高考人教数学（理）一轮课件第四章第二节平面向量的数量积及应用举例

第二节平面向量的数量积及应用举例1．向量的夹角∠AOB

0°≤θ≤180°a∥b

θ＝90°2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量___________叫做a与b的数量积，记作a·b投影__________叫做向量a在b方向上的投影，__________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________的乘积|a||b|cosθ

|a|cosθ

|b|cosθ

|b|cosθ

|a|cosθ

|a||b|4．数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝_______＝_________．(3)分配律：a·(b＋c)＝______________．λ(a·b)a·(λb)a·b＋a·c

5．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则数量积a·b＝____________模|a|＝______________夹角cosθ＝________________向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔___________________x1x2＋y1y2

x1x2＋y1y2＝0BC3．(基本方法：求模)已知a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|＝__________．4．(基本能力：向量夹角)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．5．(基本应用：向量垂直)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，若a⊥(2a－b)，则k＝________．答案：12

CC－1方法总结

向量的数量积的计算，首先明确用什么方式计算(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角).(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．提醒确定两向量a·b的夹角时，务必将a·b移到共起点时，再确定〈a·b〉．

C12DDBA(2)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________．方法总结1．求向量夹角的方法BADCD类型4向量与物理、生活的综合[例4]长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度沿方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3km/h，则该船实际行驶的速度大小为(

)C方法总结

1．向量在平面几何中的应用(1)用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些．在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．

DA2．(2020·高考全国卷Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________．3．(2020·高考全国卷Ⅰ)设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，则m＝________．解析：∵a⊥b，∴a·b＝0.又a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，∴1·(m＋1)＋(－1)·(2m－4)＝0，解得m＝5.答案：5(2020·高考全国卷Ⅱ)已知单位向量a，