初中数学 知识点总结 人教新课标版

初中数学知识点总结新

1、相反数：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数,

也称为这两个数互为相反数。。的相反数是0。用数学语言表述为：若a、b

互为相反数，则a+b=0即反之也成立。数a的相反数是-a。

2、倒数：若a、b（a、b均不为0）互为倒数，则ab=l即反之也

b

成立。a的倒数是。没有倒数，1和-1的倒数是它们本身。

a

3、有理数和无理数统称为实数。实数分为有理数和无理数，也可分为正

实数、0、负实数。实数与数轴上的点一一对应。

4、有理数分为正有理数、0、负有理数，它们均是有限小数或无限循环小

数；也可分为整数和分数，整数又分为正整数、0、负整数；分数又分为正

分数、负分数。无理数分为正无理数和负无理数，它们都是无限不循环小

数。

5、冗是无理数，一是分数是小数是有理数，。是自然数。

6、绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做

该数的绝对值，数a的绝对值记为“la|”。代数定义：一个正数的绝对值

是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。于是，

IaI=a<——>a>0；IaI=-a<——>a<0o

7、任何一个实数的绝对值都是非负数，即|a|）0。

a(a>0)

a(a>0)a(a>0)

hlO(a=O)或[4=<或14

-a(a<0)-a(a<0)

-a(a<0)

8、若|x|=a（a）O）,则x=±a,即绝对值的原数的双值性。

9、数轴上两点A（巧）、B（xQ之间的距离为IABUIXJ/I,其中点所表示

的数为七区。坐标平面内两点A（4，力）、B（4,%）的距离为：

|AB|=7^F=，中点C的坐标为（制&，2A/），点A到x

轴的距离为I%I,到y轴的距离为lx/,到原点的距离为五F，如果

且力於力,则直线AB平行于y轴；如果力=%且4*/，则直线AB

平行于x轴。

10、科学记数法：把一个数写成士ax10。的形式（其中n是整数）

这种记数法叫做科学记数法。记数的方法：（1）确定a;a是只有一位整数

数位的数；（2）确定n;当原数》1时，n等于原数的整数位数减1;当原

数＜1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的

个数（含整数位上的零）。

11、近似数：按某种接近程度由四舍五入得到的数或大约估计数叫做近似

数。一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个近似数精确到哪一

位。一个数的近似数，常常要用科学记数法来表示。

12、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到精确到的

位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）

精确到哪一位数；（2）保留几个有效数字。近似数非零数之间的0和尾巴

上的。都是有效数字。

13、实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边总比左边的大；正数

大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。

14、实数加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;

(2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0;绝对值不等时，取绝对值较

大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

15、加法交换律a+b=b+a;加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)

16、减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+(-b)

17、减法运算的步骤：(1)将减号变成加号，把减数的相反数变成加数；

(2)按照加减运算的步骤进行运算。

18、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。实数乘法与加法

运算步骤一样，第一步确定符号，第二步确定绝对值。零乘以任何数都得0。

19、乘法交换律ab=ba;乘法结合律(ab)c=a(be);乘法分配律

a(b+c)=ab+ac

20、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个

不等于。的数，都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数，即a+b=a-1

b

(b*0)

21、乘方运算的性质：(1)正数的任何次嘉都是正数；(2)负数的奇次嘉

是负数，负数的偶次森是正数；(3)任何数的偶次嘉都是非负数；(4)-1

的偶次暴是1,-1的奇次幕是-1；(5)1的任何次嘉都是1,0的任何非零

次森都是0;(6)负整数指数暴(7)零指数嘉

22、列代数式及代数式的求值：用运算符号把数与表示数的字母连接而成

的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式；代数式分为有

理式、无理式，有理式又分为整式、分式，整式分为单项式、多项式。列

代数式时，要注意问题的语言叙述所直接或间接表示的运算顺序。一般来

说，先读的先写；要正确使用表明运算顺序的括号；列代数式时，出现乘

法时，通常省略乘号，数与字母相乘，要将数写在字母前面；带分数要化

成假分数，然后再与字母相乘；数字与数字相乘仍用“X”号：出现除法

运算时，一般按分数的写法来写。代数式的求值是用代数值代替代数式里

的字母，按照代数式指明的运算顺序计算出结果。列代数式时，如果代数

式后跟单位，应该将含有加减运算的代数式用括号括起来。

23、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,

把同类项合并成一项就叫做合并同类项。合并同类项的法则就是字母及字

母的指数不变，系数相加。同类项与系数的大小没有关系。

24、单项式：数与字母的乘积的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数

叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的

次数。单独一个数或一个字母也是单项式。单独一个非零数的次数是0。

25、多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做

多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，一个多项式中，次数最高的

项的次数，叫做这个多项式的次数，单项式和多项式统称为整式。

26、兀是数，是一个具体的数，而不是一个字母。0是单项式，也是整式。

27、整式的加减法则：整式的加减实质上是合并同类项。几个整式相加减,

通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接起来，一般步骤是：（1）

如果遇到括号，按去括号法则先去括号；（2）合并同类项。

28、同底数嘉的乘法法则：同底数嘉相乘，底数不变，指数相加，即

a"-an=am+n（m,n都是正整数）

29、嘉的乘方与积的乘方法则：寡的乘方，底数不变，指数相乘，即（am）

n=aRm、n都是正整数）；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再

把所得的嘉的相乘，即（ab）11=aW（n是正整数）

30、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的黑分别相乘，其余

字母连同它的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据

分配律用单项式去乘以多项式的每一个项，再把所得的积相加，多项式与

多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所

得的积相加。

31、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2;完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

32、完全平方式：a2±2ab+b2,特别注意交叉项的正负性和2倍。

（a+b）2=（a-b）2+4ab

33、同底数暴的除法法则：同底数寡相除，底数不变，指数相减，即屋+

an=a"-"（a#0,m、n都是正整数，m>n）

34、零次嘉、负整数次嘉的意义：a°=l（a*0）;a"=]（a=0,p是正整数）

a1

35、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数暴分别相除，作为

商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个

因式。

36、多项式除以单项式：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的

每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

37、应该注意整式乘法与除法中的符号运算。

38、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式

分解因式，多项式的因式分解常用的方法有：提取公因式法、公式法。

39、分解因式的公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);完全平方公式：

a2±2ab+b2=(a±b)2

40、分解因式的一般步骤：提公因式；二项考虑平方差公式，三项的考虑

完全平方公式或十字相乘法；四项及以上考虑分组分解法。有时得用换元

法(整体考虑)或者比较系数法。

41、几个整式相乘，所有最高次项相乘得最高次项，最低次项相乘得最低

次项。

42、分式：如果除式B中含有字母，那么称或为分式。当B=0时，分式无

B

意义；当A=O且B*0时，分式的值为0;当BR0时，分式有意义。

43、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于

零的整式，分式的值不变，即4=4二竺=生吆(8工0,例#0)。

BBMB+M

44、分式的乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分

母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置

后现与被除式相乘。即幺£=丝；巴+葭巴&=

bdbdbdbebe

45、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形叫做分式的

约分。

46、分子、分母和分式三个符号的同时改变两个，其结果不变，分数线有

时起着括号的作用，即一二1=4=一/_=4。

B—B-BB

47、分式的加减法：同分母的加减，分母不变，把分子相加加减；异分母

的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减

法法则进行计算。即/"空；%£=㈣±生=也

cccbdbdbdbd

48、分式的乘方：MV

49、混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。

50、解分式方程的一般步骤：去分母，将分式方程化为整式方程；解这个

整式方程；验根，把整式方程的根代入最简公分母，若值不为0,则是原方

程的根，若值为0,则是原方程的增根，舍去。

51、分式方程的应用：分式方程应用题与一元方程应用题类似，不同的是

注意双检验：（1）检验所求的解是不是原方程的解；（2）检验所求的解是

否符合题意。注意已知增根，求待定字母的取值。

52、分式方程有解的条件为：去分母后的整式方程有解；去分母后的整式

方程的解不能都为增根。

53、当结果中含有根式时，一定要化成最简根式。

54、二次根式的相关概念：（1）平方根和算术平方根。一般地，如果一个

正数x的平方等于a,即x'a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记

为八,我们规定。的算术平方根是0,即屈=0。如果一个数x的平方等于

a,即x'a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根)，记为土

一个正数有两个平方根；。只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。(2)立方根。如果一个数x的

立方等于a,即x-a,那么这个数x就叫做a的立方根。正数的立方根是正

数；。的立方根是0;负数的立方根是负数。

55、一个正数正的平方根叫做它的算术平方根。

56、最简二次根式：被开方数的因数都是整数，因式都是整式；被开方数

中不含能开得尽方的因数或因式。

57、二次根式的化简：

V?=hl=<()；\[ab=>fa-y/b(a>0,/?>0)；(a>O,l>>0)

(-a(a<0)Vb>Jb

58、二次根式的计算：㈣;(a")；=

59、二次根式的加减法主要是把根式化成最简二次根式后合并同类二次根

式。几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次

根式就叫做同类二次根式。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的

积不再含有二次根式，称这两个二次根式互为有理化因式。把分母中的根

号化去，叫做分母有理化。

60、两个式子比较大小的方法有：直接比较法、求差比较法、求商比较法、

中间量传递；另外还有指数形式往往把底数或指数化为相同；二次根式还

有分母有理化或分子有理化；

61、方程（组）及解的概念：含有未知数的等式叫做方程。在一个方程中，

只含有一个未知数x（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做

一元一次方程，其标准形式为ax+b=O（aNO）。使方程左右两边的值相等的未

知数的值叫做方程的解。含有两个未知数，并且所含未知数的的项的次数

都是1的方程叫做二元一次方程。含有两个未知数的两个一次方程所组成

的一组方程，叫做二元一次方程组。只含有一个未知数的整式方程，并且

未知数最高次数是2的方程叫做一元二次方程，其一般形式为

ax2+匕冗+c=0（。w0）。

62、----方程或方程组的解法：（1）等式的性质：等式的两边同时加上（或减

去）同一个代数式（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。（2）

一元一次方程的解：一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未

知数的系数化为1,把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式。（3）二元

一次方程组的解法：解方程组的基本思路是“消元”一一把“二元”变为

“一元”。主要方法有代入消元法和加减消元法。其中代入消元法常用步骤

是：要消哪一个字母，就用含其它字母的代数式表示出这个字母，然后用

表示这个字母的代数式代替另外的方程中的这个字母即可。（4）一元二次

方程的解法有配方法、公式法、分解因式法。（5）一元二次方程

ax2+bx+c=0（awO）的判别式A=/?2-4ac。当A=/?2-4ac>0时

<-->ax2++c=0（a±0）有两个不相等的实数根；当A=/?2-4oc=0时

<>ax2+/?x+c=O(awO)有两个相等的实数根；当△=/-4ac<0时

<>a/+bx+c=0(aw0)没有实数根。(6)若再、%是。/+0x+c=。(。工。)的

两实数根，则有Xj4-X=--,xx=-o(7)对于一元二次方程

2a[2a

ax?+0x+c=0(aw0),c=0<>方程有一个根为0；a+b+c=0<>方程有一

个根为1；a-0+c=0<——>方程有一个根为-1；

63、关于方程ax=b,(1)当awo时，方程有唯一解x=2；(2)当a=0,匹0

a

时，方程无解；(3)当a=0,b=0时，方程的解为全体实数。

64、关于方程组[平+9=。，(1)当幺*区时方程组有唯一解；(2)当

a2x+b2y=c2a2h2

五=九工6时方程组无解；(3)当幺=h=2时方程组有无数组实数解。

a2b2c2a2b2c2

65、用公式法解一元二次方程时，首先要将一元二次方程化为一般形式，

找出a,b,c的值，即先计算判别式△=从-4改，再用求根公式

x=-^-^c2_4ac用配方法解一元二次方程时，先将方程二次项

2a

系数化为1,然后两边同时加上“一次项系数一半的平方”。特别注意别漏

掉一个根。注意换元法的使用。

66、一元二次方程的近似解的求法，实质是利用夹逼方法进行求解的。

67、列方程、方程组解应用题的一般步骤是：审题；设未知数；列方程或

方程组；解方程或方程组；检验并写出答案。审题是基础，找出等量关系，

建立方程(组)模型是关键。

68、利润率=鹄=瞥罂；打a折，即降价为原来的j

进价进价10

69、降次的常用方法是：直接开方降次、分解因式降次，代入降次。

70、不等式的性质：（1）基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同

一个整式，不等号的方向不变；（2）基本性质2：不等式的两边都乘以（或

除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）基本性质3:不等式的两边都

乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。

71、不等式和不等式组的解法：（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做

不等式的解，求不等式的解集的过程叫做解不等式；（2）一元一次不等式

组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。记住多画画数轴。

72、求一元一次不等式（组）的整数解的步骤：（1）求出一元一次不等式

（组）的解集；（2）找出合适解集范围的整数解、非负数解、正整数解或

负整数解。

73、已知不等式组的解集，确定不等式中的字母的取值范围，有以下四种

方法：（1）逆用不等式组解；（2）分类讨论确定；（3）从反而求解确定；（4）

借助数轴确定。

74、一次函数）=履+仪4工0）,当函数值y>0或y<0时，一次函数转化成不

等式，利用函数图象、确定函数值和自变量的取值范围。

75、在平面内确定一个点的位置，通常需要两个量，这两个量可以是两个

数，也可以是一个角度、一个数。平面内，确定物体位置的的方法主要有

两类：(1)定点的位置：①线线相交，用交点的唯一性位置；②方位角+距

离：以某一点为观察点，用方位角、目标到达这个点的距离这两个数据来

确定目标的位置。(2)定区域的位置。

76、平面直角坐标系点的坐标特征：(1)平面直角坐标系有关概念；(2)

点的坐标特征：x轴上的点，纵坐标为零，y轴上的点，横坐标为零。即表

示为(a,0)、(0,b),第一象限点(+,+),第二象限(-,+),第三象限(-,

-),第四象限(+,-)；(3)对称点的坐标：P(a,b)关于x轴，y轴和原点

的对称点分别为(a,-b),(-a,b),(-a,-b);P(a,b)关于y=x,y=-x对称的点

的坐标为((b,a),(-b,-a);P(a,b)关于y=y0,x=x0对称的点的坐标为

((a,2y0-b),(2x0-a,b);(4)象限角平分线上的点的特征：第一、三象限角

平分线上的点的特征是(a,a)(直线解析式为y=x);第二、四象限角平分

线上的点的特征是(-a,a)或(a,-a)。

77、图形的变化:

变化前的

变化后的

点坐标坐标变化图形变化

点坐标

(X,y)

横坐标不变,纵坐标(x,y+n)

图形向上(或向下)平移

平移加上(或减去)n或

了n个单位长度

(n>0)个单位长度(x,y-n)

纵坐标不变,横坐标(x+n,y)

图形向右(或向左)平移

加上(或减去)n或

了n个单位长度

(n>0)个单位长度(x-n,y)

横坐标不变,纵坐标图形被纵向拉长为原来

(x,ny)

扩大n(n>l)倍的n倍

伸长

纵坐标不变,横坐标图形被横向拉长为原来

(nx,y)

扩大n(n>l)倍的n倍

横坐标不变,纵坐标图形被纵向缩短为原来

(x,))

缩小n(n>l)倍n的

压缩n

纵坐标不变,横坐标图形被横向缩短为原来

(-,y)

缩小n(n>l)倍n的L

n

横纵坐标同时扩大

放大(nx,ny)图形变为原来的一倍

n(n>l)倍

横纵坐标同时缩小

缩小o图形变为原来的士

n(n>l)倍nnn~

78、求与几何图形联系的特殊点的坐标，往往是向x轴或y轴引垂线，转

化为求线段的长，再根据点所在的象限，醒上相应的符号。求坐标分两种

情况：(1)求交点，如直线与直线的交点；(2)求距离，再将距离换算成

坐标，通常作x轴或y轴的垂线，再解直角三角形。

79、一般地，在某一个变化过程中，有两个变量x和y,如果给定一个x

值，相应夺就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变

量，y是因变量。函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。

80、把一个函数关系式的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横

坐标和纵坐标，在平面坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形

叫做该函数的图象。即：若点P（x,y）的坐标满足函数关系式，则点P在函

数图象上；反之，若点P在函数图象上，则P（x,y）的坐标满足函数关系式。

描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线。

81、要使函数关系式有意义：

自变量取值范

函数关系式形式

围

整式函数全体实数

分式函数使分母不为零

使被开方数非

偶次根式

根式函数负

奇次根式全体实数

零指数、负指数形式函数使底数不为零

82、正比例函数与一次函数的概念：（1）一次函数：形如y=（k*0,

k,b是常数）的函数叫做一次函数。（2）正比例函数：形如，k是常数）

的函数叫做正比例函数。（3）正比例函数与一次函数的关系：正比例函数

是一次函数的特殊情形。

83、一次函数的图象和性质：（1）图象：一次函数的图象是过点（-&0）,

K

（0,b）的一条直线，正比例函数的图象是过点（0,0）,（1,k）的直线;

|k|越大，（1,k）就越远离x轴，直线与x轴的夹角越大；|k|越小，（1,

k）就离x轴越近，直线与x轴的夹角越小；（2）性质：k>0时，y随x增

大而增大；k<0时，y随x增大而减小；（3）图象跨越的象限：①k>0,b>0

经过一、二、三象限；②k<0,b>0经过一、二、四象限；③k>0,b<0经过一、

三、四象限；④k<0,b<0经过二、三、四象限。即k>0,一三；k<0,二四；

b>0,一二;b<0,三四。（4）直线/月=占+伉和/2：%=&+4的位置关系为：

84、用割补法求面积，基本思想是全面积等于各部分面积之和，在割补时

需要注意：尽可能使分割出的三角形的边有一条在坐标轴上，这样表示面

积较为方便。坐标平面内图形面积算法：把图形分割或补为底边在坐标轴

或平行于坐标轴的直线上的三角形、梯形等。

85、求函数的解析式往往运用待定系数法，待定系数法的步骤：（1）设出

含待定系数的函数解析式；（2）由已知条件得出关于待定系数的方程（组）,

解这个方程（组）；（3）把系数代回解析式。

86、仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联

系：（1）一元一次方程kx+b=y0（yo是已知数）的解就是直线>=丘+。上，y=y0

这点的横坐标；（2）一元一次不等式yi《kx+b《y2（yi,y2是已知数，且yWy?）

的解集就是直线），=丘+。上满足y&y《y2那条线段所对应的自变量的取值

范围。（3）一元一次不等式kx+b<y0（或kx+b）y0）（y0是已知数）的解集

就是直线y=履+匕上满足y《y。（或y>y。）那条线段所对应的自变量的取值

范围。

87、反比例函数的定义及解析式求法：（1）定义：形如y=&（k*0,k是

X

常数）的函数叫做反比例函数，其自变量取值范围是x#0;（2）解析式求

法：应用待定系数法求k值，由于k=xy,故只需要已知函数图象上一点，

即求出函数的解析式。

88、反比例函数的图象和性质：（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，

当k>0时，双曲线的两个分支在第一、三象限；当k<0时，双曲线的两个

分支在第二、四象限。（2）性质：当k>0时，在每一象限内，y随x的增

大而减小；当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大；图象是关于原

点对称的中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为y=x,y=-xo

89、正、反比例函数图象及性质对比:

k值

k>0k<0

函数性

%?1

图象

0X

y=kx(kW

(l,k>

0)

y随着x增大而y随着x增大而减

性质

增大小

-

T

图象

y=-(k*0)

X

y随着x增大而y随着x增大而增

性质

减小大

90、（1）利润最大、费用最低等一类问题，往往可通过建立函数模型进行

解决；（2）运输等问题可采用列表或画图的方法来分析其数据间的关系，

这样易于理清错综复杂的数据，对解题有极大的帮助；（3）方案设计问题,

往往先建立不等式，转化为求不等式的整数解的问题。

91、二次函数的定义和解析式求法：（1）形如>=以2+法+,（a、b、C为

常数，a#0）的函数叫二次函数；（2）用待定系数法求二次函数解析式，

其解析式有三种形式。一般式：j-af+bx+c,主要用于已知抛物线上任意

三点的坐标；交点式:y=a（x--x2）,其中（玉，0）与（/，。）是抛物

线与X轴的两点交点的坐标，主要用于已知与X轴两个交点的坐标或两点

间的距离及对称轴；顶点式：y=a（x-hy+k,其中（h,k）是抛物线的顶点

坐标，主要用于已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大（小）值。

92、二次函数的图象是一条抛物线，它具有以下性质：（1）抛物线

y="2+bx+c的顶点坐标是（-2,%二三），对称轴是直线》=一2;当a、

-2a4a2a

b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧；

当b=0时，对称轴为y轴。（2）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向

下；la|决定抛物线开口大小；lai越大，抛物线开口越小；lai越小，抛物

线开口越大。（3）当a>0,x=—2时，y有最小值处士；当a<0,x=，

2a4a2a

时，y有最大值也二也。（4）增减性：对于二次函数y=a/+bx+c。①若a>0,

4a

当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大；②

2a2a

若a<0,当x<-2时，y随X的增大而增大；当》>一2时，y随X的增大而

2a2a

减小。（5）抛物线与y轴交点为（0,c）,当c>0时，交点在y轴的正半轴；

当c<0时，交点在y轴的负半轴；当c=0时，经过原点。

93、对于抛物线，a的符号由开口方向确定，b由对称轴确定，c由抛物线

与y轴的交点确定，2a土b由对称轴确定，a-b+c由x=-l时y的符号确定,

4a-2b+c由x=-2时y的值确定。即抛物线经过（1,a+b+c）、（T,a-b+c）、

（-2,4a-2b+c）等点。求两个函数图象的交点坐标，就是把两个函数的解析

式联立成方程组，求出的解就是交点坐标。直线与抛物线的交点有三种情

况：当方程组有两解时，有两个交点（△”）;当有一个解时，即有一个交

点（△=（））；当没有解时，即不存在交点（ACO）。

94、构造二次函数模型，求最大（小）值。

95、选择题的解题办法：数形结合的观察法、特殊值法、验证法、排除法、

直解法。

96、对于抛物线y=ax2+6%+c,与x轴交点A（玉，0）、B（%，0）则（1）

|AB|=L-玉1=西三，对称轴x=土上

\aI2

97、函数关系式c点坐标c线段长分几何知识的应用。

98、在统计中，我们把所要考察对象的全体叫做总体。总体中每一个考察对

象叫做个体。当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，

这一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做样本容量。

99、平均数：（1）x=—（%）+x+---+x）；（2）x=x+a,其中x；=x,.-a；（3）

n2-n

[=•”+/%+...+#，其中力是数据为的权。总体中所有个体的平均数叫做

总体平均数。样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

100、众数、中位数与平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势。众

数：在一组数据中，出现次数最大的数据叫做这组数据的众数（众数不唯

一）。中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的一

个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

101、方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，这组数据的波动

越大。$2=_1[（须_%）2+（工2一工）2+…+（当_%）2]叫做样本西,马,…,X”的方差,它可衡

n

量样本波动大小（离散程度）；s=G叫做样本的标准差，也是用来衡量样

本波动大小，样本标准差与原始数据的度量单位一致。另：

s2-—（X,2+x2H■…+x2-nx~],s2=—（xj2+x2d■…+x2-nx]

n2Hn2n

102、扇形统计图及应用：（1）扇形统计图是表示部分在总体中所占的百分

比，它不能直接得到具体的数量，是用圆代表总体，扇形代表部分。（2）

圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的大小等于该部分百分比

乘以360°e（3）画扇形统计图的步骤：计算百分比，圆心角，画上扇形，

标上百分比。（4）两个扇形统计图中，在整体数量相等的情况下，根据扇

形的大小也可判断部分数量是多还是少。（5）在一个扇形统计图中，可以

得到两个部分之间的比例。

103、条形统计图能清晰地表示出每个项目的具体数量，扇形统计图能清晰

地表示出各个部分点总体的百分比。频数：将一组数据按照统一的标准分

成若干组，每个小组内的数据的个数。频率：每个小组的频数与数据总数

的比值叫这一小组的频率。频率=粤。直方图中小长方形的高与频率成正

总数

比，因此其高的比即是各小组频率之比，或各小组频数之比。

104、求一个样本的频率分布情况的步骤：（1）计算最大值与最小值的差；

（2）决定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘制频率

分布直方图、扇形统计图、折线统计图。

105、一些性质和规律:

数据平均数方差标准差

Xs?s

Xj±a,x2±a,・・・，x〃±ax+a悭s

kX1,kx2,…,he”kxk-S2kS

Q,…&〃±Q22

he1±a,kx2±kx+akSkS

106、一般地，我们把一组数据中其值过大（或过小）的数据看作异常值,

有异常值的一组数据其平均数会受到此数据的影响，这时用中位或众数来

描述一组数据的一般水平比较合适。

不确定事件发生的概率

理论计算

不确定事件概率的计算

实验估算

107、概率

概率的应用

不可能事件

确定事件

必然事件

108、在一定条件下，可能出现不同的结果，究竟出现哪一种结果，随机遇

而定，带有偶然性的现象叫做随机现象。在随机试验中，如果一件事情可

能发生，也可能不发生，则称它们为随机事件。在一定的条件下，必然会

发生的事情叫做必然事件。在一定的条件下，一定不会发生的事件叫做不

可能事件。必然事件与不可能事件都是确定的，这些事件称为确定事件。

109、一个事件发生的可能性大小叫做该事件发生的概率，一个事件发生的

概率取值范围为。=旃簿器器株数,求概率有树状图和列表法

0-io

两种列出所有可能结果的方法。概率是可以在直线上表示出来的。

110、在丰富的图形世界中，我们常见的几何体分类为：棱柱体、圆柱体、

圆锥体、棱锥体、台体与球体。

111、常见的立体图形特征：球体是由曲面围成的，圆锥的底面是圆，侧面

是曲面；棱锥的底面是多边形，侧面是三角形；圆柱的底面是圆，侧面是

曲面；棱柱的底面是多边形，侧面是正方形或长方形。

112、点、线、面的关系：面面相交形成线，线线相交形成点，点动成线，

线动成面，面动成体。

113、正方体的展开图是六个正方形；棱柱的展开图是两多边形与一个长方

形；圆锥的展开图是一个圆与一个扇形；圆柱的展开图是两个圆与一个长

方形。

114、截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。截面的形状:

用一个平面去截一个几何体，截出的截面形状一般有正方形、长方形、三

角形、梯形与圆等。

115、我们从不同方向看同一个物体时，可看到不同的图形，把从正面看到

的图形叫做主视图，从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的图形叫

做俯视图。画在视图时，主、俯视图要求长对正，主、左视图要高平齐，

左、俯视图要宽相等。

116、物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影

现象。太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行

投影；当投射线与投影面垂直时，这样形成的投影叫做正投影。在平行投

影中，物体是互相平行的，影子也是互相平行的，常把四边形的问题转化

为直角三角形问题来解。

117、探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这

样的光线所形成的投影称为中心投影。我们看物体，眼睛的位置称为视点,

由视点发出的线称为视线，眼睛看不到的地方称为盲区。

118、直线上两点间的部分叫做线段；在直线上某一点和这一点一旁的部分

叫做射线；这一点叫做端点。经过两点有且只有一条直线，即两点确定一

条直线；两点之间，线段最短；连结两点的线段的长度叫做两点间的距离。

应该注意用字母表示它们的方法。

119、三线之间的关系:

端点的个

类型延伸性延长线和反向延长线

数

向两端无限延

直线0

伸

向一端无限延

射线1有反向延长线

伸

线既有延长线，也有反向延长

2无

段线。

120、直角：90°的角；平角：180°的角；周角：360°

4/1

3/2

76

的角。设一个角为a,若0°<a<90°,则a叫锐角；若90°<a<180°,则a叫

钝角；

121、1度=60分；1分=60秒；1周角=2平角=4直角。

122、如图，N1和N5是同位角；N2和N8是内错角；N2和N5是同旁内

角；N4和N2是对顶角；N5和N8是邻补角。

124、把一条线段分为两条相等的线段的点，叫做线段的中点。

125、若a+6=90°,则a与0互余。若a+D=180°,则a与B互补。余角和

补角是对两个角之间的数量关系而言的，与两个角的位置没有多大的关系，

互为邻补角的两个角与两个角的位置有关。

126、从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条

射线叫做这个角的平分线。角平分线上的点到角两边距离相等。到角两

边距离相等的点在角的平分线上。三角形三内角平分线的交点叫做三角

形的内心。在求三角形内部所形成的角时应想到三角形内心定理。

127、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对

顶角。对顶角相等是常用的性质。

128、两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直

线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂

足。经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线；直线外一点与

直线上各点连结的线段中，垂线段最短。从直线外一点向已知直线作垂

线，这一点和垂足之间的线段的长度叫做点到直线的距离。

129、过线段的中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线

（中垂线）。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。和线段两

端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

130、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。同位角相等，两直线平

行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同

一直线的两条直线平行；垂直于同一直线的两条直线平行。

131、两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；两平行线间

的距离处处相等；夹在两平行线间的平行线段相等；过直线外一点有且

只有一条直线和这条直线平行。

不等边三角形（任何两边都不相等）

132、三角形按边分类：三角形只有两边相等的等腰三角形；三角形

等腰三角形

等边三角形

（直角三角形

按角分类：三角形.锐角三角形

斜三角形《

钝角三角形

133、三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。

三角形的内角和等于180度；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角之和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；在直角

三角形中，两个锐角互余；同（等）角的余（补）角相等。一般来说，

较大线段大于另两线段之和时，就能构成三角形。

134、全等三角形的判定：SAS、ASA、AAS、SSS、HLO全等三角形的性质:

对应角相等，对应线段（边，高，中线，角平分线）相等、周长相等、面积

相等。

135、判定两个三角形全等的基本思路：（1）有两个角对应相等时，找夹边

对应相等或任一对应边相等；（2）有两边对应相等时，找夹角对应相等

或第三边相等；（3）有一边和一角对应时，找等角的另一边对应相等或

另一角对应相等。

136、等腰三角形的性质：两个底角相等；顶角平分线、底边上的中线、底

边上的高互相重合。等腰三角形的判定：如果一个三角形的两个角相等,

那么这两个角所对的边相等。等边对等角；等角对等边；大角对大边；

大边对大角。

137、任何一个图形的对称轴都是直线。等腰三角形是轴对称图形，它的对

称轴只有一条：底边上的高所在直线。等边三角形的对称轴有三条。等

边三角形的内心、外心、重心、垂心重合。

138、等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°o

等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相

等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

139、三角形的主要线段:

名

定义交点交点的性质

称

中连接三角形的一个顶点和重重心到顶点的距离等

线它对边中点的线段心于它到对边中点距离

的2倍

角三角形一个角的平分线和

平这个角的对边相交，这个内内心到三角形三边的

分角的顶点和交点之间的线心距离相等

线段

三角形的一个顶点到它对垂

高

边所在直线的垂线段心

140、直角三角形的性质：两锐角互余；30。角所对的直角边等于斜边的一半;

斜边上的中线长等于斜边的一半。直角三角形的判定：有一个角是直角

的三角形是直角三角形；有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角

三角形。

141、涉及与三角形的高有关的问题时，要注意分类讨论，主要是分直角三

角形、锐角三角形、钝角三角形。

142、勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股

定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则

这个三角形是直角三角形。

143、已知直角三角形的两边长，要求第三边时,有两种情况：第三边是斜

边或已知两边中较大边为斜边。对于含特A

殊角的三角形，通常作高构造直角三角形，

DC

然后利用勾股定理和三角形函数解答。

144、射影定理，如图：AD2=BDCD；AB1=BDBC',AC2=CDBC

145、在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动

称为平移。平移不改变图形的形状和大小。经过平移，对应线段、对应

角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。确定一个图形平移后的位

置，除需知道原来的位置外，关键条件是平移的方向和平移的距离。

146、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的

图形运动称为旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状不改变；旋转前后两

个图形的对应点到旋转中心的距离相等；对应点到旋转中心的连线所成

的角彼此相等，都等于旋转角。作简单的平面图形绕定点旋转一定角度

后的图形，只要把平面图形上的关键点都绕定点旋转一定角度，然后按

原来的式样连结这些点而成。旋转需要知道旋转方向和旋转角度。常用

对应点和旋转中心的连线所夹角确定旋转角，常用两组对应点连线的中

垂线交点确定旋转中心。旋转360度的整数倍时，图形位置不改变。注

意区别对应线段和对应点的连线是不同的。

147、多边形的任何一边向两方向延长，如果其他各边都在延长所得直线的

同旁，这样的多边形叫做凸多边形，它的每一个内角均小于180。。n边形

的内角和为(n-2)•180。。任意多边形的外角和均为360°。

148、平行四边形的性质：对边平行；对边相等；对角相等；对角线互相平

分。平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两

组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形

是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相

平分的四边形是平行四边形。平行四边形是中心对称图形，但不一定是

轴对称图形。

149、一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等，两条对

角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。一组邻边相等的平行四

边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四

边形是平行四边形。菱形的两条对角线把菱形分成全等的等腰三角形或

直角三角形。菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，它的对称就是它

的两条对角线所在直线。

150、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对边平行且相等；矩

形的四个角都是直角；矩形的两条对角线互相平分且相等。有三个角都

是直角