新疆昌吉州教育共同体2024届数学高一下期末统考试题含解析

新疆昌吉州教育共同体2024届数学高一下期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线yx+2，则其倾斜角为（）A．60° B．120° C．60°或120° D．150°2．平面内任一向量都可以表示成的形式，下列关于向量的说法中正确的是（）A．向量的方向相同 B．向量中至少有一个是零向量C．向量的方向相反 D．当且仅当时，3．延长正方形的边至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，下列判断正确的是（）A．满足的点必为的中点B．满足的点有且只有一个C．的最小值不存在D．的最大值为4．在中，，且面积为1，则下列结论不正确的是（）A． B． C． D．5．下面的程序运行后，输出的值是（）A．90 B．29 C．13 D．546．直线经过点和，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．7．圆，那么与圆有相同的圆心，且经过点的圆的方程是（）．A． B．C． D．8．已知函数相邻两个零点之间的距离为，将的图象向右平移个单位长度，所得的函数图象关于轴对称，则的一个值可能是（）A． B． C． D．9．直线上的点到圆上点的最近距离为（）A． B． C． D．110．过点P（0，2）作直线x+my﹣4＝0的垂线，垂足为Q，则Q到直线x+2y﹣14＝0的距离最小值为（）A．0 B．2 C． D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设的内角、、的对边分别为、、，且满足.则______.12．如图，正方体中，的中点为，的中点为，为棱上一点，则异面直线与所成角的大小为__________．13．关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图象关于点成中心对称图象；④将函数的图象向左平移个单位后将与的图象重合．其中正确的命题序号__________14．若在等比数列中，，则__________．15．已知向量，则___________.16．数列中，若，，则______；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在锐角三角形中，分别是角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.18．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）设，若恒成立，求的取值范围.19．已知数列满足：，，数列满足.（1）若数列的前项和为，求的值；（2）求的值.20．已知数列满足关系式，.（1）用表示，，；（2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之.21．已知，且，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据直线方程求出斜率，根据斜率和倾斜角之间的关系即可求出倾斜角．【题目详解】由已知得直线的斜率，则倾斜角为120°，故选：B．【题目点拨】本题考查斜率和倾斜角的关系，是基础题．2、D【解题分析】

根据平面向量的基本定理，若平面内任一向量都可以表示成的形式，构成一个基底，所以向量不共线．【题目详解】因为任一向量，根据平面向理的基本定理得，所以向量不共线，故A，C不正确.是一个基底，所以不能为零向量，故B不正确.因为不共线，且不能为零向量，所以若，当且仅当，故D正确.故选：D【题目点拨】本题主要考查平面向量的基本定理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3、D【解题分析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则的坐标为，则设，由得，所以，当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；由以上讨论可知，当时，可为的中点，也可以是点，所以A错；使的点有两个，分别为点与中点，所以B错，当运动到点时，有最小值，故C错，当运动到点时，有最大值，所以D正确，故选D．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．4、C【解题分析】

根据三角形面积公式列式，求得，再根据基本不等式判断出C选项错误.【题目详解】根据三角形面积为得，三个式子相乘，得到，由于，所以.所以，故C选项错误.所以本小题选C.【题目点拨】本小题主要考查三角形面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题.5、D【解题分析】

根据程序语言的作用，模拟程序的运行结果，即可得到答案．【题目详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，退出循环，输出的值为1．故选：D．【题目点拨】本题考查利用模拟程序执行过程求输出结果，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．6、D【解题分析】

算出直线的斜率后可得其倾斜角.【题目详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，根据，而，故，故选D.【题目点拨】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.7、B【解题分析】

圆的标准方程为，圆心，故排除、，代入点，只有项经过此点，也可以设出要求的圆的方程：，再代入点，可以求得圆的半径为．故选．点睛：这个题目主要考查圆的标准方程，因为这是一道选择题，故根据与条件中的圆的方程可以得到圆心坐标，进而可以排除几个选项，如果正规方法，就可以按照已知圆心，写出标准方程，代入已知点求出标准方程即可．8、D【解题分析】

先求周期，从而求得，再由图象变换求得．【题目详解】函数相邻两个零点之间的距离为，则周期为，∴，，图象向右平移个单位得，此函数图象关于轴对称，即为偶函数，∴，，．时，．故选D．【题目点拨】本题考查函数的图象与性质．考查图象平衡变换．在由图象确定函数解析式时，可由最大值和最小值确定，由“五点法”确定周期，从而确定，再由特殊值确定．9、C【解题分析】

求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果.【题目详解】将圆化为标准形式可得可得圆心为，半径，而圆心到直线距离为，

因此圆上点到直线的最短距离为，故选：C.【题目点拨】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求圆心到直线的距离是解题的关键，属于中档题.10、C【解题分析】

由直线过定点，得到的中点，由垂直直线，得到点在以点为圆心，以为半径的圆，求得圆的方程，由此求出到直线的距离最小值，得到答案．【题目详解】由题意，过点作直线的垂线，垂足为，直线过定点，由中点公式可得，的中点，由垂直直线，所以点点在以点为圆心，以为半径的圆，其圆的方程为，则圆心到直线的距离为所以点到直线的距离最小值；，故选：C．【题目点拨】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系的应用，同时涉及到点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解题分析】

解法1有题设及余弦定理得.故.解法2如图4，过点作，垂足为.则，.由题设得.又，联立解得，.故.解法3由射影定理得.又，与上式联立解得，.故.12、【解题分析】

根据题意得到直线MP运动起来构成平面，可得到面，进而得到结果.【题目详解】取的中点O连接，，根据题意可得到直线MP是一条动直线，当点P变动时直线就构成了平面，因为MO均为线段的中点，故得到，四边形为平行四边形，面，故得到，又面，进而得到.故夹角为.故答案为.【题目点拨】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.13、①③【解题分析】

根据题意，由于，根据函数周期为,可知①、若存在，有时，成立；正确，对于②、在区间上是单调递减；因此错误，对于③、，函数的图象关于点成中心对称图象，成立．对于④、将函数的图象向左平移个单位后得到，与的图象重合错误，故答案为①③考点：命题的真假点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．14、【解题分析】

根据等比中项的性质，将等式化成即可求得答案．【题目详解】是等比数列，若，则．因为，所以，．故答案为：1．【题目点拨】本题考查等比中项的性质，考查基本运算求解能力，属于容易题.15、【解题分析】

根据向量夹角公式可求出结果.【题目详解】．【题目点拨】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．16、【解题分析】

先分组求和得，再根据极限定义得结果.【题目详解】因为，，……，，所以则.【题目点拨】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理边化角，可整理求得，根据三角形为锐角三角形可确定的取值；（2）利用正弦定理可将转化为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式整理得到，根据的范围可求得正弦型函数的值域，进而得到所求取值范围.【题目详解】（1）由正弦定理得：为锐角三角形，，即（2）由正弦定理得：为锐角三角形，，即【题目点拨】本题考查正弦定理边化角的应用、边长之和的范围的求解问题；求解边长之和范围问题的关键是能够利用正弦定理将问题转化为三角函数值域的求解问题；易错点是在求解三角函数值域时，忽略角的范围限制，造成求解错误.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由，转化为，利用弦化切的思想得出的值，从而求出的值；（2）由，转化为，然后利用平面向量数量积的坐标运算律和辅助角公式与函数的解析式进行化简，并求出在区间的最大值，即可得出实数的取值范围．【题目详解】（1）∵，且，，，∴，即，又∵，∴；（2）易知，，∵，∴，，当时，，取得最大值：，又恒成立，即，故．【题目点拨】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的最值，在求解含参函数的不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，考查转化与化归数学思想，考查计算能力，属于中等题．19、(1)；(2).【解题分析】

(1)构造数列等差数列求得的通项公式,再进行求和,再利用裂项相消求得；

(2)由题出现,故考虑用分为偶数和奇数两种情况进行计算.【题目详解】(1)由得,即,所以是以为首项,1为公差的等差数列,故,故.所以,故.

(2)当为偶数时,，当为奇数时,为偶数,

综上所述,当为偶数时,,当为奇数时,即.【题目点拨】本题主要考查了等差数列定义的应用，考查构造法求数列的通项公式与裂项求和及奇偶并项求和的方法，考查了分析问题的能力及逻辑推理能力，属于中档题.20、（1），，（2）猜想：，证明见解析【解题分析】

（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明【题目详解】解：（1），∴，，；（2）猜想：.证明：当时，结论显然成立；假设时结论成立，即，则时，，即时结论