2022北京海淀区高二上学期期末数学试题及答案

高二第一学期期末参考样题数学2022.01学校姓名准考证号1．本样题共5页，共两部分，19道题，满分100分。考试时间90分钟。2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。考生须知3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4．在答题卡上，选择题用铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。第一部分（选择题共4010440求的一项。（1）下列直线中,倾斜角为的是（A）x+y−1=0（）x+1=0（）x−y+2=0x−2y−1=0（D）（2）若直线x+1=0与直线−2x+y=0垂直则的值为,a（A）2（）112−（D）−1（）（3）如图,在四面体O中−,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为的中点,则OE可用向量a,b,c表示为A111214111（A）a+b+cc（）a+b+cc21212141412ECD（）a+b+（D）a+b+O4244B（4）平面与平面平行的充分条件可以是（A）平面（）平面（）平面（D）平面内有一条直线与平面平行内有两条直线分别与平面平行内有无数条直线分别与平面平行内有两条相交直线分别与平面平行x22y22（5）若双曲线−=1(ab0)的一条渐近线经过点(,则双曲线的离心率为ab236（A）（）32（）3（D）2（6）已知球O的半径为球心到平面的距离为1,则球O被平面截得的截面面积为（A）2（）（）（D）（7）如图,在三棱锥P中,−⊥⊥PA=,,2,==2,则点A到平面的距离为（A）1PA3（）（）（D）222C1B2（8）如图,F,F是平面上的两点,且|FF|图中的一系列圆是圆心分别为F,F的两组121212同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,…,A,,,D,E是图中两组同心圆的部分公共点.AF,F为焦点的椭圆M上,则12（A）点B和C都在椭圆M上（）点C和D都在椭圆M上（）点D和E都在椭圆M上（D）点E和B都在椭圆M上BA12ECD（9P为直线y2上任意一点过总能作圆=+,Px2+y2=1的切线,则k的最大值为3（A）（）13（）2（D）3（10）某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中,C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周,得到花瓶的侧面,花瓶底部是平整的圆面,如图2.该小组给出了图1中的相关数据:1312==11CC=20AB=15BC=48,其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、乙、11111丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度）,结果如下表所示.学生甲乙丙丁估算结果（cm3）25200π17409π14889π13809π其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是11（参考公式:（A）甲（）乙（）丙（D）丁V圆柱=R2h,V=R2h,V=h(r2+rR+R)）2圆锥3圆台3lC1CB1A1BA图1图2第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共（）圆x2+y2−2x+6y+9=0的圆心坐标为__________；半径为________.（121的正方体−ABCD中,AB=__________.1111111（13M的中心在原点,以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件,并根据所选条件求双曲线M的标准方程.①一个焦点坐标为(2,0)；②经过点(3,0)；③离心率为2.你选择的两个条件是________,得到的双曲线M的标准方程是________________.（说明:仅填写第一空不得分,只有在第一空填写的条件下填对第二空才得满分）x2y2（14）椭圆C:+=1的右焦点为F,过原点的直线与椭圆交于两点A,B,则的C84面积的最大值为_______.（15）如图,在矩形中,==3,将沿BD所在的直线进行翻折,得到空间四边形1BCD.ADA1DCBBC给出下面三个结论:①在翻折过程中,存在某个位置,CBD；⊥1②在翻折过程中,三棱锥ABCD的体积不大于−；14③在翻折过程中,存在某个位置,使得异面直线1D与所成角为°.其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（168在平面直角坐标系xOy中,圆O以原点为圆心,且经过点M3).（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）若直线3x+y−2=0与圆O交于两点A,,求弦长|AB|.（1711分）如图,在直三棱柱−ABC中,,⊥==1=2.M为侧棱BB的中点,11111连接AM,CM,CM.11A11（Ⅰ）证明：//ACM；11MB（Ⅱ）证明：CM⊥平面ACM；11C（Ⅲ）求二面角C−AM−B的大小.111A（1810分）已知抛物线C:y2=2经过点.（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M,N,且与抛物线的准线交于点Q.若=22||,求直线l的方程.（1911分）x22y26已知椭圆E:+=1(ab0)的离心率为,一个焦点为(2,0).ab23（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为原点,y=x+(m与椭圆交于不同的两点EA,B,且与轴交于点C,xP为线段OC的中点,点B关于x轴的对称点为B.△PAB是等腰直角三角形.11高二第一学期期末参考样题参考答案一、选择题（共10小题，每小题440分）（1C（6B（）A（）A（）B（）C（D（D5A10D二、填空题（共5小题，每小题420分）（）−,1（121x2x2y2x2y2（13）①②,（144−y2=1或①③,−=1或②③,−=132233（15）②③说明（13题共有三种正确的填写方法，只需填写其中一种.只有在第一空填写的条件下填对第二空才得满分，有一空不填或两空所填内容不匹配的均得0（215题不填或填写含有0分，仅填写②或2分，填写②③的得满分.三、解答题（共4小题，共40分）（168解：（Ⅰ）设圆的方程为Ox2+y2=r2……1分，将点M的坐标代入圆O的方程得1+3=r2，即r=2.………………2分所以圆O的方程为x2+y2=4.………………3分2（Ⅱ）圆心O到直线xy20的距离为d+−===1,………………5分3+1|AB|所以d2+()2=4.…………7分………………8分2所以|2=，||23.=（17共分）解法一：（Ⅰ）在直三棱ABC中，侧面−1A1为平行四边形.111所以//AC.……………………1分11因为平面ACM,AC平面ACM,111111所以//平面ACM.………………3分11（Ⅱ）在直三棱柱−ABC中,⊥平面ABC.1111111所以CC⊥AC.111因为⊥,且//AC，//BC，所以AC⊥BC.11111111因为1C,所以AC⊥CC.……4分……5分11111又因为CC，所以AC⊥.1111因为1⊥,=,所以=.同理C=,所以=.111即⊥1M.因为1…………6分1,所以⊥ACM.……分711z（Ⅲ）由题意可知,CB,1两两垂直,C为111M原点，以,CB,1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C−.由题得C0),A2),B2),M.11C所以,=1=AB=(,11.xyAB由（Ⅱ）知⊥ACM，所以平面ACM的1111m==.一个法向量为………………8分设平面AMB的一个法向量为n=(,y,z).11nn⊥1,n⊥1B得,即.………………9分………………10分1nAB=011z=得.−x+y=0令x=1，得y=1，所以n=.mn12可得m,n=.|m||n|又因为二面角C−AM−B的平面角为锐角,111所以二面角C−AM−B的大小为.………………分1113解法二：（Ⅰ）同解法一.z1（Ⅱ）由题意可知,CB,1两两垂直,C为原点，11M以,CB,1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C−.由题得ACM.11Cxy所以AC=(0)，AM=(−−，CM=AB111…………4分设平面ACM的一个法向量为m=(,y,z).11mm⊥AC,m⊥11M得,即.……5分1mAM=01x=得.−x+y−z=0则x=0，令y=1，得y=1，所以m=,……6分因为m//CM，所以⊥ACM.…………7分11（Ⅲ）设平面AMB的一个法向量为n=(,y,z).11nn⊥1,n⊥1B得,即.………………8分………………9分1nAB=011z=得.−x+y=0令x=1，得y=1，所以n=.由（Ⅱ）可知，平面ACM的一个法向量为m=.………10分11mn12可得m,n=.|m||n|又因为二面角C−AM−B的平面角为锐角,111所以二面角C−AM−B的大小为.……………分1113（18共10解：（Ⅰ）将点的坐标代入抛物线C的方程，得222p，即p=2.=……………………分1所以抛物线C的方程为y24x.=…………分2准线方程为x（Ⅱ）解法一:依题意,l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为yk(x(k……………………5分y=k(x−=………………4分=−.,化简得k2x2−k2+4)xk+2=0.…………6分联立y2=4x=(2k2+2−k4=k2+0.易知2k2+4设M(x,yN(x,y)，则x+x=.……7分……8分1122122kk2+4k2+4.则=x+x+2=+2=1222kk易知Q(2kF，所以=4+4k.24k2+4因为||22||，所以==2244k2.………………9分+k2得k2=1，即k=1.所以直线l的方程为xy10或−−=x+y−1=0.…………………分解法二:依题意,l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为yk(x(k=−.……………………5分y=k(x−联立,化简得k2x22−+k2+4)xk+2=0.…………分6y2=4x=(2k2+2−k4=k0.易知2k2+4设M(x,yN(x,y)，则x+x=，xx=1.…………7分=22.112212212k||||易知Q(2kF，因为−−|=22||，所以1−x2所以=22，即x−x=42.……8分1222k2+4即(12)+2−41242，故=(2)−4=42.…………9分k2得k2=1，即k=1.所以直线l的方程为xy10或−−=x+y−1=0.…………………分（19共分）c6解:（Ⅰ）依题意，e==,c=2，…………1分a3得a=6，b2a2=−c2=.2…………3分x2y2得+=1.……………………4分62m（Ⅱ）设点C(,0)−,P(−,0).………………分52y=x+m,联立方程x,2+3y=62可得，4x2+6+m2−6=0.………………6分=m2−m2−0,得22m22.依题意，又因为m0，所以或.−22m00m22设(x,y),B(x,y),B(x,−y),1122122m得x+x=−.………………7分122mm设向量PA=(1+,y),=(x+,−y2),11222mm则有PAPB=(x+)(2+)−