2024届江苏省淮安市淮安中学数学高一第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届江苏省淮安市淮安中学数学高一第二学期期末联考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A． B． C． D．2．在中，角、、所对的边分别为、、，如果，则的形状是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形3．已知，，则（）A． B． C． D．4．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，边上的高，且，则等于()A． B． C． D．6．若直线与函数的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数图象的对称中心为（）A． B． C． D．7．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A． B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形8．从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(其中红球和绿球都多于2个)，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个红球，至少有一个绿球B．恰有一个红球，恰有两个绿球C．至少有一个红球，都是红球D．至少有一个红球，都是绿球9．在中，角所对的边分别为，若.且，则的值为（）A． B．C． D．或10．下列结论正确的是（）A．若则； B．若，则C．若，则 D．若，则；二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列满足，则的前60项和为_____．12．当函数取得最大值时，=__________．13．过点作直线与圆相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为______________.14．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线，则的方程是____________.15．数列满足：（且为常数），，当时，则数列的前项的和为________.16．向边长为的正方形内随机投粒豆子，其中粒豆子落在到正方形的顶点的距离不大于的区域内（图中阴影区域），由此可估计的近似值为______.（保留四位有效数字）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆与轴交于两点，且（为圆心），过点且斜率为的直线与圆相交于两点（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若，求的取值范围；（Ⅲ）若向量与向量共线（为坐标原点），求的值18．已知关于的不等式．（1）当时，解上述不等式．（2）当时，解上述关于的不等式19．设数列的前项和，数列为等比数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．在中，内角A、B、C所对的边分别为，，，已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设，，求．21．（1）计算：;（2）化简：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

只需根据函数性质逐步得出值即可。【题目详解】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C。【题目点拨】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数。2、C【解题分析】

结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结果【题目详解】利用正弦定理得，化简得，即，则或，解得或故的形状是等腰三角形或直角三角形故选：C【题目点拨】本题考查根据正弦定理和三角恒等变化，三角函数的诱导公式化简求值，属于中档题3、C【解题分析】

由放缩法可得出，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误.【题目详解】，，可得.取，，，则A、D选项中的不等式不成立；取，，，则B选项中的不等式不成立；且，由不等式的基本性质得，C选项中的不等式成立.故选：C.【题目点拨】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.4、C【解题分析】

根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．【题目详解】甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．故选C．【题目点拨】本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.5、A【解题分析】

在中得到，，在中得到，利用面积公式计算得到.【题目详解】如图所示：在中：，根据勾股定理得到在中：利用勾股定理得到，故故选A【题目点拨】本题考查了勾股定理，面积公式，意在考查学生解决问题的能力.6、A【解题分析】

先计算周期得到，得到函数表达式，再根据中心对称公式得到答案.【题目详解】直线与函数的图象相邻的两个交点之间的距离为1则的对称中心横坐标为：对称中心为故答案选A【题目点拨】本题考查了函数的周期，对称中心，意在考查学生综合应用能力.7、C【解题分析】

由，化简可得，得到,又由四边形为平行四边形，即可得到答案.【题目详解】由，则，即，化简可得，所以，即,又由四边形为平行四边形，所以该四边形为矩形，故选C.【题目点拨】本题主要考查了向量的基本运算，以及向量的垂直关系的应用，其中解答中熟记向量的基本运算，以及向量的垂直的判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、B【解题分析】由于从口袋中任取2个球有三个事件，恰有一个红球，恰有两个绿球,一红球和一绿球.所以恰有一个红球，恰有两个绿球是互斥而不对立的两个事件.因而应选B.9、D【解题分析】

首先根据余弦定理，得到或.再分别计算即可.【题目详解】因为，所以，即：，解得：或.当时，.当时，.所以或.故选：D【题目点拨】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记公式为解题的关键，属于中档题.10、D【解题分析】

根据不等式的性质，结合选项，进行逐一判断即可.【题目详解】因，则当时，；当时，，故A错误；因，则或，故B错误；因，才有，条件不足，故C错误；因，则，则只能是，故D正确.故选：D.【题目点拨】本题考查不等式的基本性质，需要对不等式的性质非常熟练，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1830【解题分析】

由题意可得，，，，，，…，，变形可得，，，，，，，，…，利用数列的结构特征，求出的前60项和．【题目详解】解：，∴，，，，，，…，，∴，，，，，，，，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，的前60项和为，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前项和，属于中档题．12、【解题分析】

利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果.【题目详解】因为函数，其中，，当时，函数取得最大值，此时，∴，，∴故答案为【题目点拨】本题考查了两角差的正弦公式的逆用，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，属于中档题.13、【解题分析】

根据圆的性质可求得最长弦和最短弦的长度，从而得到所有弦长为整数的直线条数，从中找到长度不超过的直线条数，根据古典概型求得结果.【题目详解】由题意可知，最长弦为圆的直径：在圆内部且圆心到的距离为最短弦长为：弦长为整数的直线的条数有：条其中长度不超过的条数有：条所求概率：本题正确结果：【题目点拨】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到过圆内一点的最长弦和最短弦的长度的求解；易错点是忽略圆的对称性，造成在求解弦长为整数的直线的条数时出现丢根的情况.14、；【解题分析】试题分析：设垂直于直线的直线为，因为直线在轴上的截距为，所以，所以直线的方程是.考点：两直线的垂直关系.15、【解题分析】

直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和.【题目详解】数列满足：（且为常数），，当时，则，所以（常数），故，所以数列的前项为首项为，公差为的等差数列.从项开始，由于，所以奇数项为、偶数项为，所以，故答案为：【题目点拨】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.16、3.1【解题分析】

根据已知条件求出满足条件的正方形的面积，及到顶点的距离不大于1的区域（图中阴影区域）的面积比值等于频率即可求出答案．【题目详解】依题意得，正方形的面积，阴影部分的面积，故落在到正方形的顶点的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的概率，随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的频率为：，即有：，解得：，故答案为3.1．【题目点拨】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件的基本事件对应的“几何度量”（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”，最后根据求解．利用频率约等于概率，即可求解。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解题分析】

（Ⅰ）由圆的方程得到圆心坐标和；根据、为等腰直角三角形可知，从而得到，解方程求得结果；（Ⅱ）设直线方程为；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；由垂径定理可得到，利用可构造不等式求得结果；（Ⅲ）直线方程与圆方程联立，根据直线与圆有两个交点可根据得到的取值范围；设，，利用韦达定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共线定理可得到关于的方程，解方程求得满足取值范围的结果.【题目详解】（Ⅰ）由圆得：圆心，由题意知，为等腰直角三角形设的中点为，则也为等腰直角三角形，解得：（Ⅱ）设直线方程为：则圆心到直线的距离：由，，可得：，解得：的取值范围为：（Ⅲ）联立直线与圆的方程：消去变量得：设，，由韦达定理得：且，整理得：解得：或，与向量共线，，解得：或不满足【题目点拨】本题考查直线与圆位置关系的综合应用，涉及到圆的方程的求解、垂径定理的应用、平面向量共线定理的应用；求解直线与圆位置关系综合应用类问题的常用方法是灵活应用圆心到直线的距离、直线与圆方程联立，韦达定理构造方程等方法，属于常考题型.18、（1）．（2）当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为或【解题分析】

（1）将代入，结合一元二次不等式解法即可求解.（2）根据不等式，对分类讨论，即可由零点大小确定不等式的解集.【题目详解】（1）当时，代入可得，解不等式可得，所以不等式的解集为.（2）关于的不等式．若，当时，代入不等式可得，解得；当时，化简不等式可得，由解不等式可得，当时，化简不等式可得，解不等式可得或，综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或【题目点拨】本题考查了一元二次不等式的解法，含参数分类讨论的应用，属于基础题.19、（1），；（2）【解题分析】

(1)通过求解数列的通项公式,从而可以求出首项与公比,即可得到的通项公式;(2)化简,利用错位相减法求解数列的和即可.【题目详解】(1)∴,∴,∵,∴,∴,,∵,,∴,从而,∵数列为等比数列∴数列的公比为,从而;(2)∵,,∴∴∴,∴.【题目点拨】本题考查已知求的通项公式以及数列求和,考查计算能力.在通过求的通项公式时,不要忽略时的情况.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理及其．可得，利用和差公式化简整理可得B．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理即可得出b．【题目详解】（Ⅰ