北京市西城区161中学2024届数学高一第二学期期末联考模拟试题含解析

北京市西城区161中学2024届数学高一第二学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.2．已知锐角满足，则（）A． B． C． D．3．在中，，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形4．在等差数列中，，则等于()A．5 B．6 C．7 D．85．已知，取值如下表：014561.3m3m5.67.4画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则m的值(精确到0.1)为()A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.86．某数学竞赛小组有3名男同学和2名女同学，现从这5名同学中随机选出2人参加数学竞赛（每人被选到的可能性相同）.则选出的2人中恰有1名男同学和1名女同学的概率为（）A． B． C． D．7．己知函数（，，，）的图象（部分）如图所示，则的解析式是（）A． B．C． D．8．已知,下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．9．在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，是上一动点，则的最小值是（）A． B． C． D．10．已知为不同的平面,为不同的直线则下列选项正确的是（）A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，则当3a2+a4取得最小值时，＝_____．12．将正整数按下图方式排列，2019出现在第行第列，则______；12345678910111213141516………13．已知函数那么的值为．14．已知是等差数列，公差不为零，若，，成等比数列，且，则________15．已知两个正实数x，y满足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，则实数m的取值范围是______________16．已知向量a＝(3，2)，b＝(0，－1)，那么向量3b－a的坐标是．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．为选派一名学生参加全市实践活动技能竟赛，A、B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试，他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示（单位：mm）A、B两位同学各加工的10个零件直径的平均数与方差列于下表；平均数方差A200.016B20s2B根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：（Ⅰ）计算s2B，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；（Ⅱ）考虑图中折线走势情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由．18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．（1）求A；（2）求面积的最大值.19．在中，，且.（1）求边长；（2）求边上中线的长.20．在上海自贸区的利好刺激下，公司开拓国际市场，基本形成了市场规模；自2014年1月以来的第个月（2014年1月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量+出口量）分别为、和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中，为常数，），已知万件，万件，万件.（1）求，的值，并写出与满足的关系式；（2）证明：逐月递增且控制在2万件内；21．等差数列中，，.（1）求数列的通项公式;（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了2、D【解题分析】

根据为锐角可求得，根据特殊角三角函数值可知，从而得到，进而求得结果.【题目详解】，又，即本题正确选项：【题目点拨】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够熟悉特殊角的三角函数值，根据角的范围确定特殊角的取值.3、B【解题分析】

利用余弦定理、三角形面积公式、正弦定理，求得和，通过等式消去，求得的两个值，再判断三角形的形状.【题目详解】，又，，，又，，又，，，，，，解得：或，一定是直角三角形.【题目点拨】本题在求解过程中对存在两组解，要注意解答的完整性与严谨性，综合两种情况，再对的形状作出判断.4、C【解题分析】

由数列为等差数列，当时，有，代入求解即可.【题目详解】解：因为数列为等差数列，又，则，又，则，故选：C.【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，属基础题.5、C【解题分析】

根据表格中的数据，求得样本中心为，代入回归直线方程，即可求解.【题目详解】由题意，根据表格中的数据，可得，，即样本中心为，代入回归直线方程，即，解得，故选C.【题目点拨】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的基本特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6、A【解题分析】

把5名学生编号，然后写出任取2人的所有可能，按要求计数后可得概率．【题目详解】3名男生编号为，两名女生编号为，任选2人的所有情形为：，，共10种，其中恰有1名男生1名女生的有共6种，所以所求概率为．【题目点拨】本题考查古典概型，方法是列举法．7、C【解题分析】

根据图象可知，利用正弦型函数可求得；根据最大值和最小值可确定，利用及可求得，从而得到函数解析式.【题目详解】由图象可知，的最小正周期：又又，且，，即，本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确由最大值和最小值确定；由周期确定；通常通过最值点来进行求解，属于常考题型.8、A【解题分析】

逐个选项进行判断即可.【题目详解】A选项，因为，所以.当时即不满足选项B,C,D.故选A.【题目点拨】此题考查不等式的基本性质，是基础题.9、B【解题分析】

连，沿将展开与在同一个平面内，不难看出的最小值是的连线,由余弦定理即可求解．【题目详解】解：连，沿将展开与在同一个平面内，如图所示，

连，则的长度就是所求的最小值．

，可得

又,

,

在中，由余弦定理可求得,故选B．【题目点拨】本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，是中档题．10、C【解题分析】

通过对ABCD逐一判断，利用点线面的位置关系即可得到答案.【题目详解】对于A选项，有可能异面，故错误；对于B选项，可能相交或异面，故错误；对于C选项，，显然故正确；对于D选项，也有可能，故错误.所以答案选C.【题目点拨】本题主要考查直线与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力，难度不大.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

利用等比数列的性质，结合基本不等式等号成立的条件，求得公比，由此求得的值.【题目详解】∵在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，根据等比数列的性质和基本不等式得，当且仅当，即，即q时，3a2+a4取得最小值，∴log3q＝log3．故答案为：【题目点拨】本小题主要考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.12、128【解题分析】

观察数阵可知：前行一共有个数，且第行的最后一个数为，且第行有个数，由此可推断出所在的位置.【题目详解】因为前行一共有个数，且第行的最后一个数为，又因为，所以在第行，且第45行最后数为，又因为第行有个数，，所以在第列，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查数列在数阵中的应用，着重考查推理能力，难度一般.分析数列在数阵中的应用问题，可从以下点分析问题：观察每一行数据个数与行号关系，同时注意每一行开始的数据或结尾数据，所有行数据的总个数，注意等差数列的求和公式的运用.13、【解题分析】试题分析：因为函数所以==．考点：本题主要考查分段函数的概念，计算三角函数值．点评：基础题，理解分段函数的概念，代入计算．14、【解题分析】

根据题设条件，得到方程组，求得，即可得到答案.【题目详解】由题意，数列是等差数列，满足，，成等比数列，且，可得，即且，解得，所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等比中项的应用，其中解答中熟练利用等差数列的通项公式和等比中项公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、(-∞,1)【解题分析】

由x+2y（x+2y）（）（1），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得m＜x+2y的最小值．【题目详解】两个正实数x，y满足2，则x+2y（x+2y）（）（1）（1+2）＝1，当且仅当x＝2y＝2时，上式取得等号，x+2y﹣m＞0，即为m＜x+2y，由题意可得m＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【题目点拨】本题考查基本不等式的运用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．16、【解题分析】试题分析：因为,所以.考点：向量坐标运算.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）0.008，B的成绩好些（Ⅱ）派A去参赛较合适【解题分析】

（Ⅰ）利用方差的公式，求得S2A＞S2B，从而在平均数相同的情况下，B的波动较小，由此得到B的成绩好一些；（Ⅱ）从图中折线趋势可知尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，从而派A去参赛较合适.【题目详解】（Ⅰ）由题意，根据表中的数据，利用方差的计算公式，可得S2B∴S2A＞S2B，∴在平均数相同的情况下，B的波动较小，∴B的成绩好些．（Ⅱ）从图中折线趋势可知：尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，∴派A去参赛较合适．【题目点拨】本题主要考查了方差的求法及其应用，同时考查了折线图、方差的性质等基础知识.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）由题目条件a=1，可以将（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC中的1换成a，达到齐次化的目的，再用正余弦定理解决；（2）已知∠A，要求△ABC的面积，可用公式，因此把问题转化为求bc的最大值．【题目详解】（1）因为（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理得：（1+b）（a-b）=（c-b）c∴（a+b）（a-b）=（c-b）c，得b2+c2-a2=bc由余弦定理得：，所以．（2）因为b2+c2-a2=bc，所以bc=b2+c2-1≥2bc-1，可得bc≤1；所以，当且仅当b=c=1时，取等号．∴面积的最大值.【题目点拨】本题考查正弦定理解三角形及面积问题，解决三角形面积最值问题常常结合均值不等式求解，属于中等题.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用同角的三角函数关系，可以求出的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出长；（2）利用余弦定理可以求出的长，进而可以求出的长，然后在中，再利用余弦定理求出边上中线的长.【题目详解】（1），，由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中点，故，在中，由余弦定理可知：【题目点拨】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.20、（1），（2）详见解析【解题分析】试题分析：（1）依题意：，将n取1，2，构建方程组，即可求得a，b的值，从而可得与满足的关系式；（2）先证明，于是，再用作差法证明，从而可得结论；试题解析：（1）依题意：，∴，∴……………①又，∴……………②解①②得从而（2）由于．但，否则可推得矛盾