2024届广东省佛山市佛山三中高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届广东省佛山市佛山三中高一数学第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则，的值分别为A． B．C． D．3．化简：（）A． B． C． D．4．已知、是球的球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为()A． B． C． D．5．定义运算，设，若，，，则的值域为（）A． B． C． D．6．已知幂函数过点，则的值为()A． B．1 C．3 D．67．已知数列是公差不为零的等差数列，是等比数列，，，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．与的大小不确定8．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A． B． C． D．9．执行如图的程序框图，则输出的λ是()A．-2 B．-4 C．0 D．-2或010．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知3a＝2，则32a＝____，log318﹣a＝_____12．设,满足约束条件,则的最小值是______.13．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．14．设满足约束条件，则目标函数的最大值为______．15．的值为__________．16．某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究生人数为_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，，，，解三角形.18．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.19．设两个非零向量，不共线，如果，，.（1）求证：、、共线；（2）试确定实数，使和共线.20．已知数列满足：，（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）设，数列的前n项和，求证：21．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点为线段上靠近点的三等分点．求点的坐标：若点在轴上，且直线与直线垂直，求点的坐标．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【题目详解】由z（1﹣i）=2，得z=，∴．则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选D．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2、A【解题分析】

根据众数的概念可确定；根据平均数的计算方法可构造方程求得.【题目详解】甲组数据众数为甲组数据的中位数为乙组数据的平均数为：，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查茎叶图中众数、中位数、平均数的求解，属于基础题.3、A【解题分析】

.故选A．【题目点拨】考查向量数乘和加法的几何意义，向量加法的运算．4、A【解题分析】

当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为，求出半径，即可求出球的表面积．【题目详解】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，.因此，球的表面积为.故选：A.【题目点拨】本题考查球的半径与表面积的计算，确定点的位置是关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5、C【解题分析】

由题意，由于与都是周期函数，且最小正周期都是，故只须在一个周期上考虑函数的值域即可，分别画出与的图象，如图所示，观察图象可得：的值域为，故选C.6、C【解题分析】

设，代入点的坐标，求得，然后再求函数值．【题目详解】设，由题意，，即，∴．故选：C.【题目点拨】本题考查幂函数的解析式，属于基础题．7、A【解题分析】

设等比数列的公比为，结合题中条件得出且，将、、、用与表示，利用因式分解思想以及基本不等式可得出与的不等关系，并结合等差数列下标和性质可得出与的大小关系.【题目详解】设等比数列的公比为，由于等差数列是公差不为零，则，从而，且，得，，，即，另一方面，由等差数列的性质可得，因此，，故选：A.【题目点拨】本题考查等差数列和等比数列性质的应用，解题的关键在于将等比中的项利用首项和公比表示，并进行因式分解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、C【解题分析】

在中，利用正弦定理求出即可．【题目详解】在中，角，，所对的边分别为，，，已知：，，，利用正弦定理：，解得：.故选C．【题目点拨】本题考查了正弦定理的应用及相关的运算问题，属于基础题．9、A【解题分析】

根据框图有，由判断条件即即可求出的值.【题目详解】由有.根据输出的条件是，即.所以，解得：.故选：A【题目点拨】本题考查程序框图和向量的加法以及数量积以及性质，属于中档题.10、B【解题分析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、42.【解题分析】

由已知结合指数式的运算性质求解，把化为对数式得到，代入，再由对数的运算性质求解.【题目详解】∵，∴，由，得，∴.故答案为：，.【题目点拨】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数的运算性质，属于基础题.12、1【解题分析】

根据不等式组，画出可行域，数形结合求解即可.【题目详解】由题可知，可行域如下图所示：容易知：，可得：，结合图像可知，的最小值在处取得，则.故答案为：1.【题目点拨】本题考查线性规划的基础问题，只需作出可行域，数形结合即可求解.13、【解题分析】如图所示，由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．答案：点睛：求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．14、7【解题分析】

首先画出可行域，然后判断目标函数的最优解，从而求出目标函数的最大值.【题目详解】如图，画出可行域，作出初始目标函数，平移目标函数，当目标函数过点时，目标函数取得最大值，，解得,.故填：7.【题目点拨】本题考查了线性规划问题，属于基础题型.15、【解题分析】

直接利用诱导公式化简求值.【题目详解】,故答案为:.【题目点拨】本题考查诱导公式的应用,属于基础题.16、50【解题分析】

先计算出招聘后高中数学教师总人数，然后利用比例保持不变，得到该县今年计划招聘的研究生人数.【题目详解】招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，则招聘后，该县高中数学教师总人数为，招聘后研究生的比例保持不变，该县今年计划招聘的研究生人数为.【题目点拨】本题主要考查学生的阅读理解能力和分析能力，从题目中提炼关键字眼“比例保持不变”是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、当时，，，当，，【解题分析】

利用已知条件通过正弦定理求出，然后利用正弦定理或余弦定理转化求解，即可求解．【题目详解】在中，，由正弦定理可得：＝＝，因为，所以或，当时，因为，所以，从而，当时，因为，所以，从而＝．【题目点拨】本题主要考查了三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理与余弦定理，合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.【题目详解】（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.19、（1）证明见解析（2）【解题分析】

(1)要证、、共线，只要证明存在实数，使得成立即可.

(2)利用向量共线的充要条件和两个非零向量与不共线即可求出.【题目详解】(1)证明：由.又，则.所以.所以、、共线.（2）和共线，则存在实数，使得成立.向量，不共线,所以，解得：所以当时，使和共线.【题目点拨】本题考查利用向量共线的充要条件证明点共线和求参数的值.20、(1)；；(2)(3)见证明；【解题分析】

（1）令可求得；（2）在已知等式基础上，用代得另一等式，然后相减，可求得，并检验一下是否适合此表达式；（3）用裂项相消法求和．【题目详解】解：（1）由已知得，∴(2)由，①得时，，②①-②得∴，也适合此式，∴（）．（3）由（2）得，∴∴∵，∴∴【题目点拨】本题考查由数列的通项公式，考查裂项相消法求和．求通项公式时的方法与已知求的方法一样，本题就相当于已知数列的前项和