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文档简介

2024届甘肃省酒泉市敦煌中学数学高一第二学期期末考试试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.()A. B. C. D.2.椭圆中以点M(1,2)为中点的弦所在直线斜率为()A. B. C. D.3.从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(其中红球和绿球都多于2个),那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有一个红球,至少有一个绿球B.恰有一个红球,恰有两个绿球C.至少有一个红球,都是红球D.至少有一个红球,都是绿球4.若,则的最小值为()A. B. C. D.5.在如图的正方体中,M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为()A. B. C. D.6.若向量与向量不相等,则与一定()A.不共线 B.长度不相等 C.不都是单位向量 D.不都是零向量7.问题:①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内,其中红色箱子内有500个,蓝色箱子内有200个,黄色箱子内有300个,现从中抽取一个容量为100的样本;②从20名学生中选出3名参加座谈会.方法:Ⅰ.随机抽样法Ⅱ.系统抽样法Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是()A.①Ⅰ,②Ⅱ B.①Ⅲ,②Ⅰ C.①Ⅱ,②Ⅲ D.①Ⅲ,②Ⅱ8.数列的首项为,为等差数列,且(),若,,则()A. B. C. D.9.已知,且,,这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则()A.7 B.6 C.5 D.910.已知空间中两点和的距离为6,则实数的值为()A.1 B.9 C.1或9 D.﹣1或9二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.设函数,则________.12.已知数列满足,,,则__________.13.中,三边所对的角分别为,若,则角______.14.和2的等差中项的值是______.15.下列结论中:①②函数的图像关于点对称③函数的图像的一条对称轴为④其中正确的结论序号为______.16.在中,已知,则____________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.从全校参加科技知识竞赛初赛的学生试卷中,抽取一个样本,考察竞赛的成绩分布.将样本分成5组,绘成频率分布直方图(如图),图中从左到右各小组的小长方形的高之比是,最后一组的频数是6.请结合频率分布直方图提供的信息,解答下列问题:(1)样本的容量是多少?(2)求样本中成绩在分的学生人数;(3)从样本中成绩在90.5分以上的同学中随机地抽取2人参加决赛,求最高分甲被抽到的概率.18.若关于的不等式对一切实数都成立,求实数的取值范围.19.如图,在平面直角坐标系中,锐角、的终边分别与单位圆交于、两点.(1)如果,点的横坐标为,求的值;(2)已知点,函数,若,求.20.设数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,为数列位的前项和,求;(3)在(2)的条件下,是否存在自然数,使得对一切恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.21.如图,在四棱锥中,底面,底面为矩形,为的中点,且,,.(1)求证:平面;(2)若点为线段上一点,且,求四棱锥的体积.

参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

将根据诱导公式化为后,利用两角和的正弦公式可得.【题目详解】.故选:A【题目点拨】本题考查了诱导公式,考查了两角和的正弦公式,属于基础题.2、A【解题分析】

先设出弦的两端点的坐标,分别代入椭圆方程,两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.【题目详解】设弦的两端点为,,代入椭圆得,两式相减得,即,即,即,即,∴弦所在的直线的斜率为,故选A.【题目点拨】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系.在解决弦长的中点问题,涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化,达到解决问题的目的,属于中档题.3、B【解题分析】由于从口袋中任取2个球有三个事件,恰有一个红球,恰有两个绿球,一红球和一绿球.所以恰有一个红球,恰有两个绿球是互斥而不对立的两个事件.因而应选B.4、D【解题分析】

根据对数运算可求得且,,利用基本不等式可求得最小值.【题目详解】由得:且,(当且仅当时取等号)本题正确选项:【题目点拨】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题,关键是能够利用对数运算得到积的定值,属于基础题.5、C【解题分析】

将平移到一起,根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.【题目详解】连接如下图所示,由于分别是棱和棱的中点,故,根据正方体的性质可知,所以是异面直线所成的角,而三角形为等边三角形,故.故选C.【题目点拨】本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法,考查空间想象能力,属于基础题.6、D【解题分析】

由方向相同且模相等的向量为相等向量,再逐一判断即可得解.【题目详解】解:向量与向量不相等,它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同,但不能都是零向量,即选项A、B、C错误,D正确.故选:D.【题目点拨】本题考查了相等向量的定义,属基础题.7、B【解题分析】解:(1)中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故(1)要采用分层抽样的方法(2)中由于总体数目不多,而样本容量不大故(2)要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是:(1)Ⅲ(2)Ⅰ.故选B.8、B【解题分析】由题意可设等差数列的首项为,公差为,所以所以,所以,即=2n-8,=,所以,选B.9、C【解题分析】

由,可得成等比数列,即有=4;讨论成等差数列或成等差数列,运用中项的性质,解方程可得,即可得到所求和.【题目详解】由,可得成等比数列,即有=4,①若成等差数列,可得,②由①②可得,1;若成等差数列,可得,③由①③可得,1.综上可得1.故选:C.【题目点拨】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质,考查运算能力,属于中档题.10、C【解题分析】

利用空间两点间距离公式求出值即可。【题目详解】由两点之间距离公式,得:,化为:,解得:或9,选C。【题目点拨】空间两点间距离公式:。代入数据即可,属于基础题目。二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解题分析】

利用反三角函数的定义,解方程即可.【题目详解】因为函数,由反三角函数的定义,解方程,得,所以.故答案为:【题目点拨】本题考查了反三角函数的定义,属于基础题.12、-2【解题分析】

根据题干中所给的表达式得到数列的周期性,进而得到结果.【题目详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性,周期为3,故得到故得到故答案为:-2.【题目点拨】这个题目考查了求数列中的某些项,一般方法是求出数列通项,对于数列通项不容易求的题目,可以列出数列的一些项,得到数列的周期或者一些其它规律,进而得到数列中的项.13、【解题分析】

利用余弦定理化简已知条件,求得的值,进而求得的大小.【题目详解】由得,由于,所以.【题目点拨】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查特殊角的三角函数值,属于基础题.14、【解题分析】

根据等差中项性质求解即可【题目详解】设等差中项为,则,解得故答案为:【题目点拨】本题考查等差中项的求解,属于基础题15、①③④【解题分析】

由两角和的正切公式的变形,化简可得所求值,可判断①正确;由正切函数的对称中心可判断②错误;由余弦函数的对称轴特点可判断③正确;由同角三角函数基本关系式和辅助角公式、二倍角公式和诱导公式,化简可得所求值,可判断④正确.【题目详解】①,故①正确;②函数的对称中心为,,则图象不关于点对称,故②错误;③函数,由为最小值,可得图象的一条对称轴为,故③正确;④,故④正确.【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象和性质应用以及三角函数的恒等变换,意在考查学生的化简运算能力.16、84【解题分析】

根据余弦定理以及同角公式求得,再根据面积公式可得答案.【题目详解】由余弦定理可得,又,所以,所以.故答案为:84【题目点拨】本题考查了余弦定理,考查了同角公式,考查了三角形的面积公式,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)48;(2)30;(3)【解题分析】

(1)设样本容量为,列方程求解即可;(2)根据比例列式求解即可;(3)根据比例得成绩在90.5分以上的同学有6人,抽取2人参加决赛,列举出总的基本事件个数,然后列举出最高分甲被抽到的基本事件个数,根据概率公式可得结果.【题目详解】解:(1)设样本容量为,则,解得,所以样本的容量是48;(2)样本中成绩在分的学生人数为:人;(3)样本中成绩在90.5分以上的同学有人,设这6名同学分别为,其中就是甲,从这6名同学中随机地抽取2人参加决赛有:共15个基本事件,其中最高分甲被抽到的有共5个基本事件,则最高分甲被抽到的概率为.【题目点拨】本题考查频率,频数,样本容量间的关系,考查古典概型的概率公式,重点是列举出总的基本事件和满足题目要求的基本事件,是基础题.18、【解题分析】

对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论,对时,利用二次函数的图象进行分析求解.【题目详解】当时,不等式对一切实数都成立,所以成立;当时,由题意得解得:;综上所述:.【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题,注意运用分类讨论思想进行求解,同时也要结合二次函数的图象进行问题分析与求解.19、(1);(2)【解题分析】

(1)根据条件求出的正余弦值,利用两角和的余弦公式计算即可(2)利用向量的数量积坐标公式运算可得,由求出即可求解.【题目详解】(1),为锐角,则,点的横坐标为,即有,,则;(2)由题意可知,,,则,即,由,可得,则,即有..【题目点拨】本题主要考查了单位圆,三角函数的定义,同角三角函数之间的关系,向量数量积的坐标运算,属于中档题.20、(1)(2)(3)【解题分析】

(1)根据题干可推导得到,进而得到数列是以为首项,为公比的等比数列,由等比数列的通项公式得到结果;(2)由错位相减的方法得到结果;(3)根据第二问得到:,数列单调递增,由数列的单调性得到数列范围.【题目详解】(1)由,令,则,又,所以.当时,由可得,,即,所以是以为首项,为公比的等比数列,于是.(2)∴∴从而.(3)由(2)知,∴数列单调递增,∴,又,∴要恒成立,则,解得,又,故.【题目点拨】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。21、(1)见解析(2)6【解题分析】

(1)连接交于点,得出点为的中点,利用中位线的性质得出,再利用直线与平面平行的判定定理可得出平面;(2)过作交于,由平面,得出平面,可而出,结合,可证明出平面,可得出,并计算出,利用平行线的性质求出的长,再利用锥体的体

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