高中数学-数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

课程标准学科素养

1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.

2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一通过对数系的扩充和复数的概

些基本概念.念的学习，提升“数学抽象”、

3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要“逻辑推理”的核心素养.

条件.

一、创设情境，引出研究内容

几张小小的图片展现了人类科技发展的巨大进步，人类科技的进步离不开数

学学科的强力支撑，而科技的进步也要求数学的同步发展.今天这一节课,就一让

我们从最基本的数系扩充这一视角，来领略数学发展的卓越成就和艰辛历程.

师生互动

1.我们学过了哪些数集？

2.这些数集之间有怎样.的包含关系？

3.数集为何要进行扩充?又是怎样进行扩充的呢？

(1)通过观看短片，使学生认识到为了满足客观实际的需要添加新数将数集

进行扩充.

(2)通过学生相互讨论,发现在原有数集中，某些运算不是总能实施，某些

方程无解，为了解决数学内部的这些矛盾，需要添加新数将数集进行扩充.

4.同学们能总结出数系扩充需要遵循哪些原则吗？

(1)解决了某些原数集中不能解决的问题；

(2)添加新数,使原数集是新数集的子集；

(.3)在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用.

5.实数集还需要扩充吗？

负数不能开平方，方程f+kO无解.

二、归结为方程求解，梳理数系扩充的“规则”

问题:从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程xJ-1是否有解，也

就是(十1=0是否有解的问题.思考一下，能不能把这类问题再进一步简化，最

终转化为最简单的方程x+l=O是否有解的问题呢?

追问：我们知道，x'+lR在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充

过程，是否能引人新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？

师生活动:教师进一步引导：下面，我们就类比从自然数集到实数集的扩充过

程，尝试引入新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解。引人什么数

如何扩充实数集?这就是我们今天所要研究的问题.

设计意图：通过问题，将历史上的负数能否开平方的问题转化为方程(+1=0

是否有解的问题，为后续从解方程的角度研究数系的扩充作好铺垫，同时也让学

生认识到数学中的复杂问题都可以通过转化与化归的方法，转化为基本问题.通

过追问，点出本节课的主要任务，以及研究的思路和方法。

问题:我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系，回

顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每-次数系扩充的主要原因是什么？分别

解决了什么实际问题和数学问题?你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说

明吗？

(1)在自然数集中求方程x+l=0的解；

(2)在整数集中求方程2x-l=0的解；

(3)在有理数集中求方程x?-2=O的解；

师生活动:教师提出问题，学生分组讨论，从两个角度思考问题，可让一半

学生侧重讨论解决的实际问题，另一半学生侧重讨论解决的数学问题，教师参加

到讨论之中，对学生讨论中的不足之处教师补充说明，讨论后，学生交流互动，

师生共同归纳总结出结论.

预设答案：(1)从社会实践来看，数系的扩充是为了满足生活和生产实践的

需要.计数的需要产生了自然数，有了自然数系；自然数系中不能刻画具有相反意

义的量，于是引入了负整数，将自然数系扩充到了整数系；整数系中不能解决测

量中的一些等分等问题，于是引入了分数，将整数系扩充到了有理数系;有理数

系中无法解决边长为1的正方形对角线长的度量等问题，于是引入了无理数，这

样便将有理数系扩充到了实数系.(2)从数学发展本身来看，数系的扩充也是数

学本身发展的需要，方程x+l=0在自然数集N内无解，引入负整数后，它在整数

集Z内便有解x=T;方程2x7=0在整数集Z内无解，引人分数后，它在有理数集Q

便有解x=-l/2.方程x2-2=0在有理数集Q内无解，引人无理数后，它在实数集R内

便有解.

教师板书：

引入引人引入

自然数集N----►整数集Z----►有理数集Q-----►实数数集R

负整数分数无理数

设计意图:通过梳理数的发展历史，抓住知识的“生长点”和学生的“最近发展

区”，使学生了解数的产生以及数系的不断扩充是基于两方面原因：社会生产实践

的需要和数学自身发展的需要.

问题:可以看出，数集的每一-次扩充，都是在原来数集的基础上添加“新数”得

到的，引人新数就要引人新运算，如果没有运算，数集中的数只是-一个个孤立

的符号.加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算（减法、除法运算分别可以转

化成加法、乘法运算）。梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一

次扩充，加法和乘法运算满足的〃性质”有一致性吗？由此你能梳理数系扩充遵循

的“规则”吗？

师生活动:教师引导分析，从自然数集扩充到整数集时，原来在自然数集中规定

的加法和乘法运算法则和运算律在整数集中仍然成立;进而学生小组讨论，探求

从整数集到有理数集以及从有理数集到实数集的扩充中，加法和乘法满足的“性

质”，教师要特别强调从有理数集扩充到实数集满足的“性质师生共同总结这

些性质的一致性，得出数系扩充的“规则”：数集扩充后，在新数集中规定的加

法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和

乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.

教师继续板书：

引人引人引入

自然数集N----►整数集Z-----►有理数集Q-----►实数数集R

负整数分数无理数

++++

XXXX

设计意图:梳理数系扩充过程和方法的“一致性”，总结数系扩充的一般“规则”，

为后续实数系的进一步扩充提供方法，进而突破本节课的难点.

三、依据规则，扩充实数集，引入复数

为了使方程/=-1有解，需要引入一个平方等于-1的新数.瑞士数学家欧拉

1777年首次提出，用i表示平方等于T的新数，那时他已经双目失明，但依然凭

借超人的意志力为了数学系统的统一和完善不断努力着.

他的提议得到了其它数学家的认可，1801年，德国数学家高斯系统地使用

了这个符号，使i通行于世.

于是我们引入新数i,叫做“虚数单位”，并规定：

(1)i2=-l;

(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运

算律仍然成立.

复数的有关概念

1.复数的定义

形如。+历①〃dR)的数称为复数，通常用字母z表示,其中a叫做复数的实

部，匕叫做复一数的虚部.

全体复数组成的集合叫复数集，通常用C表示，即C={a+万|a/eR}.

例1.指出下列复数的实部与虚部：

(1)4；(2)2-3i;(3)5i+V2;(4)-6i;

(5.)0;(.6)li：(7)2+V3.

2

5i+V25i+V22+V3.

1.

42-3i0-1

2

实部

虚部

注意：复数的实部与虚部都是实数.

2.复数的分类

,实数(力=0)

复数z=a+Z?i(a/CR)«

虚数"NO)(特别地，当a=0时为纯虚数)

3.复数的相等

如果两个复数的实部与虚部分别相等，则称两个复数相等，即：

a+bi=c+di(a,b,c,deR)oa-c_EL/?=J.

4.数学运用

例2.实数/"分别取什么值时，复数Z="2(〃2-l)+("?-l)i是：

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)0?

分析：因为所以皿m-1),加-1都是实数，由复数z=a+〃i(a,"WR)是实

数、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数〃z的值.

解(1)当加一1=0,即祖=1时，z为实数；

(2)当相一1。0,即mwl时，z为虚数；

(3)当F("T)二°即根=小寸，z为纯虚数

m—10

例3.已知复数Z[=(x+y)+(x—2y)i,复数Z2=(2x—5)+(3x+y)i,若Z|=Z2,求

实数x,y.的值.

解根据复数相等的条件，得方程组[x+)'=2x-5得厂=3

[x-2y=3x+y[y=-2

a-c

反思①a+bi-c+di(a,b,c,dwR)o<

b=d

a=0

②若a+历=0(a、beR)o

6=0

③利用复数相等的定义可将复数问题实数化;

说明：复数问题转化为实数问题.

五.课堂小结

虚数的引入

复数

z=a+bi

(a,bWR)

复数的分类复数的相等

当b=0时z为实数；

(a=c

当6M时二为虚数a+bi=c+di

(此时，当。=0时z为纯虚数).(a,b,c,deR)Ib=d

六.课后作业

［课本习题1-5.

2.思考：复数可以比大小吗？“3i>2i”正确吗？

3.利用网络等资源了解复数的实际应用.

阅读：复数系是怎样建立的？

1545年意大利有名的数学“怪杰”卡丹第一次开始讨论负教开平方的问

题，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之

数”取了一个名字一一虚数.但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于

“幻想之中”，并用i(imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位.后来德国

数学家高斯给出了复数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对来.1837

年，爱尔兰数学家哈密顿用有序实数对(a,b)定义了复数及其运算，并说明复数

的加、乘运算满足实数的运算律.这样历经.300年的努力，数系从实数系向复数

系的扩充才得以大功告成.

复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充.

(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.

教学问题诊断分析

学生在学习本节课内容之前，在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充过

程，对数系的扩充有了一定的认识，知道数系扩充后，新的数系能够解决在原有数系中

无法解决的一些解方程问题(如引入无理数，把有理数系扩充到实数系后，可以解决方

程x2-l=0的解这样的问题等)，因此当遇到像x2+l=O这样的方程的解问题时，通过引导

启发，学生能够联想到对现有的实数系进行进一步扩充，从而使方程X*+1=O有解.学

生在前面的学习中，也已多次利用过类比的方法来研究数学问题，这为本节课类比有理

数系扩充到实数系的过程和方法，将实数系扩充到复数系提供了可能。

学生在学习时可能出现的障碍为：

(1)因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在

教学中，如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味，学生不易接受。

(2)由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数

单位的引人，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难。

⑶学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学

生比较陌生，因此理解上会存在一定困难。

本节课的教学难点是：复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示，突破难

点的策略：

(1)适当介绍数的发展简史，增强学生学习的生动性。

(2)通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实

数系的经验，从特殊到-一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在

“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引人复数的必要性和合理性。

(3)引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复

数的一般表示方法，经历复数形式化的过程。

有理数与无理数

效果分析

目标

(1)了解引入复数的必要性；

(2)了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程

中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养；

(3)理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的含义.

效果

(1)能够通过方程的解，感受引人复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算

规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用.

(2)学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则”，体会

扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用.

(3)学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，

会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系;知道两个复数相等的含义，

能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题.

教材内容分析

1.内容

从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念。

2内容解析

复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的

学习，可以使学生对于数的概念有一个更加完整的认识。复数与平面向量、平面解析几

何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础.复数在力学、电学及其

他学科中都有广泛的应用。

在数学中，数系的扩充必须遵循有关的"规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、

乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律

和结合律，乘法对加法满足分配律.从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则。复

数概念的引人，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然

数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，得到数系扩充中体现出

的“规则”，进而在"规则”的引导下，考虑为使方程x2+l=0有解，引人新数i,从而可以

像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集.这一过

程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩

充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数

系扩充中的作用。

测评练习

基础达标

1.下面四个命题：

(1)0比一i大；

(2)两个复数互为共加复数，当且仅当其和为实数；

(3)x+yi=1+i的充要条件为x=y=1；

(4)如果让实数a与H对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是()

A.0B.1

C.2D.3

【答案解析】A9)0比一i大，实数与虚数不能比较大小;

（2）两个复数互为共朝复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共朝复数；

（3）x+yi=l+i的充要条件为x=y=l是错误的，因为没有表明x,y是否是实数；

（4）当。=0时，没有纯虚数和它对应.]

2.设a,bGR,i是虚数单位，则“而=0”是“复数a+4为纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案解析】B[若次?=0,则〃=0或6=0或〃=8=0.当。=0,时，复数为纯虚

数.当6=0时，复数a+7为实数，所以‘'必=0”不一定得出''复数a+4”为纯虚数；若

a十号为纯虚数，则6#0,a=0.必有必=0,所以“灿=0”是“复数a+1为纯虚数”的必要

不充分条件.]

3.若复数z=（m+2）+（"，一9）i（次£R）是正实数，则实数m的值为（）

A.-2B.3

C.—3D.±3

[W2-9=0,

【答案解析】B[由题知，「八解得〃?=3.]

[m+2>0,

4.以2i的虚部为实部，以i+2i2的实部为虚部的新复数是（）

A.2-2iB.2+i

C.-iD.i

【答案解析】A⑵的虚部为2,i+%2的实部为一2,故所求的复数为2一2”

5.若/-i+2ai=3+4i,则实数”的值为（）

A.±2B.-2

C.2D.0

【答案解析】C[由复数相等的充要条件知/-1=3且2〃=4,故。=2.]

6.（多空题）如果X—1+yi与i—3x为相等复数，x,y为实数，则x=,y-.

【答案解析】

W-由复数相等可知，kl.

1

7.已知〃是实数，i是虚数单位，若z=.2—l+（a+l）i是纯虚数，则a=,

【答案解析】1

['.'z=a2—1+（a+l）i是纯虚数，

层一1=()

解得a—\.]

〃+lWO

8.已知复数z=〃?+(〃?2—i)i(〃?£R)满足z<0,则m—.

【答案解析】-1［由z<0可知z为实数，，疗-1=0,.・.〃2=±1,又zvO,・••加=-1.］

9.设复数z=log2(m2—3//?—3)+log2(3—"?)i,R,如果z是纯虚数，求相的值.

“加2—3〃？—3>0,

3一机>0,

【答案解析】由题意得二,“、八解得〃7=-1

log2(m3)2-3)=0,

Jog2(3—/n)#0,

10.求适合等式(2r—l)+i=y+(y—3)i的x,y的值，其中x£R,y是纯虚数.

【答案解析】设y=6ig£R且b#0),代入等式得(2x—l)+i=bi+gi—3)i,

2x—1=—/?,

即(2x—l)+i=—Z?+S—3)i,，

1—b—3,

x=­z,3

解得J2即x=_],y=4i.

力=4.

11.己知集合用={1,2,nr-3m-1+(/n2-5/n-6)i},N={-1,3},且MAN={3},则实数

m的值为()

A.4B.-1

C.-1或4D.一1或6

【答案解析】B［由于MAN={3},故3£M,必有m2—3m—l+(m2—5m—6)i—3,所以M

—3m—1=3,trr—5tn—6=0,即得m=-1.］

12.下列复数中，满足方程/+2=0的是()

A.±1B.±i

C.±V2iD.±2i

【答案解析】Cr=一1,所以(士也i)2=-2,即方程f+2=0的解为/i.1

13.若复数(仅-3a+2)+(a—l)i是纯虚数,贝I实数a的值为.

a2—3a+2=0,ci--1或2,

2［根据复数的分类知，需满足小解得一即a=2.]

a~1W0,aW1,

14.已知集合知={3+3)+(扶一l)i,8},集合N={3i,(层-1)+集+2)”满足MDN=M,求

实数m6的值.

【答案解析】...MUN,.♦.(a+3)+(/-l)i=3i,①

且8=d-l)+S+2)i.②

由①，得〃=—3,b=+2,由②，得4=±3,b=-2.

:・a=-3,b=-2.

15.若加为实数，zi=m2+1+(m3+3zn2+2m)i,zi—4m+2+(zn3—5tn2+4/n)i,那么使zi>Z2

的加值的集合是什么？

32

【答案解析】当zi《R时，m+3m+2m=09机=0,—1,—2,z1=l或2或5.

i

当Z2GR时，m—5nr+4m=09m=0,1,4,z2=2或6或18.

上面m的公共值为m=0,

此时Z]与Z2同时为实数，且Z]=l,Z2=2.

・.•使Z>Z2的加值的集合为空集.

课后反思

(一)学生对概念的掌握。

学生对于“学习复数的必要性”以及“复数的应用”回答情况较好。在教学过程中，

教师由方程“有解还是无解”这一问题的探究，使学生感受到引入虚数的必要性；在小结环

节，教师介绍复数在自然科学中的广泛应用，使学生再次感受到学习复数的意义。从这方面

来看，HPM视角下“复数的概念”教学通过重构复数产生的历史,有助于学生接受复数，了

解复数的价值。但是，学生在问题“复数的概念”与问题“复数的分类”回答情况并不理想

在实际课堂教学中，教师虽通过文氏图说明各数集间的关系，并设计部分例题进行巩固，但

没有深入辨析复数的概念，因此学生在理解概念时产生了一些偏差。从学生对复数的不同理

解来看，“二维类”认为“z=a+bi”对应“复数=实数+虚数”，“复数是实数与虚数的代数和”。

这种观点混淆了复数与虚数，虚数与纯虚数的概念：方面，当bWO时，bi对应的是纯虚数而非

虚数；另一方面，“实数+纯虚数”对应的是虚数而非复数，持“符号类”观点的部分学生将

符号i作为判断复数的依据，但实际上不包含i的数也是复数(如实数)。在判断“虚数”一

题中，学生将虚数与复数等同起来。持“关系类”观点的部分学生则直接从复数中排除了实

数，实际上将复数与虚数混为一谈。持“运算类”观点的学生将“符号类”中的替换成

更一般的“负数平方根，但同样未区分复数与虚数，且虚数的定义也不够准确。

(二)数的发展和完善过程给学生的启示。

从历史上来看，学生在“复数的概念”与“复数的分类"方面的认知障碍也曾是数学家

们的障碍•纽菲尔德(Neufeld)在《初等代数》书中，复数的定义为：“含负数开根形式的数

为虚数，除虚数以外的数为实数，实数与虚数的代数和为复数由