广西壮族自治区“贵百河”2023-2024学年高二上学期12月联考试题数学

2022级“贵百河”12月高二年级新高考月考测试数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.{2} B.{4，5} C.{3，4} D.{2，3}2.已知复数z满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.23.双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.4.已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则（）A. B. C. D.5.在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为（）A.60° B.150°C.90° D.120°6.已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（）A. B. C. D.7.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）．如果前3个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还要（）A小时 B.3小时 C.6小时 D.4小时8.若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（）A. B. C. D.二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.对于抛物线，下列描述正确的是（）A.开口向上，焦点为 B.焦点到准线距离为4C.开口向上，焦点为 D.准线方程为10.已知函数，则（）A.函数f（x）的最小正周期为B.将函数f（x）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称C.函数f（x）的一个对称中心为D.函数f（x）在区间上单调递减11.为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为()A.9 B.10C.11 D.1212.已知，，则（）A. B.C D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若两条直线与互相垂直，则a的值为______.14.圆心为，且过点的圆的方程是______．15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线，交椭圆于点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为__________．16.已知函数定义域为，，对任意的，当时，有（e是自然对数的底）.若，则实数a的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，为与的交点．（1）证明：//平面；（2）求三棱锥的体积．18.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC面积．19.已知直线．（1）求证：直线与圆恒有公共点；（2）若直线与圆心为的圆相交于两点，且为直角三角形，求的值．20.甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；猜法二：猜“两次取出球颜色不同”．请回答：（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．21.如图，已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程及的面积.22.如图，在三棱锥中，是正三角形，，，D是AB的中点．（1）证明：；（2）若二面角为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．

s2022级“贵百河”12月高二年级新高考月考测试数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.{2} B.{4，5} C.{3，4} D.{2，3}【答案】B【解析】【分析】先求集合的补集，再与集合求交集即可.【详解】，或，故选：B.2.已知复数z满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】先利用复数除法求得复数z，进而求得复数z的虚部【详解】由，可得则复数z的虚部为2故选：D3.双曲线的渐近线方程是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可【详解】由题意，的渐近线方程为故选：C4.已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC中点，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量线性运算计算即可.【详解】.故选：D.5.在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为（）A.60° B.150°C.90° D.120°【答案】D【解析】【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，然后利用空间向量的夹角公式进行运算即可．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系则即故选：D6.已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】若表示焦点在轴上的椭圆，可得即可得的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解.【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得：．所以成立的充要条件是：．结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，故选：B.7.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）．如果前3个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还要（）A.小时 B.3小时 C.6小时 D.4小时【答案】B【解析】【分析】先通过前3个小时消除了20%污染物求得的值，再由求得，进而得到污染物消除至最初的64%还要3小时.【详解】由题意得，前3个小时消除了20%的污染物，则，则则由，可得，解之得则污染物消除至最初的64%还要小时故选：B8.若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出点的轨迹方程为，“好曲线”一定与有公共点，联立后求出交点坐标或由判断出有无公共点，判断出结论.【详解】由题意知：平面内两点，距离之差的绝对值为8，由双曲线定义知：的轨迹是以，为焦点的双曲线且，，故，即轨迹方程为：，“好曲线”一定与有公共点，联立与得：，，故与有公共点，A为“好曲线”，联立与得：，无解，B不是“好曲线”，联立与得：，，有解，C为“好曲线”，联立与得：，，有解，故D为“好曲线”.故不是“好曲线”的是B．故选：B．二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.对于抛物线，下列描述正确的是（）A.开口向上，焦点为 B.焦点到准线的距离为4C.开口向上，焦点为 D.准线方程为【答案】AB【解析】【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案.【详解】对于A、C项，由已知可得，，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、C错误；对于B项，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故B正确；对于D项，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误.故选：AB.10.已知函数，则（）A.函数f（x）的最小正周期为B.将函数f（x）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称C.函数f（x）的一个对称中心为D.函数f（x）在区间上单调递减【答案】AD【解析】【分析】运用辅助角公式化简、图象平移变换，再研究其周期性、奇偶性、对称性及单调性即可.【详解】，对于A项，，故A项正确；对于B项，的图象向右平移个单位后为，所以，所以图象不关于y轴对称.故B项错误；对于C项，因为，，所以的对称中心为，，当时，，所以不是的对称中心.故C项错误；对于D项，因为，则，，令，则，，因为在上单调递减，所以在上单调递减.故D项正确.故选：AD.11.为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为()A.9 B.10C.11 D.12【答案】B【解析】【详解】不妨设样本数据x1，x2，x3，x4，x5，且x1<x2<x3<x4<x5，则由样本方差为4，知(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.若5个整数的平方和为20，则这5个整数的平方只能在0,1,4,9,16中选取(每个数最多出现2次)，当这5个整数的平方中最大的数为16时，分析可知，总不满足和为20；当这5个整数的平方中最大的数为9时，0,1,1,9,9这组数满足要求，此时对应的样本数据为x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝10；当这5个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足要求，因此不存在满足条件的另一组数据．故选B.12.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由对数函数的单调性结合换底公式比较的大小，计算出，利用基本不等式得，而，从而可比较大小．【详解】由题意可知，对于选项AB，因为，所以，又因为，且，所以，则，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，，且，所以，故选项C正确，选项D错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若两条直线与互相垂直，则a的值为______.【答案】4【解析】【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于1，据此即可求解.【详解】由题可知，.故答案为：4.14.圆心为，且过点的圆的方程是______．【答案】【解析】【分析】求出圆的半径，再根据圆心和半径即可求出圆的方程.【详解】由题意圆的半径，所以所求圆的方程为.故答案为：.15.已知椭圆左、右焦点分别为，，过作轴的垂线，交椭圆于点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为__________．【答案】##【解析】【分析】利用椭圆的标准方程和离心率计算公式求解即可.【详解】由题意可得，，因为轴，且，所以，则①，又②，①②联立得，所以，解得或（舍去），故答案为：16.已知函数定义域为，，对任意的，当时，有（e是自然对数的底）.若，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】将变形为，由此设函数，说明其在上单调递减，将化为，即，利用函数单调性即可求得答案.【详解】由题意当时，有，即，即，故令，则当时，，则在上单调递减，由于，而，即有，即，所以，即实数a的取值范围是，故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据，变形为，从而构造函数，并说明其为单调减函数，由此可解决问题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，为与的交点．（1）证明：//平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由中位线定理证明，再由判定证明即可；（2）求出点到平面的距离，再由体积公式求解.【小问1详解】证明：四边形为正方形，为与的交点，是的中点，又是的中点，，又平面平面，//平面．【小问2详解】平面是的中点，到平面的距离，四边形是正方形，，三棱锥的体积．18.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；（2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】由整理得，，由，；【小问2详解】，由正弦定理得，①，又，②，由①②得，.19.已知直线．（1）求证：直线与圆恒有公共点；（2）若直线与圆心为的圆相交于两点，且为直角三角形，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据直线与圆的位置关系即可证明；（2）由题意可知圆心到直线的距离，建立方程，解之即可.【小问1详解】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离．又因为，所以，即．所以直线与圆相交或相切，即恒有公共点．【小问2详解】由圆得，圆心，半径为2．因为与圆相交于两点，且是直角三角形，所以，且，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以实数a的的值为.20.甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：（1）如果你乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．【答案】（1）选择猜法二，理由见解析（2）【解析】【分析】(1)利用列举法列出不放回取两球的所有结果，再借助古典概率公式计算判断作答.(2)利用(1)的结论，将乙获胜的事件分拆成三个互斥事件的和，再利用概率的乘法、加法公式计算得解.【小问1详解】用a，b表示两个红球，用1，2表示两个白球，甲不放回取两球的所有结果：ab，ba，a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，12，21，共12个不同结果，它们等可能，令事件为“第二次取出的是红球”，则事件A所含结果有：ab，ba，1a，2a，1b，2b，共6个，令事件为“两次取出球的颜色不同”，则事件B所含结果有：a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，共8个，于是得，，显然，，为了尽可能获胜，应该选择猜法二．【小问2详解】由(1)知，乙选择猜法二，每一轮乙获胜的概率为，游戏结束时，乙获胜的事件M是乙在第一、二轮胜的事件M1，第一轮负另外两轮胜的事件M2，第二轮负另外两轮胜的事件M3的和，它们互斥，于是得，所以乙获得游戏胜利