概率统计知识点

离散型随机变量及其分布列

1.随机变量的有关概念

⑴随机变量:随着试验结果不同而①变化的变量.常用字母…表

示.

⑵离散型随机变量:所有取值可以②一一列出的随机变量.

2.离散型随机变量分布列的概念及性质

(1)概念:若离散型随机变量X可能取的不同值为*|遇2,...凶,...由冰取每一个值

Xi(i=l,2,...,n)的概率P(X=xD=pi以表格的形式表示如下：

XXIX2XiXn

PP1P2PiPn

则此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等

式P(X=Xi)=pi,i=l,2,...,n表示X的分布列.

(2)分布列的性质

(i)Pi®>0,i=l,2,3.....n;

n

(ii)ZPi=1.

i=l

3.常见的离散型随机变量的概率分布

(1)两点分布

X01

p（4）1-pP

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=⑤

P(X=1)为成功概率.

(2)超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=

⑥*等%_,k=0,1其中m=min{M,n},且n<N,M<N,n,M,NGN*.

CN

X01m

60z-n-01n*i

LMLN-M

p⑦-M'N-M⑧-M'N-M

-4■"CN"4

若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.

二项分布

1.条件概率

(1)定义

对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫

做①条件概率.用符号②P(B|A)来表示.其公式为P(B|A)=③_瑞

(P(A)>0).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)=^.

(2)性质

O<P(B|A)<1;

(ii)如果B和C是两个互斥事件，那么P(BUCIA)=⑤P(B|A)+P(C|A).

2.相互独立事件

(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称⑥A、B是相互

独立事件.

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)=⑦P(B),

P(AB)=P(BIA)•P(A)=⑧P(A)P(B).

(3)若A与B相互独立,则⑨A与亘，⑩彳与B，⑪，与亘也都相互独立.

(4)若P(AB)=P(A)P(B),则⑫A与B相互独立.

3.独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种

试验，在这种试验中每一次试验只有⑬种结果，即要么发生，要么不发生，且

任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A

发生的概率为p,则P(X=k)=⑭Mpk(l-p)n-k(k=0,l,2，…,n)，此时称随机变量X服从

⑮二项分布.记为⑯X~B(n,p)，并称p为成功概率.

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

1.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

XXIX2XiXn

PP1P2PiPn

(1)均值:称EX=①XlPl+X2P2+.“+Xipi+...+XnPn为随机变量X的均值或数学

期望.它反映了离散型随机变量取值的②平均水平.

n

(2)称DX=I(々-EX)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值

i=l

EX的平均③」程度,其算术平方根烟为随机变量X的标准差.

平均数的性质

(1)若一组数据xi,X2,...,Xn的平均数为元，则axi,ax2,...,axn的平均数为ax.

(2)若一组数据xi,X2,...,Xn的平均数为元则ax।+b,ax2+b,...,axn+b的平均数为

ax+b.

(3)若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这(M+N)个数的平均数是

，若两组数据x,,X2,...,xn和yi,y2,...,yn的平均数分别是M和歹，则

Xl+yi,X2+y2,.,Xn+yn的平均数是歹+歹.

2.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=(4)aEX+b(a.b为实数).

(2)D(aX+b)=⑤3DL(a,b为实数).

(3)E(k)=k(k为常数).

(4)E(Xi+X2)=E(Xi)+E(X2).

(5)D(X)=E(X2)-(E(X))2.

(5)D(X)=E(X2)-(E(X))2.

(6)若Xi,X2相互独立，则E(XIX2)=E(XI)-E(X2).

(7)D(k)=0(k为常数).

(8)若给定一组数据Xi,X2,...,Xn,其方差为S?,则axi,ax2,...,axn的方差为a2s2.

(9)若给定一组数据xi,X2,...,Xn,其方差为S?,则axi+b,ax2+b,...,axn+b的方差为

a2s2,特别地，当a=l时，有Xl+b,X2+b,...,Xn+b的方差为s2,这说明将一组数据的每一

个数据都加上一个相同的常数,方差是不变的，即不影响数据的波动性.

(10)方差的一个简化公式是s2=；[(%：+媛+...+/)-n/]=%2-±2,此公式只要把方

差公式展开进行重组即可证明.

3.两点分布与二项分布的均值、方差

XX服从两点分布X~B(n,p)

EX⑥“D为成功概率)⑦np

DX⑧p(l-p)⑨np(l-p)

4.正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴⑩上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线⑪―2sL_对称；

(3)曲线在⑫x=u处达到峰值⑬一岛_；

(4)曲线与x轴之间的面积为⑭1;

(5)当o一定时，曲线的位置由H确定，曲线随着M的变化而沿x轴平移；

(6)当日一定时，曲线的形状由o确定，。越小,曲线越"⑮高瘦"，表示总体的

分布越集中:。越大.曲线越"⑯矮胖”，表示总体的分布越⑰分散.

用样本估计总体

1.常用统计图表

(1)频率分布表的画法：

第一步:求①极差，决定组数和组距.组距二②

第二步:③通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取

闭区间；

第三步:登记频数，计算频率，列出频率分布表.

(2)频率分布直方图:反映样本频率分布的直方图.

横轴表示样本数据，纵轴表示④器—，每个小矩形的面积表示样本落在该组

内的⑤频率.

(3)茎叶图的画法：

第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；

第二步:将各个数据的茎按⑥大小次序排成一列:

第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.

2.样本的数字特征

(1)众数、中位数、平均数

数字

定义与求法特点

特征

通常用于描述出现次数最多的数,

g一组数据中出现次数最多的数显然它对其他数据信息的忽视使其

无法客观地反映总体特征

把一组数据按⑦大小顺序排

列.处在⑧最中间位置的一中位数是样本数据所占频率的等分

个数据(或最中间两个数据的平线，它不受少数极端值的影响

均数)

平均数和每一个数据都有关，可以

如果有n个数据Xl,X2,...,Xn,那么这

反映样本数据全体的信息,但平均

普n个数的平均数又=

数数受数据中极端值的影响较大，故

⑨-(X1+X2+…+Xn)

平均数在估计总体时可靠性降低

(2)标准差、方差

⑴标准差：

s=o_值高娘乙杳屋二

(ii)方差:标准差的平方s2叫做方差.

s2=⑪孑(X1-M)2+(X2-±)2+..+(Xn-M)2］，其中Xi(i=1,2,3,...,n)是⑫样本数据，n

是⑬样本容量一是⑭样本平均数.

变量间的相关关系、统计案例

1.两个变量的线性相关

(1)正相关

在散点图中.点散布在从①左下角到②右上角的区域.对于两个变量

的这种相关关系，我们将它称为正相关.

(2)负相关

在散点图中.点散布在从③左上角到④右下角的区域,对于两个变量

的这种相关关系，我们将它称为负相关.

(3)线性相关关系、回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在⑤一条直线附近，那么就称这

两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.

(5)回归方程

方程，=.x+2是具有线性相关关系的两个变量的一组数据

(xi,yi),(X2,y2),...,(Xn,yn)的回归方程淇中展,b是待定参数.

xn__n__

A1(xrx)(yry)1xtyt-nxy

k—1^1_____________1^1_________

D~n__._2，

<2(%r%)22%?-nx

i=li=l

A_A_

=⑦y-bx.

2.回归分析

⑴回归分析是对具有⑧相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用

方法.

(2)样本点的中心

对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi),(x2,y2),...,(xn,yn),±=-2Xj,y=

ni=l

1n

-2%⑨上元刃—为样本点的中心.

ni=l

n__

1xtyt-nxy

(3)相关系数7=,i=1

J(.*加腾w宙

当r>0时，表明两个变量⑩正相关；

当r<0时，表明两个变量⑪负相关.

r的绝对值越接近于1,表