为；（2）或.【解题分析】

(1)假设直线过定点，则关于恒成立，利用即可结果；(2)直线